线段和差的最值问题

B
CE D/
F
AO
D
例5、例6中的最小值问题所涉及到的路 径，虽然都是由三条动线段连接而成， 且路径都是“定点→动点→动点→定 点”，但是例5中的量动点间的线段长度 不确定，而例6的两动点间的线段长度为 定值，正是由于这点的不同，使得它们 的解题方法有很大差异，例5是根据两点 之间线段最短找到动点的位置，例6是通 过构造平行四边形先找到所求的其中一 个动点的位置，另一个位置也随之确定。
EF 12 22 5
因此四边形MNFE的周长的最小值为5 5.
小结
经典模型：台球两次碰壁问题 经验储存：没有经验，难有思路
例6：在平面直角坐标系中，Rt△AOB 的顶点坐标分别是A(-2，0)，O(0,0)， B(0，4），把△AOB绕O点按顺时针旋 转90度，得到△COD，（1）求C、D 的坐标，（2）求经过A、B、D三点的 抛物线。（3）在（2）中的抛物线的 对称轴上取两点E、F（E在F点的上 方），且EF=1，当四边形ACEF的周 长最小时，求E、F的坐标。
1、已知在对抛物线的对称轴上存 在一点P，使得△PBC的周长最小， 请求出点P的坐标 .
第一步 寻找、构造几何模型 要求△PBC的周长最小？ 只要PB+PC最小就好了！
经典模型：牛喝水！
第二步 计算——勾股定理
把PB+PC转化为PA+PC ！
当P运动到H时，PA+PC最小 AC 22 32 13
EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，
并说明理由；
A
D
N
E
M
B
C
CB 32 32 3 2
小结
E? F!
3.如图，∠AOB=45，角内有一动点 P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q， R，求△PQR周长的最小值。
D
B
R P
O
Q
A
E
4.如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边
三角形,M为对角线BD（不含B点）上任意一
点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接
上的一动点，则EC+ED的最小值
为
。
A
p
E
C
D
B
例2：△ABC中，AC=3，BC=4， AB=5，试在AB上找一点P，在BC上 取一点M，使CP+PM的值最小，并 求出这个最小值。 C/
A
P
BM
C
例1、例2中的最小值问题，所涉及到的 路径，虽然都是由两条线段连接而成， 但是路径中的动点与定点的个数不同， 例1 中的路径为“定点→动点→定点”， 是两个定点一个动点，而例2中的路径 是“定点→动点→动点”，是一个Байду номын сангаас点 两个动点，所以两个题的解法有较大差 异，例1是根据两点之间线段最短求动 点的位置，例2是根据垂线段最短找两 个动点的位置。
两条线段和的最小值 两条线段差的最大值
两点之间，线段最短
三角形两边之差小于第三边
当P运动到E时，PA＋PB 最小
当Q运动到F时，QD－QC 最大
当P运动到E时，PA＋PB最 小
当Q运动到F时，QD－QC最大
第一步，寻找、构造几何模型 第二步，计算
例1：在△ABC中，AC=BC=2，
∠ACB=90O，D是BC边的中点，E是AB
例5:在x轴、y轴上是否分别存在点M、 N,使得四边形MNFE的周长最小？如
果存在,求出周长的最小值;如果不 存在,请说明理由.
第一步 寻找、构造几何模型
要求四边形MNFE F/
F
的周长最小？
N
E
M
E/
把三条线段转移 到同一条直线上 就好了！
第二步 计算——勾股定理
E' F ' 32 42 5
例3：已知二次函数图像的顶点坐标 为C(3，-2)，且在x轴上截得的线段 AB的长为4，在y轴上有一点P，使 △APC的周长最小，求P点坐标。
A/ O PA B C
例4：抛物线y=ax2+bx+c经过点A(4，3)，B(2，0)，当x=3和x=-3时， 这条抛物线上对应点的纵坐标相等， 经过点C(0，-2）的直线a与x轴平 行。（1）求直线AB和抛物线，（2） 设直线AB上点D的横坐标为-1，P(m， n)是抛物线上的一动点，当△POD 的周长最小时，求P点坐标。
2、对于动点Q（1，n）， 求PQ+QB的最小值 .
第一步 寻找、构造几何模型 要求PQ+QB的最小值？
经典模型：牛喝水！
第二步 计算——勾股定理
把PQ+QB转化为PQ+QA ！ 当Q运动到E时，PQ+QA最小
AP 32 32 3 2
第二步 计算——勾股定理
把PQ+QB转化为PQ+QA ！ 当Q运动到E时，PQ+QA最小
A D
P OB
C
A D
OB P
C
例3，例4中最小值问题，所涉及到的
路径虽然都是有两条动线段连接而成， 且路径都是“定点→动点→定点”， 但是动点运动的路线不同，例3是直线， 例4是曲线，因此它们的解法有很大不 同，例3是根据两点之间线段最短找到 动点的位置，例4是根据垂线段最短找 到所求的两个动点的位置。