第4讲 插值与拟合
数值计算方法插值与拟合
数值计算方法插值与拟合数值计算方法在科学计算和工程应用中起着重要的作用,其中插值和拟合是其中两个常用的技术。
插值是指通过已知的离散数据点来构造出连续函数或曲线的过程,拟合则是找到逼近已知数据的函数或曲线。
本文将介绍插值和拟合的基本概念和常见的方法。
一、插值和拟合的基本概念插值和拟合都是通过已知数据点来近似表达未知数据的方法,主要区别在于插值要求通过已知数据点的函数必须经过这些数据点,而拟合则只要求逼近这些数据点。
插值更加精确,但是可能会导致过度拟合;拟合则更加灵活,能够通过调整参数来平衡拟合精度和模型复杂度。
二、插值方法1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法,通过已知数据点构造出线段,然后根据插值点在线段上进行线性插值得到插值结果。
2. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式插值的方法,通过已知数据点构造出一个多项式,并根据插值点求解插值多项式来得到插值结果。
3. 分段线性插值分段线性插值是一种更加灵活的插值方法,通过将插值区间分成若干小段,然后在每个小段上进行线性插值。
三、拟合方法1. 最小二乘法拟合最小二乘法是一种常用的拟合方法,通过最小化实际观测点和拟合函数之间的残差平方和来确定拟合函数的参数。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法,通过选择合适的多项式次数来逼近已知数据点。
3. 曲线拟合曲线拟合是一种更加灵活的方法,通过选择合适的曲线函数来逼近已知数据点,常见的曲线包括指数曲线、对数曲线和正弦曲线等。
四、插值与拟合的应用场景插值和拟合在实际应用中具有广泛的应用场景,比如图像处理中的图像重建、信号处理中的滤波器设计、金融中的风险评估等。
五、插值与拟合的性能评价插值和拟合的性能可以通过多种指标进行评价,常见的评价指标包括均方根误差、相关系数和拟合优度等。
六、总结插值和拟合是数值计算方法中常用的技术,通过已知数据点来近似表达未知数据。
插值通过已知数据点构造出连续函数或曲线,拟合则找到逼近已知数据的函数或曲线。
插值与拟合
且 f(1.5) ≈L1(1.5) = 0.885。
Lagrange插值法的缺点
• 多数情况下,Lagrange插值法效果是不错的, 但随着节点数n的增大,Lagrange多项式的次 (Runge)现象。
• 例:在[-5,5]上用n+1个等距节点作插值多项 式Ln(x),使得它在节点处的值与函数y = 1/(1+25x2)在对应节点的值相等,当n增大时, 插值多项式在区间的中间部分趋于y(x),但 对于满足条件0.728<|x|<1的x, Ln(x)并不趋 于y(x)在对应点的值,而是发生突变,产生 剧烈震荡,即Runge现象。
总结
• 拉格朗日插值:其插值函数在整个区间 上是一个解析表达式;曲线光滑;收敛 性不能保证,用于理论分析,实际意义 不大。
• 分段线性插值和三次样条插值:曲线不 光滑(三次样条已有很大改进);收敛 性有保证;简单实用,应用广泛。
1.2 二维插值
• 二维插值是基于一维插值同样的思想, 但是它是对两个变量的函数Z=f(x,y)进 行插值。
• n=5; • x0=-1:1/(n-1):1;y0=1./(1+25*x0.^2);y1=lagr(x0,y0,x); • subplot(2,2,2), • plot(x,z,'r-',x,y,'m-'),hold on %原曲线 • plot(x,y1,'b'),gtext('L8(x)','FontSize',12),pause %Lagrange曲线
基函数为
l0 (x)
x x1 x0 x1
x2 1 2
2
x
l1(x)
线性插值函数为
数学建模~插值与拟合(课件ppt)
• 代数多项式插值是最常用的插值方式,其内容也 是最丰富的,它又可分为以下几种插值方式: (1)非等距节点插值,包括拉格朗日插值、利用 均差的牛顿插值和埃特金插值; (2)非等距节点插值,包括利用差分的牛顿插值 和高斯插值等; (3)在插值中增加了导数的Hermite(埃尔米特) 插值; (4)分段插值,包括分段线性插值、分段Hermite (埃尔米特)插值和样条函数插值; (5)反插值。 • 按被插值函数的变量个数还可把插值法分为一元 插值和多元插值。
引言2---插值和拟合的联系与区别
联系:二者都是函数逼近的主要方法
• 区别: •运算过程上的区别:
– 拟合:是将数据点用最恰当的曲线描述出来,以反映问题的规律, 是特殊到一般的过程。 – 插值:是在知道曲线的形状后得出某些具体点的性质的过程,是 从一般到特殊。
•求解误差上的区别:
– 拟合:考虑观察值的误差(误差不可避免时)。以偏差的某种最 小为拟合标准
n n ik
0 i k 而: lk xi 1 i k
22
例1
x1 1, x2 2, x3 4, f ( x1 ) 8, f ( x2 ) 1, f ( x3 ) 5
求二次插值多项式。
解:
按拉格朗日方法,有:
L( x) y1l1 x y2l2 x y3l3 x ( x 2)( x 4) ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 2) 8 1 5 (1 2)(1 4) (2 1)(2 4) (4 1)(4 2) 3x 2 16 x 21
4.2 插值方法 选用不同类型的插值函数,逼近的效 果就不同,一般有: (1)拉格朗日插值(lagrange插值) (2)分段线性插值 (3)Hermite (4)三次样条插值。
插值与拟合
x[ a ,b ]
即:有界区间上的连续函数被多项式一致逼近。
§ 7.1.4 实际应用中两种方法的选择
在实际应用中,究竟选择哪种方法比较恰 当?总的原则是根据实际问题的特点来决定采 用哪一种方法。具体说来,可从以下两方面来 考虑:
1.如果给定的数据是少量的且被认为是严 格精确的,那么宜选择插值方法。采用插值方 法可以保证插值函数与被插函数在插值节点处 完全相等。
2.如果给定的数据是大量的测试或统计的 结果,并不是必须严格遵守的,而是起定性地 控制作用的,那么宜选用数据拟合的方法。这 是因为,一方面测试或统计数据本身往往带有 测量误差,如果要求所得的函数与所给数据完 全吻合,就会使所求函数保留着原有的测量误 差;另一方面,测试或统计数据通常很多,如 果采用插值方法,不仅计算麻烦,而且逼近效 果往往较差。
0
(
x)
1
2
x x1
x0 x0
x x0
x1 x1
2
1(x)
1
2
