2018年全国高中数学联合竞赛重庆市预赛试题

2018年全国高中数学联合竞赛重庆市预赛试题

一、填空题（本小题共6小题，每小题8分，共48分。）

1.设集合A ={a −1,2log 2b }与B ={a +1,log 2(16b −64)}恰有一个公共元素为a ，则实数a =.

2.从正九边形中任取三个顶点构成三角形，则正九边形的中心在三角形内的概率为.

3.设O (0,0),A (1,0),B (0,1),点P 是线段AB 上的一个动点，−→AP =λ−−→AB,若−−→OP ·−−→AB ≥−→P A ·−−→P B,

则实数λ的取值范围是.

4.顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB,垂足为B ，OH ⊥HB,垂足为H ，且P A =4,C 为P A 的中点，则当三棱锥O −HP C 的体积最大时，OB 的长为.

5.已知复数z 的模为1，则|z −4|2+|z +3i |2的最小值为

.6.在△ABC 中，sin 2A +sin 2C =2018sin 2B,则(tan A +tan C )tan 2B

tan A +tan B +tan C =.二、解答题（本大题共4小题，第7、8题各16分，第9、10题各20分，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

7.（满分16分）设f (m )是正整数m 的各位数字的乘积，求方程f (m )=m 2−10m −36的正整数解.

8.（满分16分）设a 1=2,a n +1=a n 2−a n +1,证明：

1−120182018

<2018∑n =11a n

<1.9.（满分20分）设椭圆C 的左、右顶点为A,B (a,0),过右焦点F (1,0)作非水平直线l 与椭圆C

交于P 、Q 两点，记直线AP 、BQ 的斜率分别为k 1,k 2,试证：k 1k 2

为定值，并求此定值（用a 的函数表示）.

10.（满分20分）设函数f (x )=ax 2+bx +c (a =0)满足|f (0)|≤2,|f (2)|≤2,|f (−2)|≤2,求当x ∈[−2,2]时y =|f (x )|的最大值.

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