第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 PPT

解：M 设(x, y,z)为柱面上任意一点
沿母 ,M 线 对应准线M上 0(x0一 ,y0,0点 ) M
则 M0M//l
M0
xx0yy0z 1 11
x 0 x z ,y 0 y z
(xz)2(yz)21为柱面方程。
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三. 特殊柱面(母线平行于坐标轴)
例1: 方程 y2 =2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上的抛物线y2 =2x, 该柱面叫做抛物柱面.
z
y
y2 =2x
o
x
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例2: 方程 xy = 0表示. 母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上的直线xy = 0, 所以它是过z轴
的平面.
z
o
y
xy = 0
x
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3、 母线平行于坐标轴的柱面方程.
一般地,在三维空间
z
方F 程 (x,y)0表柱示 面,
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0
(3)
从（2）（3）中消去x1,y1,z1得 F(x,y,z)=0
这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的 柱面的方程。
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பைடு நூலகம்
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例1、柱面的准线方程为
x2 y2 z2 1 2x2 2y2 z2 2
而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。
例如，任何—个与直母线不平行曲平面和柱面 的交线部可以作为它的准线．
准线不一定是平面曲线．
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二. 求柱面方程
设柱面的准线为
F1(x, y,z) 0 F2(x, y,z) 0
(1)
母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线
上一点，则过点M1的母线方程为
且有
xx1yy1zz1 (2) XY Z
(2) y2z24 （母线平行于x轴的双曲柱面）
(3) x22xz0（母线平行于y轴的抛物柱面）
注：上述柱面的方程都是二次的，都称为二次柱面。
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1. 椭圆柱面 x2 y2 a2 b2 1
z
2. 双曲柱面
x2 a2
y2 b2
1
z
o
y
O
y
x
x
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四、空间曲线在坐标面上投影
设空间曲线C的一般方程
x l1
y zl 2
方G 程 (y,z)0表柱示 面, 母线 平行于 x 轴;
y x
准线 yoz 面上的曲线 l2. 方H 程 (z,x)0表柱示 面,
z l3
母线 平行于 y 轴;
x
准线 xoz 面上的曲线 l3.
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y
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例3、下列方程各表示什么曲面？
(1)
x2 a2
y2 b2
1
（母线平行于z轴的椭圆柱面）
例2 已知圆柱面的轴为
x y1z1 1 2 2 点 M （1 1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面 的方程
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例 3 柱 面 的 准 线 是 x o y 平 面 的 圆 周 (中 心 在 原 点 ， 半 径 为 1 ),母 线 平 行 于 直 线 l： x y z ,求 此 柱 面 方 程 。
解析几何的基本思想是用代数的方法来研 究解决几何问题，其主要内容可示意如下：
点 轨迹
第一章 第二章
坐标
曲曲 面线
与直线 一般曲面 一般曲线
第三章 第四章 第五章
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普参 通数
方程与关系 常见曲面和二次曲面 二次曲线的一般理论
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第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
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第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
C:z z
4x2 y2 3(x2 y2 )
由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1
F (x, y, z) = 0
G (x, y, z) = 0
(3)
由方程组(3)消去z后得方程
H (x, y) = 0
(4)
方程(4)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线C
一定在曲面上.
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以曲线C为准线, 母线平行于z 轴(即垂直xOy面) 的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面, 投影柱 面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影 曲线, 或简称投影.
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一. 概念
z
引例. 分析方程 x2y2R2
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，x2y2R2表示圆C,
C
o M1
y
在圆C上任取一点M1(x,y,0),过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M(x,y,z)
l
的坐标也满足方程 x2y2R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
→曲面直纹性.
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根据图形的几何特征建立它们的方程， 和从方程出发讨论它们的图形的几何特性， 是学习本课程所应掌握的基本技能．
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想一想
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第一节 柱面
目标：通过本节的学习，了解柱面的有 关概念，掌握柱面方程的求法.
空间曲线在坐标面上投影
重点难点：柱面方程的求法.
空间曲线在坐标面上投影
所以方程 H (x, y) = 0 所表示的曲线必定包含 z=0
了空间曲线C在xOy面上的投影.
注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线
方程.
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例1: 已知两个球面的方程分别为: x2 + y2 + z2 = 1
和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.
解: 联立两个方程消去 z ,得
2x24(y1)2 1 2
这是母线平行于z 轴的椭圆柱面,两球面的 交线C在xOy面上的投影曲线方程为
2x2 4(y1)2 1
2
z 0 大家好
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例2: 设一个立体由上半球面 z 4x2y2和锥面
z 3(x2y2)所围成, 求它在xoy面上的投影.
z
解: 半球面与锥面的交线为
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x2y2R2 表示圆柱面
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定义4.1.1在空间，由平行于定方向且与 一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面 叫做柱面.
这条定曲线叫柱
面的准线，那族
母线
平行直线中的每
一直线，都叫做
叫柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
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准 线
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注
显然，柱面被它的准线和直母线方向完全确 定．但是对于一个柱面，它的准线并不是唯一的．
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第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点或曲线的轨迹时，求曲面方程． （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
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第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
知识结构:
图形 → 方程
方程 → 图形
柱面
锥面
旋转曲面
椭球面
双曲面
抛物面