x x1 x0 x1
x x0 x1 x0
2
2
0
(
x)
(
x
x0
)
(7.2.3)
下 面 的 (7.2.9) 、 (7.2.10) 两 式 构 成 了 三 次 Hermite 插值基本提法二的插值公式
P3(x) = 0(x)y0 1(x)y1 0(x)m0 1(x)m1 (7.2.9)
0 ( x)
(x ( x0
《插值与拟合》课件
拟合的方法
1
最小二乘法
通过最小化残差平方和,找到与数据最匹配的函数。
2
局部加权回归
给予附近数据点更高的权重,拟合接近局部数据点的函数。
3
多项式拟合
用多项式函数逼近数据,通过选择合适的次数实现拟合。
插值与拟合的误差分析
插值和拟合都会引入近似误差,需要评估误差范围和影响因素。
插值与拟合在数据处理与分析中的应用
数据分析
通过插值和拟合方法对数据进 行探索和分析。
数据处理
在数据处理过程中使用插值和 拟合技术来填充缺失值和平滑 数据。
数据建模
利用插值和拟合模型对数据特 征进行捕捉和预测分析。
插值与拟合的推广和发展前景
随着数据科学和人工智能的不断发展,插值和拟合在各个领域的应用前景越 来越广阔。
插值与拟合的应用范围
科学研究
用于数据分析、信号优化设计、近似计算和 效能提升。
经济金融
用于市场分析、预测模型和 风险评估。
插值的方法
1
拉格朗日插值
基于多项式插值公式,用拉格朗日多项式逼近函数。
2
牛顿插值
基于差商的概念,用多项式逼近函数的值。
3
分段插值
将插值区间划分为多个子区间,并在每个子区间上进行插值。
《插值与拟合》PPT课件
插值与拟合是数值计算和数据分析中重要的概念。
插值与拟合的概念
插值
通过已知值的推算,计算在未知点的近似值。
拟合
通过曲线或曲面拟合已知数据,以描述和预 测未知数据。
插值与拟合的区别与联系
1 区别
2 联系
插值重点关注已知点的准确性,而拟合则 着重于整体形状的拟合。
插值和拟合都通过数学模型逼近离散数据, 以实现数据的补全和预测。
插值与拟合方法
插值与拟合方法在实际中,常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据.插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻找某个近似函数,使所得到的近似函数与已知数据有较高的拟合精度.插值问题:要求这个近似函数(曲线或曲面)经过所已知的所有数据点.通常插值方法一般用于数据较少的情况.数据拟合:不要求近似函数通过所有数据点,而是要求它能较好地反映数据的整体变化趋势。
共同点:插值与拟合都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数的方法,由于对近似要求的准则不同,因此二者在数学方法上有很大的差异.插值问题的一般提法:已知某函数)(x f y =(未知)的一组观测(或试验)数据),,2,1)(,(n i y x ii⋅⋅⋅=,要寻求一个函数)(x φ,使iiy x =)(φ),,2,1(n i ⋅⋅⋅=,则)()(x f x ≈φ.实际中,常常在不知道函数)(x f y =的具体表达式的情况下,对于i x x =有实验测量值iy y =),,2,1,0(n i ⋅⋅⋅=,寻求另一函数)(x φ使满足:)()(i i i x f y x ==φ),,2,1,0(n i ⋅⋅⋅=称此问题为插值问题,并称函数)(x φ为)(x f 的插值函数,nx x x x ,,,,21⋅⋅⋅称为插值节点,),,2,1,0()(n i y x ii⋅⋅⋅==φ称为插值条件,即)()(iiix f y x ==φ),,2,1,0(n i ⋅⋅⋅=,则)()(x f x ≈φ.(1) 拉格朗日(Lagrange )插值设函数)(x f y =在1+n 个相异点nx x x x ,,,,21⋅⋅⋅上的函数值为ny y y y ,,,,21⋅⋅⋅,要求一个次数不超过n 的代数多项式nnnx a x a x a a x P +⋅⋅⋅+++=221)(使在节点i x 上有),,2,1,0()(n i y x P ii n ⋅⋅⋅==成立,称之为n 次代数插值问题,)(x P n称为插值多项式.可以证明n 次代数插值是唯一的.事实上: 可以得到j n j n i i j in y x x xx x P j i ∑∏==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=≠00)()( 当1=n 时,有二点一次(线性)插值多项式:101001011)(y x x x x y x x x x x P --+--=当n =2时,有三点二次(抛物线)插值多项式:2120210121012002010212))(())(())(())(())(())(()(y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x P ----+----+----=(2)牛顿(Newton ) 插值牛顿插值的基本思想:由于)(x f y =关于二节点10,x x 的线性插值为)()()()()()()()()(00101000010101x x x x x f x f x p x x x x x f x f x f x p ---+=---+= 假设满足插值条件)2,1,0()()(2===i x p y x f iii的二次插值多项式一般形式为))(()()(1212x x x x c x x c c x p --+-+= 由插值条件可得⎪⎩⎪⎨⎧=--+-+=-+=)())(()()()()(21202202101011000x f x x x x c x x c c x f x x c c x f c 可以解出⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧------=--==020101121220101100)()()()()()(),(x x x x x f x f x x x f x f c x x x f x f c x f c所以))(()())(()()(10211020102x x x x c x p x x x x c x x c c x p --+=--+-+=类似的方法,可以得到三次插值多项式等,按这种思想可以得到一般的牛顿插值公式.