数学建模的概念、方法和意义

2.1.2 数学建模的全过程
由于在数学建模的过程中都要对实际情况作出 由于在 数学建模的过程中都要对实际情况作出 一定的简化假设，所以对数学模型进行强健性分析是 一定的简化假设，所以对数学模型进行强健性分析是 很有必要的. 在学习数学建模课程的过程中， 很有必要的. 在学习数学建模课程的过程中，我们会 发现很多数学模型是强健的，也就是说， 发现很多数学模型是强健的，也就是说，虽然模型建 立在较强的假设上， 立在较强的假设上，假设对实际情况做出了较多的简 但是模型解答已经符合或近似现实对象的信息， 化，但是模型解答已经符合或近似现实对象的信息， 已经获得预期的建模效果. 已经获得预期的建模效果
2.1.3 数学建模论文的撰写
（3）问题重述（restatement of the problem） ）问题重述（ ） ， 或者问题澄清（ ，或者引 或者问题澄清（clarification of the problem） 或者引 ） ， ：按照作者对问题的理解 言（introduction） 按照作者对问题的理解，陈述论 ） 按照作者对问题的理解， ： 文要研究的实际问题，包括背景和任务； 文要研究的实际问题，包括背景和任务； ：陈述 （4）问题分析（analysis of the problem） 陈述 ）问题分析（ ） ： 作者对实际问题的分析和提出的数学问题， 作者对实际问题的分析和提出的数学问题，陈述作者 为建立数学模型选择采用的数学方法，陈述建立数学 为建立数学模型选择采用的数学方法， 模型的动机和思路； 模型的动机和思路；
2.1.2 数学建模的全过程
数学建模（ 数学建模（Mathematical Modeling）是建立数学 ） 模型解决实际问题的全过程，包括数学模型的建立、 解决实际问题的全过程 数学模型的建立 模型解决实际问题的全过程，包括数学模型的建立、 求解、分析和检验四大步骤 四大步骤（ 求解、分析和检验四大步骤（见下图）. 现实对象 的信息 检验 现实对象 的解答 分析 建立 数学模型 求解 数学模型 的解答
2.1.2 数学建模的全过程
数学建模取得满意的结果以后， 数学建模取得满意的结果以后，可以根据实际对 象的需要进一步应用所建立的数学模型来解决其它 实际问题，这就是模型应用. 实际问题，这就是模型应用. 最后，我们要理解数学建模的局限性： 最后，我们要理解数学建模的局限性：数学模型 是对现实对象简化之后得到的抽象化、 之后得到的抽象化 是对现实对象简化 之后得到的 抽象化 、 理想化的产 所以数学模型应用于实际问题的时候， 数学模型应用于实际问题的时候 物，所以数学模型应用于实际问题的时候，结论的通 用性和精确性只是相对的和近似的. 用性和精确性只是相对的和近似的
2.1.2 数学建模的全过程
在数学建模的实践中， 在数学建模的实践中，没必要对所有参数都进行 灵敏度分析， 灵敏度分析，需要对哪些参数进行灵敏度分析要从实 际意义出发考虑参数的不确定程度. 际意义出发考虑参数的不确定程度 有些参数实际上 是稳定的，其观测值是准确可靠的； 是稳定的，其观测值是准确可靠的；另一些参数实际 上经常变动，观测、 上经常变动，观测、估计或预测所得的参数值往往会 包含不小的误差. 显然， 包含不小的误差 显然，前一种参数没有做灵敏度分 析的必要，而后一种参数的不确定性会影响模型解答 析的必要， 的可信性，所以灵敏度分析非常有必要. 的可信性，所以灵敏度分析非常有必要
2.1.2 数学建模的全过程
（2）数学模型的求解，就是指运用所选择的数 ）数学模型的求解， 学方法求解数学模型. 采用适当的计算机软件 计算机软件能 学方法求解数学模型 采用适当的计算机软件能够扩 解决的问题的范围，并能减少计算错误. 大可解决的问题的范围，并能减少计算错误. 求解数 学模型的常用软件有： 学模型的常用软件有：Maple、Mathematica 等计算 、 机 代 数 系统 （ computer algebra system， CAS ） ， ； MATLAB、Lingo 等数值计算软件；SAS、SPSS 等 等数值计算软件 软件； 、 、 统计软件 软件； 电子表格处理软件…… 统计软件；Excel 等电子表格处理软件……
2.1.2 数学建模的全过程
模型的建立， （1）数学模型的建立，就是指从现实对象的信 ）数学模型的建立 就是指从现实对象的信 提出数学问题，选择合适的数学方法，识别常量、 息提出数学问题，选择合适的数学方法，识别常量、 自变量和因变量， 自变量和因变量，引入适当的符号并采用适当的单位 提出合理的简化假设， 制，提出合理的简化假设，推导变量和常量所满足的 数量关系，表述成数学模型. 数量关系，表述成数学模型
2.1.1 数学模型的概念和分类
