数论与有限域 第六章

一、域的特征
定义6.1.1记有限域F的乘法单位元为e，如果存在正整 数n，使得ne=0，则称满足此条件的最小正整数n为 域F的特征。如果这样的正整数不存在，则称域F的 特征为零。 例6.1.1 容易验证由前一章的例5.4.5得到的域GF(8)的特 征为 2， 由例5.4.4得到域GF(9)的特征为 3， 而实数域与有理数域的特征则为 0。
一、元素的阶
定理6.2.3若n为正整数，则
(d ) n。
d |n
1 2 n 证明：设Sn为有理数集： S n { , ,, } ，而 n n n
Tn为Sn中的既约分数构成的集合，即 Tn中的元素的分母为n，分子与n相对互素，则 |Sn|=n且|Tn|=φ(n)
1 2 6 (例如 S8 { , , , } 且 8 8 8
第六章
有限域的抽象性质
第一节 有限域的加法结构
一、域的特征
二、有限域F中的元素个数
一、域的特征
设e为有限域F中的乘法单位元。定义F中的序列{u0, u1, u2,…}如下 u0=0, un=un-1+e, 其中n=1, 2,... 则易知nZ，有un=ne，于是在此序列中，m和n，有 um+n=(m+n)e=me+ne=um+un 且 umn=(mn)e=(mn)e2=me· ne=um×un。 由于F是有限域，因而序列{u0, u1, u2,…}中的元素不可能 都不相同，故可设存在整数c，使得u0=0, u1, u2,…, uk+c-1互不相同且uk+c=uk。又uk+c-uk=uc，即uc=ce=0。 因而我们找到了一个整数c，使得ce=0。一般地
一、元素的阶
引理6.2.2若ord(α)=t，则ord(αi)=t/gcd(i,t)。 证明：首先，易知β≠0，有βs=e当且仅当ord(β)|s。 其次，设d=gcd(i,t)，则 αi(t/d)=αt(i/d)=(αt)(i/d)=e。因而ord(αi)|(t/d)。 另设s=ord(αi)，则αis=(αi)s=e，而ord(α)=t，因而t|is。由 于d=gcd(i,t)，因而存在某整数a和b，使得 ia+tb=d。 于是 ias+tbs=ds。 则 由 t|is ， 有 t|ds ， 即 (t/d)|s ， 因 而 (t/d)|ord(αi) 。 结 合 ord(αi)|(t/d)，就得到 ord(αi)=t/d，也即ord(αi)=t/gcd(i,t)。
一、元素的阶
定理6.2.2设t为整数，则在域F中或者没有t阶元素，或者 恰有φ(t)个t阶元素。 证明：若在域F中没有t阶元素，则定理得证。 反之，若ord(α)=t，正如上面所观察到的每个t阶元素都 在集合 {1, α, α2,…, αt-1}中。 但是由引理6.2.2，αi的阶为t当且仅当 gcd(t,i)=1。 因而这样的i恰有φ(t)个。
一、元素的阶
到此，对于有q个元素的有限域F的元素的阶我们有这样 的认识： 1. 给定正整数t，若t∤(q-1)，则在域F中不存在t阶元素； 2. 若t|(q-1)，则在域F中或者没有t阶元素，或者恰有φ(t) 个t阶元素。 接下来我们证明若t确实整除q-1，则在域F中将总是存在 有φ(t)个t阶元素。在给出具体证明之前，再来看另外 一个例子。
二、本原元
定义6.2.1称有限域F中阶为q-1的元素，即循环群F*=F{0}的生成元，为本原元。
例6.2.5给出域F=Z5以及域F=Z7中的本原元。 解：首先由上节的定理6.2.4，域F=Z5中恰有φ(4)，即2个 本原元，而域F=Z7中恰有φ(6)，也即2个本原元。下 面给出具体地寻找过程。 域F=Z5中的元素为{0,1,2,3,4}，其中2的幂次依次为 20=1，21=2，22=4，23=3，24=1，因而 2的阶为4，而3的阶为4/gcd(4,3)=4， 4的阶为4/gcd(4,2)=2， 因而2与3是域Z5中的本原元。
一、元素的阶 二、本原元 三、最小多项式与本原多项式
一、元素的阶