函数的差商及其性质对于给定的函数)(x f ,用),,,(10n x x x f ⋅⋅⋅表示关于节点nx x x ,,,1⋅⋅⋅的n 阶差商,则有一阶差商:01011)()(),(x x x f x f x x f --=,121221)()(),(x x x f x f x x f --= 二阶差商:021021210),(),(),,(x x x x f x x f xx x f --=n 阶差商:0110211),,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f n n n n -⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-差商有下列性质:(1)差商的分加性:∑∏=≠=-=⋅⋅⋅nk nk j j j kk n x xx f xx x f 0)(01)()(),,,(.(2)差商的对称性:在),,,(1nx x x f ⋅⋅⋅中任意调换jix x ,的次序其值不变.牛顿插值公式: 一次插值公式为))(,()()(01001x x x x f x f x p -+=二次插值公式为))()(,,()())()(,,())(,()()(1021011021001002x x x x x x x f x p x x x x x x x f x x x x f x f x p --+=--+-+=于是有一般的牛顿插值公式为)())()(,,,()()())()(,,,())()(,,())(,()()(11010111010102100100----⋅⋅⋅--⋅⋅⋅+=-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+--+-+=n n n n n n x x x x x x x x x f x p x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x p可以证明:其余项为))(())()(,,,,()(11010n n n x x x x x x x x x x x x f x R --⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=-实际上,牛顿插值公式是拉格朗日插值公式的一种变形,二者是等价的.另外还有著名的埃尔米特(Hermite )插值等.(3)样条函数插值方法样条,实质上就是由分段多项式光滑连接而成的函数,一般称为多项式样条.由于样条函数的特殊性质,决定了样条函数在实际中有着重要的应用.样条函数的一般概念定义 设给定区间],[b a 的一个分划b x x x a n=<⋅⋅⋅<<=∆1:,如果函数)(x s 满足条件:(1) 在每个子区间),,2,1](,[1n i x x ii ⋅⋅⋅=-上是k 次多项式; (2) )(x s 及直到k -1阶的导数在],[b a 上连续.则称)(x s 是关于分划△的一个k 次多项式样条函数,nx x x ,,,1⋅⋅⋅称为样条节点,121,,,-⋅⋅⋅n x x x 称为内节点,nx x ,0称为边界节点,这类样条函数的全体记作),(k S P∆,称为k 次样条函数空间.若),()(k S x s P∆∈,则)(x s 是关于分划△的k 次多项式样条函数.k 次多项式样条函数的一般形式为∑∑=-=+-+=ki n j k j jii k x x k i x x s 011)(!!)(βα其中),,1,0(k i i=α和)1,,2,1(-=n j jβ均为任意常数,而)1,,2,1(,0,)()(-=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-+n j x x x x x x x x jj kj kj在实际中最常用的是2=k 和3的情况,即为二次样条函数和三次样条函数. 二次样条函数:对于],[b a 上的分划b x x x a n=<⋅⋅⋅<<=∆1:,则)2,()(!2!2)(11222102∆βαααP n j j jS x x x x x s ∈-+++=∑-=+其中)1,2,1(,0,)()(22-=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-+n j x x x x x x x x j j j j . 三次样条函数:对于],[b a 上的分划b x x xa n =<⋅⋅⋅<<=∆10:,则)3,()(!3!3!2)(1133322103∆βααααP n j j jS x x x x x x s ∈-++++=∑-=+其中)1,2,1(,0,)()(33-=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-+n j x x x x x x x x jjj j .1 二次样条函数插值)2,()(2∆∈P S x s 中含有2+n 个待定常数,故应需要2+n 个插值条件,因此,二次样条插值问题可分为两类:问题(1):已知插值节点ix 和相应的函数值),,2,1,0(n i y i⋅⋅⋅=,以及端点0x (或n x )处的导数值0'y (或ny '),求)2,()(2∆∈PS x s 使得⎩⎨⎧'=''='⋅⋅⋅==))(()(),,2,1,0()(20022n n i i y x s y x s n i y x s 或(5.1)问题(2):已知插值节点ix 和相应的导数值),,2,1,0(n i y i⋅⋅⋅=',以及端点0x (或n x )处的函数值0y (或ny ),求)2,()(2∆∈P S x s 使得⎩⎨⎧==⋅⋅⋅='='))(()(),,2,1,0()(20022n n i i y x s y x s n i y x s 或(5.2)事实上,可以证明这两类插值问题都是唯一可解的.对于问题(1),由条件(5.1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧'=+='==-+++==++==++=∑-=00210211222102121211112020201002)(,,3,2,)(2121)(21)(21)(y x x s n j y x x x x x s yx x x s y x x x s j j i i j i jj j ααβααααααααα 引入记号T n ),,,,,(11210-=ββααα X 为未知向量,T nn y y y y ),,,,(10'= C 为已知向量, ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-0010)(21)(21211)(212110211211021212212222211200x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n A 于是,问题转化为求方程组C AX =的解Tn ),,,,,(1121-=ββααα X 的问题,即可得到二次样条函数的)(2x s 的表达式.