数学模型可以按照表现特性来分类，例如： 数学模型可以按照表现特性来分类，例如：线性 可以按照表现特性 模型与非线性模型（ 模型与非线性模型（取决于模型的基本数量关系是否 是线性的） 离散模型与连续模型（ 、离散模型 是线性的） 离散模型与连续模型（取决于模型中的 、 变量（主要是时间）是离散的还是连续的） 、静态模 变量（主要是时间）是离散的还是连续的） 静态模 、 动态模型（取决于是否考虑时间引起的变化） 型与动态模型（取决于是否考虑时间引起的变化） 、 确定性模型与随机性模型（ 确定性模型与随机性模型（取决于是否考虑随机因素 的影响） 的影响）.
2.1.1 数学模型的概念和分类
数学模型可以按照数学方法来分类，例如： 数学模型可以按照数学方法来分类，例如：初等 可以按照数学方法 模型、几何模型、图论模型、组合模型、 模型、几何模型、图论模型、组合模型型、 型、 线性规划模型、 整数规划模型、 非线性规划模型、 目标规划模型、遗传算法模型、神经网络模型、 目标规划模型、遗传算法模型、神经网络模型、统计 回归模型、马氏链模型、排队论模型等. 回归模型、马氏链模型、排队论模型等
2.1.3 数学建模论文的撰写
数学建模论文可以包括以下几个部分（ 数学建模论文可以包括以下几个部分（论文结构 应根据需要灵活的安排） 应根据需要灵活的安排） ： ：要简练准确 （1）题目（title） 要简练准确、高度概括、恰 ）题目（ ） 要简练准确、高度概括、 ： 如其分的向读者传递论文的范围和水平； 如其分的向读者传递论文的范围和水平； ：在论文之前 （2）摘要（summary） 在论文之前，简明扼要 ）摘要（ ） 在论文之前， ： 的介绍研究的课题、建立的模型和取得的结果， 的介绍研究的课题、建立的模型和取得的结果，使读 者能迅速的了解论文的论题和成果，判断值不值得继 者能迅速的了解论文的论题和成果， 续阅读全文； 续阅读全文；
2.1.1 数学模型的概念和分类
数学模型可以按照应用领域来分类，例如： 数学模型可以按照应用领域来分类，例如：人口 可以按照应用领域 模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、 模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源 模型、再生资源利用模型等； 模型、再生资源利用模型等；范畴更大一些则形成许 多边缘学科，例如：生物数学、医学数学、地质数学、 多边缘学科，例如：生物数学、医学数学、地质数学、 数量经济学、数学社会学等. 数量经济学、数学社会学等 数学模型还可以按照建模目的来分类，例如： 还可以按照建模目的 数学模型还可以按照建模目的来分类，例如：描 述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、 述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、 控制模型等. 控制模型等
第2章
数学建模概述
2.1节 2.1节
数学建模的概念、 数学建模的概念、方法和意义
2.1.1 数学模型的概念和分类
数学模型（ Model）是由数字、 数学模型（Mathematical Model）是由数字、字 母或者其他数学符号组成的， 母或者其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律 的数学公式、图形或算法. 的数学公式、图形或算法
2.1.3 数学建模论文的撰写
：列表 （5）符号说明（exposition of variables） 列表 ）符号说明（ ） ： 说明论文所用到的变量和常量的数学符号及意义和 单位制； 单位制； （6）模型假设（exposition of assumptions and ）模型假设（ hypotheses） 用简练准确的语言列举建立数学模型所 ） ： 用到的简化假设，包括考虑哪些主要因素、 用到的简化假设，包括考虑哪些主要因素、忽略那些 次要因素、变量满足什么数量关系； 次要因素、变量满足什么数量关系；
2.1.2 数学建模的全过程
模型的解 （4）数学模型的检验，就是指把数学 模型的解 ）数学模型的检验，就是指把数学模型的 答解释成现实对象的解答，给出实际问题所需要的 实际问题所需要的分 答解释成现实对象的解答，给出实际问题所需要的分 预报、决策或控制的结果， 析、预报、决策或控制的结果，检验现实对象的解答 是否符合现实对象的信息 包括实际的现象、 现实对象的信息（ 是否符合现实对象的信息（包括实际的现象、数据或 计算机仿真） 从而检验数学模型是否合理、 ，从而检验数学模型是否合理 计算机仿真） 从而检验数学模型是否合理、是否适 ， 用.