以下设F为有限域，F*为有限域F中的所有非零元素构成 的集合，αF*，考察由α的各个幂次所构成的序列{e, α, α2,…, αn,…}的性质。 首先由域F对乘法运算的封闭性，知i，αiF，又F 是有限域，因而序列{e, α, α2,…, αn,…}中必然会出现重 复。 设{e, α, α2,…, αk+t-1}互不相同且αk=αk+t，则 k=0； 否则若k>0，则由αk=αk+t得到 αk-1=αk+t-1， 这与{e, α, α2,…, αk+t-1}互不相同相矛盾，进而αt=e。 一般地
一、元素的阶
从而r(x)是F[x]中的常数多项式，也即域F中的一个元素。 由于p(α)=0，因而 p(α)=q(α)(α-α)+r(α)=0，即r(α)=0， 而r(x)是域F中的一个元素，因而 r(x)=0，于是 p(x)=q(x)(x-α)， 并且方程p(x)=0的任意一个不等于α的根β都是方程q(x)=0 的根。 但是q(x)的次数为m-1，由归纳假设方程q(x)=0至多有m1个根，因而方程p(x)=0至多有m个根。
一、元素的阶
例6.2.3设q=9，则q-1=8，进而t的可能取值为 1，2，4，8。 又对于t的每一个可能取值，t阶元素的个数或者 为0或者为φ(t)个。 由欧拉函数的性质，计算得到t和φ(t)的取值如下表：
t 1 2 4 8 φ(t) 1 1 2 4
注：φ(t)列的和为8， 与域F中的非零元 素的个数相同。
一、元素的阶
定理6.2.4设F是有q个元素的有限域，t为正整数。若t∤(q-1)，则域 F中不存在t阶元素；若t|(q-1)，则域F中恰有φ(t)个t阶元素。 证明：只需证明：若t|(q-1)，则域F中恰有φ(t)个t阶元素。 对于q-1的每个正因子t，记域F中t阶元素的个数为ψ(t)。则由域F 中的每个非零元素的阶都必定整除q-1，可以得到
S n Td ，进而 | Sn | Td 。
d |n
d |n
同时由于|Sn|=n，|Td|=φ(d)。因而结论得证。
一、元素的阶
例6.2.4计算φ(35)。 解：按照欧拉函数的定义，可以在1，2，3，…，35中 逐个测试其是否与35相对互素。 然而，由定理6.2.3应有 φ(1)+φ(5)+φ(7)+φ(35)=35， 同时， φ(1)=1，φ(5)=4，φ(7)=6， 因而 φ(35)=351-4-6=24。
二、有限域F中的元素个数
通过定理6.1.2，对有限域F的加法结构我们可以得到如 下认识： 有限域F中的元素可以看做是域Fp中元素构成的m元组， 且 (a1, a2,…,am)+(b1,b2,…,bm)=(a1b1, a2+b2,…, am+bm) 接下来，我们来研究域F的乘法结构。
第二节 有限域的乘法结构
1 3 5 7 T8 { , ， ， } )。 8 8 8 8
一、元素的阶
接下来若设集合Sn中的所有分数都已进行了约简，则 集合Sn中的每一个分数的分母d是n的因子， 其分子e是与n相对互素且介于区间1≤e≤d的整数。 反之，若d是n的正因子，1≤e≤d，且(e,d)=1，则 分数e/d必是集合Sn中某个分数的约简形式。 进而，对于n的所有因子d，Sn将会分解为若干不相交的 集合Td的并集， 即
一、元素的阶
例6.2.2设域F中的元素α的阶ord(α)=8，则利用引理6.2.2 可以计算αi ，i=0, 1,…,7的阶的结果如下表： 表6-1 域F中各元素阶列表
i gcd(i,8) αi
0 1 2 3 4 5 6 7
8 1 2 1 4 1 2 1
1 8 4 8 2 8 4 8
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表6-1 中有： 4个8阶的元素， 2个4阶的元素， 1个2阶的元素， 以及1个1阶的元素；
一、域的特征
定理6.1.1若F是有限域，则F的特征c必定为素数。 证 明 ： 假 设 相 反 ， 设 正 整 数 c=a×b ， 其 中 1≤a≤c ， 1≤b≤c，则由上述有限域F中的序列{u0, u1, u2,…}所具 有的性质知 uc=ua×ub。 但uc=0，而ua 与ub 均不为0，如此与域中无零因子的性 质相矛盾，因而c必定为素数。 在以下的叙述中，记有限域的特征为字母p，则易知序 列{u0, u1, u2,…}中第一个出现重复的元素是 up=0，进而u0, u1, u2,…, up-1互不相同。