对于问题(2)的情况类似.2.三次样条函数插值由于)3,()(3∆∈P S x s 中含有3+n 个待定系数,故应需要3+n 个插值条件,因此可将三次样条插值问题分为三类: 问题(1):已知插值节点jx 和相应的函数值),,2,1,0(n j y j⋅⋅⋅=,以及两个端点0x ,n x 处的导数值0'y ,ny ',求)3,()(3∆∈PS x s 使满足条件⎪⎩⎪⎨⎧='='⋅⋅⋅==),0()(),,1,0()(33n j y x s n j y x s j j j j(5.3)问题(2):已知插值节点jx 和相应的函数值),,2,1,0(n j y j⋅⋅⋅=,以及两个端点0x ,nx 处的二阶导数值0y '',n y '',求)3,()(3∆∈PS x s 使满足条件⎪⎩⎪⎨⎧=''=''⋅⋅⋅==),0()(),,1,0()(33n j y x s n j y x s j j j j(5.4)问题(3):类似地,求)3,()(3∆∈PSx s 使满足条件⎪⎩⎪⎨⎧=+=-==)2,1,0)(0()0(),,1,0()(0)(3)(33k x s x s n j y x s k n k j j(5.5)这三类插值问题的条件都是3+n 个,可以证明其解都是唯一的〔8〕.一般的求解方法可以仿照二次样条的情况处理方法,在这里给出一种更简单的方法.仅依问题(1)为例,问题(2)和问题(3)的情况类似处理.由于在)3,()(3∆PS x s ∈区间],[b a 上是一个分段光滑,且具有二阶连续导数的三次多项式,则在子区间],[1+j jx x 上)(3x s ''是线性函数,记),,,1,0)((3n j x s d jj =''=为待定常数.由拉格朗日插值公式可得nj x x h h x x d h x x d x s j j j jj j jj j ,,1,0,,)(1113=-=-+-=''+++显然jjj h d dx s -='''+13)(在],[1+j jx x上为常数.于是在],[1+j j x x 上有31233)(6)(2))(()(j jjj j j j j j x x h d d x x d x x x s y x s --+-+-'+=+(5.6)则当1+=j x x 时,由(5.6)式和问题(1)的条件得121231362)()(+++=-++'+=j j jj j j j j j j y h d d h d h x s y x s故可解得)2(6)(113+++--='j j j jjj j d d h h y y x s(5.7)将(5.7)式代入(5.6)式得)1,,1,0](,[,)(6)(2)()2(6)(1312113-=∈--+-+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+=++++n j x x x x x h d d x x d x x d d h h y y y x s j j j jj j j jj j j j j j j j(5.8) 在],[1j j x x-上同样的有),,2,1](,[,)(6)(2)()2(6)(131112111111113n j x x x x x h d d x x d x x d d h h y y y x s j j j j j j j j j j j j j j j j =∈--+-+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+=------------(5.9) 根据)(3x s的一阶导数连续性,由(5.9)式得)()2(6)0(311113j j j j j j j j x s d d h h y y x s '=++-=-'---- 结合(5.7)式整理得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=++++--+-+----11111111162j j j j j j j j j j j j j j j j j h y y h y y h h d h h h d d h h h 引入记号⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=+=--+--111116,j j j j j j j j j j j j j h y y h y y h h c h h h a ,111--+=-j j j j h h h a .则)1,,2,1(,2)1(11-==++-+-n j c d a d d a j j j j j j(5.10)再由边界条件:nny x s y x s '=''=')(,)(33得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--'=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'--=+----111100010106262n n n n n n n h y y y h d d y h y y h d d(5.11)联立(5.10),(5.11)式得方程组C D A =⋅(5.12)其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=----2121212112112200n n n n a a a a a aA ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-n n d d d d 110 D ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'--=----111110001066n n n n n n hy y y h c c y h y y h C 由方程组(6.12)可以唯一解出),,1,0(n j d j=,代入(5.8)式就可以得三次样条函数)(3x s 的表达式.B样条函数插值方法磨光函数实际中的许多问题,往往是既要求近似函数(曲线或曲面)有足够的光滑性,又要求与实际函数有相同的凹凸性,一般插值函数和样条函数都不具有这种性质.如果对于一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数(多项式),则用磨光函数构造出样条函数作为插值函数,既有足够的光滑性,而且也具有较好的保凹凸性,因此磨光函数在一维插值(曲线)和二维插值(曲面)问题中有着广泛的应用.