2.1.2 数学建模的全过程
模型的解 （3）数学模型的分析，就是指对数学 模型的解 ）数学模型的分析，就是指对数学模型的 答进行数学分析， 包括对结果的误差分析 结果的误差分析或 答进行数学分析 ， 包括对 结果的误差分析 或 统计分 模型对数据的灵敏度分析、 析、模型对数据的灵敏度分析、模型对假设的强健性 分析. 分析. 灵敏性 sensitivity） （ ）是指当数学模型的某个参数 改变时模型解答的变化程度. 改变时模型解答的变化程度 在灵敏的情况下，一旦参数发生微小变化， 在灵敏的情况下，一旦参数发生微小变化，模型 的解答就会发生显著的变化， 的解答就会发生显著的变化，会给模型检验和模型应 用带来困难. 数学建模需要仔细的做灵敏度分析 建模需要仔细的做灵敏度分析. 用带来困难 数学建模需要仔细的做灵敏度分析
2.1.2 数学建模的全过程
如果检验的结果说明该数学模型不够合理、 如果检验的结果说明该数学模型不够合理、不适 用于实际对象， 用于实际对象，首先要考虑最初从实际对象的信息提 出的数学问题以及选择的数学方法是否适当， 出的数学问题以及选择的数学方法是否适当，是否要 重新提出数学问题、重新选择数学方法； 重新提出数学问题、重新选择数学方法；其次要考虑 在模型建立阶段所提出的简化假设是否合理， 在模型建立阶段所提出的简化假设是否合理，是否足 通过修改假设，或补充假设，重新建模. 够，通过修改假设，或补充假设，重新建模 正如图 2.1 所示，数学建模的过程往往需要经历反复和完善， 所示，数学建模的过程往往需要经历反复和完善， 直到满意. 直到满意
2.1.2 数学建模的全过程
强健性就是模型假设相对于实际情况 的 强健性就是 模型假设相对于实际情况的 精确程 模型假设相对于实际情况 模型解答的影响 从现实对象到数学模型， 的影响. 度对模型解答的影响 从现实对象到数学模型，需要 提出一些模型假设， 提出一些模型假设 ， 假设相对于实际情况的精确程 会影响数学模型能否取得符合或近似现实对象信 度，会影响数学模型能否取得符合或近似现实对象信 息的解答 如果模型假设相对于实际情况的精确程度 解答. 模型假设相对于实际情况 息的解答 如果模型假设相对于实际情况的精确程度 模型解答的影响不大 就称该数学模型是强健的 的影响不大， 对 模型解答 的影响不大 ， 就称该数学模型是 强健的 ；反之 模型的 （robust） 反之，如果数学模型的解答很依赖于某个 ） 反之，如果数学模型 解答很依赖于某个 ； 假设相对于实际情况的精确程度 的精确程度， 假设相对于实际情况的精确程度，就称该数学模型是 脆弱的（ 脆弱的（fragile）. ）