管理经济学004 第三章 生产决策分析____投入要素的最优组合问题解析
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变动一种生产要素为前提。 第二，这一规律是以技术水平不变为前提条件的。
生产的三个阶段
8
• 第一个阶段不合理，因 为固定要素投入过多， 其边际产量为负值。
• 第三个阶段不合理，因 为可变要素投入过多， 其边际产量为负值。
• 第二个阶段是合理的， 可变要素和固定要素的 边际产量均为正值。
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在上面印刷车间的例子中，假定印刷品的价 格为每单位0.30元，工人的日工资率为2.4元。 （1）假定工人是该车间唯一的可变投入要素， 该车间应雇用多少工人? （2）假定伴随工人人数的增加，也带来用料 (纸张)的增加，假定每单位印刷品的用料支出 为0.10元。该车间应雇用多少工人? 解：（1）假定工人是唯一的可变投入要素。
• 等产量曲线的斜率递减，说明这种类型的替代有一个重 要的特性，即投入要素X的边际技术替代率（简称MRS） 总是随着X的量的增加而递减。
• 指增投1个单位x，能替代多少单位y。
Δy Δy
• MRS =
，
就是等产量曲线在X取值时的斜率
Δx Δx
21
❖ MRTS y / x; y / x MPx / MPy
4
总产量、平均产量和边际产量的相互关系
◆◆总产量Q是指一定数量的工人所能生产的全部
产量。
◆◆平均产量是指每一个工人的平均产量（=总产
量/工人人数=Q/L）
◆◆边际产量是指一定数量劳动力的条件下，增加
一名工人引起的总产量的变化（=总产量的变化/工人 人数的变化=ΔQ/ Δ L）
工人人数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
代表等成本曲线的斜率。
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E / Py
代表等成本曲 线在 Y轴上的
截距。C1中
=1000/250=4
Px / Py 代表等成本曲
线的斜率。C1 中=-500/250=-2
• 边际产量>平均产量， 平均产量 边际产量<平均产量， 平均产量 边际产量=平均产量， 平均产量最大
7
边际收益递减规律
• 如果技术不变，增加生产要素中某个要素的投入量， 而其他要素的投入量不变，增加的投入量起初会使 该要素的边际产量增加，增加到一定点之后，再增 加投入量就会使边际产量递减。
• 注意两点： 第一，收益递减规律是以其他生产要素固定不变，只
1
第3章 生产决策分析
------投入要素的最优组合问题
•第1节 单一可变投入要素的最优利用 •第2节 多种投入要素的最优组合 •第3节 规模与收益的关系 •第4节 柯布-道格拉斯生产函数
2
生产函数的概念
• 生产函数反映在生产过程中，一定的投入要素组 合所能生产的最大产量。其数学表达式 为： Q f (x1, x2 , xn ) 。
总产量
0 13 30 60 104 134 156 168 176 180 180 176
边际产量 平均产量
13
13
17
15
30
20
44
26
30
26.8
22
26
12
24
8
22
4
20
0
18
-4
16
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• 边际产量= dQ / dL= 总产量曲线上该点 切线的斜率
• 平均产量= Q / L =总 产量曲线上该点与 原点之间连接线的 斜率。
16
• 性质：较高位置的等产量曲线总是代表较大的产量。
17
• 分类：
1. 投入要素之间完全可以替代
等产量曲线的形状是一条直线
18
• 2. 投入要素之间完全不能替代
等产量曲线的形 状是一条直角线
19
• 3. 投入要素之间替代不完全
等产量曲线的形状一般 为向原点凸出的曲线
20
边际技术替代率（MRS）
13
• 1. 计算劳动力和计算机的边际产量 劳动力的边际产量MPL= 3 计算机的边际产量MPC=25
• 2. 计算劳动力和计算机的边际产量收入 劳动力的边际产量收入MRPL=3x10=30元/小时 计算机的边际产量收入MRPC=25x10=250元/小时
• 3. 比较两种要素的边际产量收入和价格 因为PL=20元/小时；PC=200元/小时 所以，MRPL>PL; MRPC>PC 即：公司增加服务量可增加利润，为此，劳动力和 计算机都应增加。
14
第2节 多种投入要素的最优组合
在资金一定的条件下，投入要素之间怎么组合，才能使产量最大； 或者产量一定的条件下，怎么样组合，才能使成本最低，这类问 题就是多种投入要素最优组合问题。
15
等产量曲线的性质和类型
• 什么是等产量曲线 等产量曲线反映能生产一定产量的各种投入要素组合。