由积分理论可知,对于可积函数通过积分会提高函数的光滑度,因此,我们可以利用积分方法对函数进行磨光处理.定义 若)(x f 为可积函数,对于0>h ,则称积分⎰+-=22,1)(1)(hx h x h dt t f h x f为)(x f 的一次磨光函数,h 称为磨光宽度.同样的,可以定义)(x f 的k 次磨光函数为)1()(1)(22,1,>=⎰+--k dt t f h x f hx h x h k h k事实上,磨光函数)(,x f h k 比)(x f 的光滑程度要高,且当磨光宽度h 很小时)(,x f h k 很接近于)(x f .等距B样条函数对于任意的函数)(x f ,定义其步长为1的中心差分算子δ如下:⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2121)(x f x f x f δ在此取0)(+=x x f ,则002121+++⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x δ是一个单位方波函数(如图5-1),记0)(+=Ωx x δ.并取1=h ,对)(0x Ω进行一次磨光得++++-+++-+++--+-+=-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰⎰⎰)1(2)1(2121)()(11212100212101x x x dt t dt t dt t t dt t x x xx x x x x x ΩΩ显然)(1x Ω是连续的(如图5-2).)(1x Ωo1-1/2 0 1/2 x -1 0 1 x 图5-1图5-2类似地可得到k 次磨光函数为kk j jk j k j k x k C x ++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=Ω∑21!)1()(11 实际上,可以证明:)(x kΩ是分段k 次多项式,且具有1-k 阶连续导数,其k 阶导数有2+k个间断点,记为)1,,2,1,0(21+⋅⋅⋅=+-=k j k j x j.从而可知)(x kΩ是对应于分划+∞<<⋅⋅⋅<<<-∞∆+110:k x x x 的k 次多项式样条函数,称之为基本样条函数,简称为k 次B样条.由于样条节点为)1,,2,1,0(21+⋅⋅⋅=+-=k j k j xj是等距的,故)(x k Ω又称为k 次等距B样条函数.对于任意函数)(x f 的k 次磨光函数,由归纳法可以得到 [4,8] :⎪⎭⎫⎝⎛+≤≤--Ω=⎰∞+∞--22)()(1)(1,h x t h x dt t f htx h x f k h k 特别地,当1)(=x f 时,有1)(11⎰+∞∞--=-dt htx hk Ω,从而1)(⎰+∞∞-=dx x k Ω,且当k ≥1时有递推关系⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛++=Ω--212121211)(11x x k x k x k x k k k一维等距B样条函数插值等距B样条函数与通常的样条如下的关系: 定理设有区间],[b a 的均匀分划nab h n j jh x x j -=⋅⋅⋅=+=),,,1,0(:0∆,则对任意 k 次样条函数),()(k S x S p k ∆∈都可以表示为B样条函数族1021-=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+---n j k j k k j h x x Ω的线性组合[14].根据定理 5.1,如果已知曲线上一组点()jjy x ,,其中),,1,0,0(0n j h jh x x j⋅⋅⋅=>+=,则可以构造出一条样条磨光曲线(即为B样条函数族的线性组合)⎪⎭⎫⎝⎛--=∑--=j h x x c x S n kj k j k 01)(Ω 其中)1,,1,(-⋅⋅⋅+--=n k k j c j为待定常数.用它来逼近曲线,既有较好的精度,又有良好的保凸性.实际中,最常用的是3=k 的情况,即一般形式为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑+-=j h x x c x S n j j 01133)(Ω 其中3+n 个待定系数)1,,0,1(+⋅⋅⋅-=n j c j可以由三类插值条件确定.由插值条件(5.3)得()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧'=-'='==-='=-'='∑∑∑+-=+-=+-=n n j j n i n j j i n j j y j n c h x S ni y j i c x S y j c h x S 113311330113031)(,,1,0,)(1)(ΩΩΩ(5.13)注意到)(3x Ω的局部非零性及其函数值:61)1(,32)0(33=±=ΩΩ,当2≥x 时0)(3=x Ω;且由)21()21()(223--+='x x x ΩΩΩ知,21)1(,0)0(33=±'='ΩΩ,当2≥x 时0)(3='x Ω.则(5.13)中的每一个方程中只有三个非零系数,具体的为⎪⎩⎪⎨⎧'=+-==++'=+-+-+--n n n i i i i y h c c n i y c c c y h c c 2,,1,0,6421111011(5.14)由方程组(5.14)容易求解出)1,,0,1(+⋅⋅⋅-=n j c j,即可得到三次样条函数)(3x S 表达式.类似地,由插值条件(5.4)得待定系数的)1,,0,1(+⋅⋅⋅-=n j c j所满足的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧''=+-==++''=+-+-+--nn n n i i i i y h c c c n i y c c c y h c c c 21111021012,,1,0,642(5.15)由插值条件(5.5)得待定系数的)1,,0,1(+⋅⋅⋅-=n j cj所满足的方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=-+---=-++-=-+-+-+-+--+--+--ni y c c c c c c c c c c c c c c c c c c c i i i i n n n n n n n n ,,1,0,640)()(2)(0)(0)(0)()(4)(1111011111111011(5.16)方程组(5.15),(5.16)也都是容易求解的.