二、有限域F中的元素个数
否则在F中选择不具有形式aω1+b的元素ω2 ，则a, b, cFp，在F中都可以对应地找到一个元素aω2+bω1+c， 显然在F中共有p3 个元素具有此形式，因而若域F中 元素的数目q=p3，则定理得证。 否则，我们在F中选择不具有形式 aω2+bω1+c的元素 ω3，…。 最终，在F中可以选定一组元素{ω1,ω2,…,ωm-1}，使得F 中 的 每 个 元 素 α 都 有 唯 一 的 表 达 式 ： α=a1+a2ω1+a3ω2+…+am-1ωm-1，其中aiFp，i=1, 2, …, m-1。由于每个ai有p个可能的取值，因而F中恰有pm 个元素。定理得证
一、元素的阶
例6.2.1设Z8为整数模8的剩余类环，即 定义了模8的加法和乘法运算的集合{0,1,2,…,7}。 在这个环中，通过验证我们会发现多项式方程x2-1=0有4 个不同的根 x=1,3,5,7。 即我们竟然得到了一个有4个根的二次方程，这似乎与我 们给出的引理6.2.1矛盾。但是需要注意的是Z8 中有零 因子2和4，因而不是域，故并不矛盾。
一、元素的阶
定义6.2.1 记有限域F的乘法单位元为e，则称使得等式 αt=e成立的最小正整数t，t≥1，为α的阶，记为ord(α)。
通常，α取不同值，α的阶相应地也会有不同的取值， 并且计算有可能也会很困难。但是，在域F中利用以 下结论可以很明确地确定出t，t≥1，阶元素的个数。
一、元素的阶
定理6.2.1设有限域F具有q个元素，αF*，若α的阶为t， 则t|(q-1)。 证明：由域的定义，F*构成了乘法群，由于α的阶为t， 即 αt=e， 因而{e, α, α2,…, αt-1}构成了F*的子群。拉格朗日定理子 群中的元素个数一定会是整个群的元素个数的因子， 因而 t|(q-1)。
一、元素的阶
推论6.2.1 若ord(α)=t，则每个满足方程xt=e的域F中的元 素都必定是α的幂。 证明：若ord(α)=t，即αt=e，则 (αi)t-e=(αt)i-e=0， 即t个元素e, α, α2,…, αt-1是方程xt-e=0的t个不同的根，而 由引理6.2.1该方程不会再有其它的根！即 每个满足方程xt=e的域F中的元素都必定是α的幂。 但是正如下面的引理6.2.2所述的，并不是α的每个幂次都 有阶t。
t |( q 1)
(t ) q 1
又
t |q 1
，进而 (t ) q 1
t |q 1
( (t ) (t )) 0
但是对于所有的t，φ(t)-ψ(t)≥0。因而对于q-1的每个正因子t，都有 φ(t)=ψ(t)。
一、元素的阶
推论6.2.2 在每个有限域中，都至少存在一个 （事实上恰有φ(q-1)个）q-1阶元素。因而 任意有限域的乘法群都是循环群。
二、有限域F中的元素个数
定理6.1.2有限域F中的元素个数q必定是某个素数p的幂 次，即q=pm。 证明：首先，容易验证域F的子集{u0, u1, u2,…, up-1}构 成了F的一个子域，记为Fp。 若F=Fp，则q=p，结论得证。 否则设ω1F-Fp，则a, bFp，在F中都可以对应地找 到一个元素aω1+b，显然在F中共有p2 个元素具有这 样的形式，因而若域F中元素的数目q=p2，则定理得 证。
一、元素的阶
引理6.2.1设F为有限域，若p(x)是F[x]中的m次多项式， 则在域F中方程p(x)=0至多有m个不同的根。 证明：对m进行数学归纳。 若m=1，此时p(x)为一次多项式，即方程p(x)=0具有形式 ax+b=0，显然该方程只有一个根x=-a-1b。 若m≥2，且方程p(x)=0没有根，则定理得证； 否则，设α为方程p(x)=0的根，即 p(α)=0，以(x-α)除以p(x)由带余数除法可以得到 p(x)=q(x)(x-α)+r(x)， 其中deg(r(x))<deg(x-α)，或者r(x)=0，