等产量曲线Baidu Nhomakorabea指在这条曲线 上各点代表投入要素的各种组合 比例，其中每一种组合比例所能 生产的产量都是相等的。
边际技术替 代率等于等 量曲线的斜 率，它总是
随着x投入
量的增加而 递减。
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等成本曲线
• 等成本曲线反映总成本不变的各种投入要素组合。 • 等成本曲线的方程式：
E Px x Py y或y E / Py (Px / Py ) x
这里，E / Py 代表等成本曲线在y 轴上的截距， 说明越在外面的等成本曲线代表越高的成本；Px / Py
• 不同的生产函数代表不同的技术水平。 • 短期生产函数——至少有一种投入要素的投入量
是固定的；长期生产函数——所有投入要素的投 入量都是可变的。
3
第1节 单一可变投入要素的最优利用
假定其他投入要素的投入量不变，只有一种投入要素的数 量是可变的，研究这种投入要素的最优使用量（即这种使用量 能使企业的利润最大），就属于单一可变投入要素的最优利用 问题。这类问题在短期决策中经常遇到。
10
根据上表，当 MRPL MEL PL 2.4 元时，工人人数 为8人，所以应雇用8人。 （2）假定随着工人人数的增加，也会相应增加原材 料支出，则有关数据可计算如下：
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根据上表，当工人人数为7时，MRPL MEL =3.6。
所以，最优工人人数应定为7人。
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• 某公司为别的企业提供信贷结算服务，公司使用劳 动力和计算机资源。假如公司雇佣高级技术员每小 时工资为20元，计算机使用1小时的成本费为200元 ，公司每提供一次信贷结算服务收费10元。公司现 任务已经很多，要增加服务，如增加人工1小时，可 增加3次结算服务；如多增加1小时计算机时，可增 加25次结算服务，试判断该公司是否应增加服务规 模？如应增加服务规模，是应增加劳动力还是计算 机，还是两者都增加？
生产的三个阶段
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• 第一个阶段不合理，因 为固定要素投入过多， 其边际产量为负值。
• 第三个阶段不合理，因 为可变要素投入过多， 其边际产量为负值。
• 第二个阶段是合理的， 可变要素和固定要素的 边际产量均为正值。
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在上面印刷车间的例子中，假定印刷品的价 格为每单位0.30元，工人的日工资率为2.4元。 （1）假定工人是该车间唯一的可变投入要素， 该车间应雇用多少工人? （2）假定伴随工人人数的增加，也带来用料 (纸张)的增加，假定每单位印刷品的用料支出 为0.10元。该车间应雇用多少工人? 解：（1）假定工人是唯一的可变投入要素。
• 等产量曲线的斜率递减，说明这种类型的替代有一个重 要的特性，即投入要素X的边际技术替代率（简称MRS） 总是随着X的量的增加而递减。
• 指增投1个单位x，能替代多少单位y。
Δy Δy
• MRS =
，
就是等产量曲线在X取值时的斜率
Δx Δx
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❖ MRTS y / x; y / x MPx / MPy
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总产量、平均产量和边际产量的相互关系
◆◆总产量Q是指一定数量的工人所能生产的全部
产量。
◆◆平均产量是指每一个工人的平均产量（=总产
量/工人人数=Q/L）
◆◆边际产量是指一定数量劳动力的条件下，增加
一名工人引起的总产量的变化（=总产量的变化/工人 人数的变化=ΔQ/ Δ L）
工人人数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
代表等成本曲线的斜率。
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E / Py
代表等成本曲 线在 Y轴上的
截距。C1中
=1000/250=4
Px / Py 代表等成本曲
线的斜率。C1 中=-500/250=-2
• 边际产量>平均产量， 平均产量 边际产量<平均产量， 平均产量 边际产量=平均产量， 平均产量最大
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边际收益递减规律
• 如果技术不变，增加生产要素中某个要素的投入量， 而其他要素的投入量不变，增加的投入量起初会使 该要素的边际产量增加，增加到一定点之后，再增 加投入量就会使边际产量递减。
• 注意两点： 第一，收益递减规律是以其他生产要素固定不变，只