注:上述等距B样条插值公式也适用于近似等距的情形,但在端点0x 和n x 处误差可能较大,实际应用时,为了提高在端点0x 和nx 处的精度,可以适当向左右延拓几个节点.二维等距B样条函数插值设有空间曲面),(y x f z =(未知),如果已知二维等距节点()()τj y ih x y x ji++=0,,)0,(>τh 上的值为),,2,1,0;,,2,1,0(m j n i z ij⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=,则相应的B样条磨光曲面的一般形式为⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--=∑∑--=--=j y y i h x x c y x s l m lj k ij n ki τΩΩ0011),( 其中),,2,1,0;,,2,1,0(m j n i c ij⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=为待定常数,l k ,可以取不同值,常用的也是2,=l k 和3的情形.这是一种具有良好保凸性的光滑曲面(函数),在工程设计中是常用的,但只能使用于均匀分划或近似均匀分划的情况.(4) 最小二乘拟合方法最小二乘拟合方法的思想:由于一般插值问题并不总是可解的(即当插值条件多于待定系数的个数时,其问题无解),同时,问题的插值条件本身一般是近似的,为此,只要求在节点上近似地满足插值条件,并使它们的整体误差最小,这就是最小二乘拟合法.最小二乘拟合方法可以分为线性最小二乘拟合方法和非线性最小二乘拟合方法.线性最小二乘拟合方法设{}m k kx 0)(=φ是一个线性无关的函数系,则称线性组合∑==mk k k x a x 0)()(φφ为广义多项式.如三角多项式:∑∑==+=mk k mk kkx b kx ax 0sin cos )(φ.设由给定的一组测量数据),(iiy x 和一组正数),,2,1(n i w i⋅⋅⋅=,求一个广义多项式∑==mk k k x a x 0)()(φφ使得目标函数[]21)(∑=-=ni i i i y x w S φ(5.17)达到最小,则称函数)(x φ为数据),,2,1)(,(n i y x ii⋅⋅⋅=关于权系数),,2,1(n i w i⋅⋅⋅=的最小二乘拟合函数,由于)(x φ关于待定系数ia 是线性的,故此问题又称为线性最小二乘问题. 注意:这里{}m k kx 0)(=φ可根据实际来选择,权系数iw 的选取更是灵活多变的,有时可选取1=i w ,或nw i 1=,对于nw i1=,则相应问题称为均方差的极小化问题.最小二乘拟合函数的求解要使最小二乘问题的目标函数(5.17)达到最小,则由多元函数取得极值的必要条件得),,2,1,0(0m k a Sk==∂∂ 即),,2,1,0(0)()(10m k x y x a w i k ni i m k i k k i ⋅⋅⋅⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑∑==φφ 亦即),,2,1,0()()()(001m k x y w a x x w n i i k i i j mj n i i k i j i ⋅⋅⋅⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑∑===φφφ(5.18)是未知量为ma a a a ,,,,21⋅⋅⋅的线性方程组,称(5.18)式为正规方程组.实际中可适当选择函数系{}m k kx 0)(=φ,由正规方程组解出ma a a a ,,,,210⋅⋅⋅,于是可得最小二乘拟合函数∑==mk kk x a x 0)()(φφ.一般线性最小二乘拟合方法将上面一元函数的最小二乘拟合问题推广到多元函数,即为多维线性最小二乘拟合问题.假设已知多元函数),,,(21nx x x f y ⋅⋅⋅=的一组测量数据);,,,(21iniiiy x x x ⋅⋅⋅),,2,1(m i ⋅⋅⋅=和一组线性无关的函数系{}N k nk x x x 021),,,(=⋅⋅⋅φ,求函数∑=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅Nk n k k n x x x a x xx 02121),,,(),,,(φφ对于一组正数mw w w ,,,21⋅⋅⋅,使得目标函数[]2121),,,(∑=⋅⋅⋅-=mi ni i i i i x x x y w S φ达到最小.其中待定系数N a a a a,,,,210⋅⋅⋅由正规方程组),,2,1,0(),(),(0N k y a Nj k j k j⋅⋅⋅==∑=φφφ确定,此处ini i i k mi i k ni i i k mi ni i i j i k j y x x x w y x x x x x x w ),,,(),(),,,(),,,(),(21121121⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∑∑==φφφφφφ注:上面的函数φ关于ia 都是线性的,这就是线性最小二乘拟合问题,对于这类问题的正规组总是容易求解的.如果φ关于ia 是非线性的,则相应的问题称为非线性最小二乘拟合问题.非线性最小二乘拟合方法假设已知多元函数),,,(21nx x x f y ⋅⋅⋅=的一组测量数据);,,,(21iniiiy x x x ⋅⋅⋅),,2,1(m i ⋅⋅⋅=,要求一个关于参数),,2,1,0(N j a j⋅⋅⋅=是非线性的函数),,,;,,,(1021Nn a a a x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=φφ对一组正数mw w w ,,,21⋅⋅⋅使得目标函数[]21102110),,,;,,,(),,,(∑=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅mi N ni i i i i N a a a x x x y w a a a S φ达到最小,则称之为非线性最小二乘问题.这类问题属于无约束的最优化问题,一般问题的求解是很复杂的,通常情况下,可以采用共轭梯度法、最速下降法、拟牛顿法和变尺度法等方法求解.实例:黄河小浪底调水调沙问题问题的提出2004年6月至7月黄河进行了第三次调水调沙试验,特别是首次由小浪底、三门峡和万家寨三大水库联合调度,采用接力式防洪预泄放水,形成人造洪峰进行调沙试验获得成功.