完整版应力变换公式

一点的应力不仅是坐标的函数，随着弹性体中点的位置改变而变化，而且即使同一点，由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不相同。一点的应力随着截面的法线方向的改变而变化称为应力状态。

应力状态分析就是讨论一点不同截面的应力变化规律。由于应力分量可以描述应力状态，因此讨论坐标系改变时，一点的各个应力分量的变化就可以确定应力状态。

当坐标系改变时，同一点的各个应力分量将作如何的改变。

容易证明，坐标系仅作平移变换时，同一点的应力分量是不会改变的，因此只须考虑坐标系旋转的情况。

假设在已知坐标系Oxyz中，弹性体中某点的应力分量为

8

u ；r<7T

严严

T

如果让坐标系转过一个角度，得到一个新的坐标系Ox'y'z'。设新坐标系与原坐标系之间有如下关系：

7z

x1叫

%

%

其中，l i，m i，n i表示新坐标轴Ox'y'z'与原坐标轴Oxyz之间的夹角方向余弦。

返回如果用

表示同一点在新坐标系下的应力分量

作斜截面ABC 与x'轴垂直，其应力矢量为p n ,则 根据应力矢量与应力分量的表达

式

卩=工」+碍刖+

b

刃

几=

芒丿十

r

y S

m

十b 尹

返回

设i'，j'，k'为新坐标系Ox'y'z'的三个坐标轴方向的单位矢量,

如图所示

将p n ，即p x'向 X'轴投影就得到x'; 向y'轴投影就得到xy'； 向Z'轴投影就得到

x'Z ；

所以

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尸 + 灯2

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将应力矢量分量表达式代入上述各式，并分别考虑y, z方向，则可以得到转轴公式

b卅=玲cr,十阳;cr> ++囚丄阳苗那+ 2血严苗聘+ 2□血J

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注意至U , x'y' = y'x' , y'z' = z'y' , x'z' = z'x'。

用张量形式描述，则上述公式可以写作

% -乐5叫、

应力变换公式表明：当坐标轴作转轴变换时，应力分量遵循张量的变换规律。坐标轴旋转后，应力分量的九个分量均有改变，但是作为一个整体所描述的应力状态是不会发生变化的。

应力张量为二阶对称张量，仅有六个独立分量。新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。因此，应力张量的六个应力分量就确定了一点的应力状态。

对于平面问题，如Ox轴与Ox'成角。则新旧坐标系

c^s^srn

cos3 sin a tp)

上述公式即材料力学中常用的应力变换公式。

应该注意的问题是：材料力学是根据变形效应定义应力分量的，而弹性力学是根据坐标轴定义应力分量的符号的。因此对于正应力二者符号定义结果没有差别，但是对于切应力符号定义是不同的。例如对于两个相互垂直的微分面上的切应力，根据弹性力学定义，符号是相同的，而根据材料力学定义，符号是相