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第3章 生产决策分析
------投入要素的最优组合问题
•第1节 单一可变投入要素的最优利用 •第2节 多种投入要素的最优组合 •第3节 规模与收益的关系 •第4节 柯布-道格拉斯生产函数
2
生产函数的概念
• 生产函数反映在生产过程中，一定的投入要素组 合所能生产的最大产量。其数学表达式 为： Q f (x1, x2 , xn ) 。
总产量
0 13 30 60 104 134 156 168 176 180 180 176
边际产量 平均产量
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26.8
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• 边际产量= dQ / dL= 总产量曲线上该点 切线的斜率
• 平均产量= Q / L =总 产量曲线上该点与 原点之间连接线的 斜率。
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• 性质：较高位置的等产量曲线总是代表较大的产量。
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• 分类：
1. 投入要素之间完全可以替代
等产量曲线的形状是一条直线
18
• 2. 投入要素之间完全不能替代
等产量曲线的形 状是一条直角线
19
• 3. 投入要素之间替代不完全
等产量曲线的形状一般 为向原点凸出的曲线
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边际技术替代率（MRS）
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• 1. 计算劳动力和计算机的边际产量 劳动力的边际产量MPL= 3 计算机的边际产量MPC=25
• 2. 计算劳动力和计算机的边际产量收入 劳动力的边际产量收入MRPL=3x10=30元/小时 计算机的边际产量收入MRPC=25x10=250元/小时
• 3. 比较两种要素的边际产量收入和价格 因为PL=20元/小时；PC=200元/小时 所以，MRPL>PL; MRPC>PC 即：公司增加服务量可增加利润，为此，劳动力和 计算机都应增加。
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第2节 多种投入要素的最优组合
在资金一定的条件下，投入要素之间怎么组合，才能使产量最大； 或者产量一定的条件下，怎么样组合，才能使成本最低，这类问 题就是多种投入要素最优组合问题。
15
等产量曲线的性质和类型
• 什么是等产量曲线 等产量曲线反映能生产一定产量的各种投入要素组合。
等产量曲线Baidu Nhomakorabea指在这条曲线 上各点代表投入要素的各种组合 比例，其中每一种组合比例所能 生产的产量都是相等的。
边际技术替 代率等于等 量曲线的斜 率，它总是
随着x投入
量的增加而 递减。
22
等成本曲线
• 等成本曲线反映总成本不变的各种投入要素组合。 • 等成本曲线的方程式：
E Px x Py y或y E / Py (Px / Py ) x
这里，E / Py 代表等成本曲线在y 轴上的截距， 说明越在外面的等成本曲线代表越高的成本；Px / Py
• 不同的生产函数代表不同的技术水平。 • 短期生产函数——至少有一种投入要素的投入量
是固定的；长期生产函数——所有投入要素的投 入量都是可变的。
3
第1节 单一可变投入要素的最优利用
假定其他投入要素的投入量不变，只有一种投入要素的数 量是可变的，研究这种投入要素的最优使用量（即这种使用量 能使企业的利润最大），就属于单一可变投入要素的最优利用 问题。这类问题在短期决策中经常遇到。
10
根据上表，当 MRPL MEL PL 2.4 元时，工人人数 为8人，所以应雇用8人。 （2）假定随着工人人数的增加，也会相应增加原材 料支出，则有关数据可计算如下：
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根据上表，当工人人数为7时，MRPL MEL =3.6。
所以，最优工人人数应定为7人。
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• 某公司为别的企业提供信贷结算服务，公司使用劳 动力和计算机资源。假如公司雇佣高级技术员每小 时工资为20元，计算机使用1小时的成本费为200元 ，公司每提供一次信贷结算服务收费10元。公司现 任务已经很多，要增加服务，如增加人工1小时，可 增加3次结算服务；如多增加1小时计算机时，可增 加25次结算服务，试判断该公司是否应增加服务规 模？如应增加服务规模，是应增加劳动力还是计算 机，还是两者都增加？