必修5不等式知识点总结

不等式知识总结

一、不等式的主要性质：

(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>,

(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>； d b c a d c b a +>+⇒>>,

(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,;bd ac d c b a >⇒>>>>0,0

(5)倒数法则：b a ab b a 110,<⇒>>; (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且

二、一元二次不等式02>++c bx ax （0>a ）和)0(02><++a c bx ax 及其解法

0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数

c bx ax y ++=2 的图象

))((212x x x x a c bx ax y --=++= ))((212x x x x a c bx ax y --=++= c bx ax y ++=2

一元二次方程

02=++c bx ax

有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 02>++c bx ax

{}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 02<++c bx ax {}21x x x x << ∅

∅ 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于取两边，小于取中间

三、均值不等式：若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即

).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b a 1. 使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等

2、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22

,2a b ab a b R +≤∈； ③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭

;⑤)0(2>≥+ab b a a b 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 222

1122a b a b ab a b ++≥≥≥+（当a = b 时取等）

4、极值定理：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2

4s ．

⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．

四、含有绝对值的不等式

1、绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离

2、解含有绝对值不等式的主要方法：（1）解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；（2）去掉绝对值的主要方法有：

①公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-．

②定义法：零点分段法； ③平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．

五、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩

六、数轴穿根法: 奇穿，偶不穿 例题：不等式03

)4)(23(22≤+-+-x x x x 的解为 七、线性规划:

1、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:

方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域”

(1)在平面直角坐标系中作出直线Ax ＋By ＋C ＝0；

(2)在直线的一侧任取一点P (x 0，y 0)，特别地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点．

(3)若Ax 0＋By 0＋C >0，则包含此点P 的半平面为不等式Ax ＋By ＋C >0所表示的平面区域，

不包含此点P 的半平面为不等式Ax ＋By ＋C <0所表示的平面区域．

(4)同侧同号，异侧异号

方法二：“直线定界、左右定域”利用规律： （由x 的大小确定左右，由y 的大小确定上下）

1.Ax+By+C>0,当A>0时表示直线Ax+By+C=0右方，当A<0时表示直线Ax+By+C=0左方;

2.Ax+By+C<0,当A>0时表示直线Ax+By+C=0右方,当A<0时表示直线Ax+By+C=0左方。

注意：对应不等号画实线或虚线。

2.求线性目标函数（即截距型）最优解的一般步骤：

(1)设未知数； (2)确定目标函数； (3) 列出约束条件（将数据列表比较方便）；

(4)画线性约束条件所确定的平面区域，即可行域；(5)取目标函数z=0,过原点作相应的直线；

(6)平移该直线，使之与可行域有交点,观察确定区域内最优解的位置；

(7)解有关方程组求出最优解，代入目标函数得最值.

3.课本习题中出现的都是“截距型”目标函数z ax by =+（a b ，不同时为零），即线性目标函数，高考中除了出现“截距型”目标函数的情况外，还有非线性目标函数：

(1) “斜率型”目标函数y b z x a

-=-（a b ，为常数）．最优解为点（a b ，）与可行域上的点的斜率的最值； (2) “两点间距离型”目标函数22()()z x a y b =-+-（a b ，为常数）．

最优解为点（a b ，）与可行域上的点之间的距离的平方的最值；

(3) “点到直线距离型”目标函数z ax by c =++（a b c ，，为常数，且a b ，不同时为零）． 最优解为可行域上的点到直线0ax by c ++=的距离的最值．

线性规划小测验