人教版初中数学二次函数真题汇编及答案解析

【解析】
【分析】
根据二次函数的对称性，求得函数 的对称轴，进而判断与 的函数值相等时 的值，由此可得结果．
【详解】
∵函数 ，当 与 时函数值相等，
∴函数 的对称轴为： ，
∴ 与 的函数值相等，
∴当 时， ，
即 时，函数值等于 ，
故选： ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和对称性．掌握二次函数的对称性和对称轴的求法，是解题的关键．
故符合y与t的函数图象是B．
故选：B．
【点睛】
此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.
9．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．0＜t＜5B．﹣4≤t＜5C．﹣4≤t＜0D．t≥﹣4
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
试题分析：由抛物线与x轴有两个交点，可知b2-4ac＞0，所以①错误；
由抛物线的顶点为D（-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，所以②正确；
【详解】
解：作AE⊥BC于E，根据已知可得，
AB2=42+（6-3）2，
解得，AB=5cm．
下面分三种情况讨论:
当0≤t≤2.5时：P点由B到A， ,y是t的二次函数.最大面积= 5 cm2;
当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时， , y是t的一次函数且最大值= ;
当4≤t≤6时，即P点从D到C时， y是t的二次函数
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，﹣1＜x＜4时﹣4≤y＜5，进而求解；
【详解】
解：∵对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x，
关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，
由抛物线的顶点为D（-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x= =-1，可得b=2a，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；
由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
故选C．
D、不等式 可化为 ，令 ，
由二次函数的图象可得：当 时， ，故本选项正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．
12．将抛物线 平移，使它平移后图象的顶点为 ，则需将该抛物线（）
A．先向右平移 个单位，再向上平移 个单位B．先向右平移 个单位，再向下平移 个单位
【答案】C
【解析】
【分析】
分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．
【详解】
∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴令 ＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0
∴△＝9﹣8a＞0
∴a＜
①当a＜0时，
解得：a≤﹣2
∴a≤﹣2
②当a＞0时，
解得：a≥1
【答案】A
【解析】
【分析】
①根据二次函数的增减性进行判断便可；
②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m，再把m代入一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误．
【详解】
解：①∵顶点坐标为 ,
∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x= 的对称点为（1-n，y1），
∴点（1-n，y1）与 在该抛物线的对称轴的右侧图像上,
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
7．抛物线 （ 是常数）， ，顶点坐标为 .给出下列结论：①若点 与点 在该抛物线上，当 时，则 ；②关于 的一元二次方程 无实数解，那么（）
A．①正确，②正确B．①正确，②错误C．①错误，②正确D．①错误，②错误
【详解】
解：y1=（-4）2+4×（-4） =16-16 = ，
y2=（-3）2+4×（-3） =9-12 = ，
y3=12+4× 1=1+4 =5 ，
∵-3 ＜ ＜5 ，
∴y2＜y1＜y3．
故选：C.
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m的影响．
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，与x轴另一交点为A，顶点为B，若△AOB为等边三角形，则b的值为（ ）
【详解】
令ax2+（a+c）x+c=ax+c，
解得，x1=0，x2=- ，
∴二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的交点为（0，c），（− ，0），
选项A中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，故选项A不符题意，
选项B中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B不符题意，
11．二次函数 为常数，且 )中的 与 的部分对应值如表：
···
···
···
···
下列结论错误的是()
A． B． 是关于 的方程 的一个根；
C．当 时， 的值随 值的增大而减小；D．当 时，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数中的x与y的部分对应值表，可以求得a、b、c的值然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断．
选项C中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项D符合题意，
选项D中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，故选项C不符题意，
故选：D．
【点睛】
考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
考点：二次函数的图像与性质
2．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题解析：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣ ＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．
B、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x=﹣ 位于y轴的右侧，故符合题意，
D、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．
∴1≤a＜
综上所述：1≤a＜ 或a≤﹣2
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
6．已知二次函数 ，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是( )
A．该图象的顶点坐标为 B．该图象与 轴的交点为
8．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，动点 ， 同时从点 出发，点 以 的速度沿折线 运动到点 ，点 以 的速度沿 运动到点 ，设 ， 同时出发 时， 的面积为 ，则 与 的函数图象大致是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分三种情况求出y与t的函数关系式.当0≤t≤2.5时：P点由B到A；当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时；当4≤t≤6时，即P点从D到C时.即可得出正确选项．
令x=1代入y=ax2-2ax-3a，
∴y=a-2a-3a=-4a，
∴顶点坐标为（1，-4a），故A成立；
由于点（-2，5）与（4，5）关于直线x=1对称，
∴若该图象经过点（-2，5），则一定经过点（4，5），故C成立；
当x＞1，a＞0时，y随着x的源自文库大而增大，当x＞1，a＜0时，y随着x的增大而减少，故D不一定成立；
∵﹣1＜x＜4，
∴二次函数y的取值为﹣4≤y＜5，
∴﹣4≤t＜5；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．
10．函数 ，当 与 时函数值相等，则 时，函数值等于()
A．5B． C． D．－5
【答案】A
故选C.
【点睛】
本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.
13．下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝ +（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结论．
故选C．
考点：二次函数的图象；一次函数的图象．
3．若A（－4， ），B（－3， ），C（1， ）为二次函数y=x2+4x－m的图象上的三点，则 ， ， 的大小关系是（）
A． ＜ ＜ B． ＜ ＜ C． ＜ ＜ D． ＜ ＜
【答案】C
【解析】
【分析】
分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可．
∵a＞0，
∴当x＞ 时，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，故此小题结论正确；
②把 代入y=ax2+bx+c中，得 ,
∴一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0中，
△=b2-4ac+4am-4a
∴一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确；
故选A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第①小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负．
C．若该图象经过点 ，则一定经过点 D．当 时， 随 的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】
解：y=a（x2-2x-3）
=a（x-3）（x+1）
令y=0，
∴x=3或x=-1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）与（-1，0），故B成立；
∴抛物线的对称轴为：x=1，
故选B．
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键．
5．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线 上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）
A．a≤﹣2B．a＜ C．1≤a＜ 或a≤﹣2D．﹣2≤a＜
人教版初中数学二次函数真题汇编及答案解析
一、选择题
1．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为()
①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；
②c＝a+3；
③a+b+c＜0；
④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．
C．先向左平移 个单位，再向上平移 个单位D．先向左平移 个单位，再向下平移 个单位
【答案】C
【解析】
【分析】
先把抛物线 化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【详解】
∵抛物线 可化为
∴其顶点坐标为：(2,−1)，
∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位．
A．﹣ B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知求出B（﹣ ），由△AOB为等边三角形，得到 ＝tan60°×（﹣ ），即可求解；
【详解】
解：抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，
∴c＝0，
B（﹣ ），
∵△AOB为等边三角形，
∴ ＝tan60°×（﹣ ），
∴b＝﹣2 ；
【详解】
解：根据二次函数的x与y的部分对应值可知：
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
联立以上方程： ，
解得： ，
∴ ；
A、 ，故本选项正确；
B、方程 可化为 ，
将 代入得： ，
∴ 是关于 的方程 的一个根,故本选项正确；
C、 化为顶点式得： ，
∵ ，则抛物线的开口向下，
∴当 时， 的值随 值的增大而减小；当 时， 的值随 值的增大而增大；故本选项错误；