整个试验期为20多天,小浪底从6月19日开始预泄放水,直到7月13日恢复正常供水结束.小浪底水利工程按设计拦沙量为75.5亿立方米,在这之前,小浪底共积泥沙达14.15亿吨.这次调水调试验一个重要目的就是由小浪底上游的三门峡和万家寨水库泄洪,在小浪底形成人造洪峰,冲刷小浪底库区沉积的泥沙.在小浪底水库开闸泄洪以后,从6月27日开始三门峡水库和万家寨水库陆续开闸放水,人造洪峰于29日先后到达小浪底,7月3日达到最大流量2700立方米/每秒,使小浪底水库的排沙量也不断地增加.下面是由小浪底观测站从6月29日到7月10日检测到的试验数据:表5-1: 试验观测数据单位:水流为立方米/每秒,含沙量为公斤/立方米·84··85·注:以上数据主要是根据媒体公开报道的结果整理而成的,不一定与真实数据完全相符.现在,根据试验数据建立数学模型研究下面的问题:(1) 给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法;(2) 确定排沙量与水流量的变化关系.模型的建立与求解对于问题(1),根据所给问题的试验数据,要计算任意时刻的排沙量,就要确定出排沙量随时间变化的规律,可以通过插值来实现.考虑到实际中排沙量应该是随时间连续变化的,为了提高精度,我们采用三次B样条函数进行插值.下面构造三次B样条函数)(x S y =.由试验数据,时间是每天的早8点和晚8点,间隔都是12个小时,共24个点)24,,2,1(⋅⋅⋅=i t i.为了计算方便,令)23,,,1,0(122128⋅⋅⋅=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+-=i i t x i i(5.19)则it 对应于)23,,1,0(1⋅⋅⋅=+=i i x i.于是以)23,,1,0(⋅⋅⋅=i x i为插值节点(等距),步长1=h .其相应的排沙量为)23,,1,0(⋅⋅⋅=i y i 对应关系如下表:·86·表5-2: 插值数据对应关系单位:排沙量为公斤函数)(x S y =所满足的条件为 (1)23,,1,0,)(⋅⋅⋅==i y x S ii;(2) 3500)(,56400)(2223222323231212-=--≈'='=--≈'='x x y y x S y x xy yx S y .取)(x S 的三次B样条函数一般形式为∑-=⎪⎭⎫⎝⎛--=24103)(j j j h x x c x S Ω·87·其中)24,,1,0,1(⋅⋅⋅-=j cj为待定常数,1=h .在这里⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<+-+-≤+-=Ω2,021,342611,3221)(23233x x x x x x x x x且易知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥±===Ω2,01,610,32)(3x x x x和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥±===Ω'2,01,210,0)(3x x x x 根据B样条函数的性质,)(x S ''在[]23,x x 上连续,则有()∑-=--'='='2413)(j jj xx c x S y Ω由插值条件(1),(2)可得到下列方程组()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧'=-'=''=-'='⋅⋅⋅==-=∑∑∑-=-=-=23241323024130241323)()(23,,1,0,)(y j c x S y j c x S i y j i c x S j j j j i j j i ΩΩΩ 即⎪⎩⎪⎨⎧'=+-'=+-⋅⋅⋅==++-+-23242311112223,,1,0,64y c c y c c i y c c c i i i i 将232324112,2y c c y c c '+='-=-代入前24个方程中的第一个和最后一个,便可得到方程组F AC =,其中·88·⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯232102424,421410141014124c c c c C A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡'-'+=3400048000684000458400266626232322100 y y y y y y F显然A 为满秩阵,方程组F AC =一定有解,用消元法求解可得问题的解为56044.39830=c , 4117111.2031=c , 2159510.7882=c , 9189845.6433=c ,1203106.6364=c , 8239727.8115=c ,8249182.1166=c , 1263543.7217=c ,9287842.9988=c , 2302284.2839=c ,4317419.86810=c , 1304836.24311=c ,3307635.15912=c ,6305423.11913=c ,2270672.36214=c ,4240287.43115=c ,0154177.91216=c ,4103000.92017=c ,99818.406218=c , 43725.454719=c ,49279.775020=c ,32155.445221=c , 2098.444222=c ,7450.777923=c ,-450.777924311.2034,2232324011='+=='-=-y c c y c c . 将)24,,1,0,1(⋅⋅⋅-=j c j代入()∑-=--==24131)(j jj x c x S y Ω(5.20)即得排沙量的变化规律.由(5.19)和(5.20)式可得到第i 时间段(12小时为一段)内,任意时刻]12,0[∈t 的排沙量.则总的排沙量为()dt j t c dx x S Y j j⎰∑⎰-=--Ω==284824132411)(经计算可得1110844.1⨯=Y 吨,即从6月29日至7月10日小浪底水库排沙总量大约为1.844亿吨,此与媒体报道的排沙量基本相符.对于问题(2),研究排沙量与水量的关系,从试验数据可以看出,开始排沙量是随着水流量的增加而增长,而后是随着水流量的减少而减少.显然,变化规律并非是线性的关系,为此,我们问题分为两部分,从开始水流量增加到最大值2720立方米/每秒(即增长的过程)为一段,从水流量的最大值到结束为第二段,分别来研究水流量与排沙量的关系.具体数据如表5-3和5-4.表5-3: 第一阶段试验观测数据 单位:水流为立方米/每秒,含沙量为公斤/立方米表5-4: 第二阶段试验观测数据单位:水流为立方米/每秒,含沙量为公斤/立方米对于第一阶段,由表5-3用Matlab作图(如图5-3)可以看出其变化趋势,我们用多项式作最小二乘拟合.·90··91·图5-3设拟合函数为∑==mk kk x a x 1)(φ确定待定常数),,1,0(m k ak=使得211111102])([∑∑∑===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=i i i m k k i k i i y x a y x S φ有最小值.于是可以得到正规方程组为m k x y a x mj i k i i j i j k i ,,1,0,0111111 ==⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑===+ 当3=m 时,即取三次多项式拟合,则3,2,1,0,1113111321112111110111==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑==+=+=+=k x y a x a x a x a x i k i i i k i i k i i k i i k i求解可得73321108423.1,103172.1,3.1784,-2492.9318--⨯=⨯-===a a a a .于是可得拟合多项式为332213)(x a x a x a a x +++=φ,最小误差为847.72=S ,拟合效果如图所示.·92·图:三次拟合效果,带*号的为拟合曲线.类似地,当4=m 时,即取四次多项式拟合,则正规方程组为4,3,2,1,0111411143111321112111110111==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑∑==+=+=+=+=k x y a x a x a x a x a x i ki i i k i i k i i k i i k i i k i求解可得104633210109312.1,1094.1,102626.7,12.0624,-7434.6557---⨯-=⨯=⨯-===a a a a a 于是可得拟合多项式为443322104)(x a x a x a x a a x ++++=φ,最小误差为102.66=S ,拟合效果如图5-5所示.图5-5:四次拟合效果,带*号的为拟合曲线.从上面的三次多项式拟合和四次多项拟合效果来看,差别不大.基本可以看出排沙量与水流量的关系.图5-6:第二段三·93··94· 次多项式拟合效果对于第二阶段,由表5-4可以类似地处理.我们用线性最小二乘法作三次和四多项式拟合.拟合效果如图5-6和5-7所示,最小误差分别为5.459=S 和1.236=S . 从拟合效果来看,显然四次多项式拟合要比三次多项式拟合好的多.图5-7:第二段四次多项式拟合效果。
数值计算04-插值与拟合
二维插值的定义
第一种(网格节点):
y
O
x
已知 mn个节点 其中 互不相同,不妨设
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值,即
第二种(散乱节点):
y
0
x
已知n个节点
其中 互不相同,
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值,即
最邻近插值
y
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 )
( x1 , y1 ) ( x2 , y1 )
x
O
注意:最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值。
分片线性插值
速度最快,但平滑性差
linear
占有的内存较邻近点插值方法多,运算时间 也稍长,与邻近点插值不同,其结果是连续 的,但在顶点处的斜率会改变 运算时间长,但内存的占有较立方插值方法 要少,三次样条插值的平滑性很好,但如果 输入的数据不一致或数据点过近,可能出现 很差的插值结果 需要较多的内存和运算时间,平滑性很好 二维插值函数独有。插值点处的值和该点值 的导数都连续
x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
海拔高度数据为: z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87
插值与拟合问题
插值与拟合问题插值与拟合是数学和计算机科学领域中常见的问题,涉及到通过已知数据点来估计未知点的值或者通过一组数据点来逼近一个函数的过程。
在现实生活中,这两个问题经常用于数据分析、图像处理、物理模拟等领域。
本文将介绍插值与拟合的基本概念、方法和应用。
一、插值问题插值是通过已知的数据点来推断出未知点的值。
在插值问题中,我们假设已知数据点是来自于一个未知函数的取值,在这个函数的定义域内,我们需要找到一个函数或者曲线,使得它经过已知的数据点,并且可以通过这个函数或者曲线来估计未知点的值。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值和牛顿插值。
线性插值是通过已知的两个数据点之间的直线来估计未知点的值,它简单而直观。
拉格朗日插值则通过构造一个关于已知数据点的多项式来估计未知点的值,这个多项式经过每一个已知数据点。
牛顿插值和拉格朗日插值类似,也是通过构造一个多项式来估计未知点的值,但是它使用了差商的概念,能够更高效地处理数据点的添加和删除。
不仅仅局限于一维数据点的插值问题,对于二维或者更高维的数据点,我们也可以使用类似的插值方法。
例如,对于二维数据点,我们可以使用双线性插值来估计未知点的值,它利用了四个已知数据点之间的线性关系。
插值问题在实际应用中非常常见。
一个例子是天气预报中的气温插值问题,根据已知的气温观测站的数据点,我们可以估计出其他地点的气温。
另一个例子是图像处理中的像素插值问题,当我们对图像进行放大或者缩小操作时,需要通过已知像素点来估计未知像素点的值。
二、拟合问题拟合是通过一组数据点来逼近一个函数的过程。
在拟合问题中,我们假设已知的数据点是来自于一个未知函数的取值,我们需要找到一个函数或者曲线,使得它能够与已知的数据点尽可能地接近。
常见的拟合方法包括多项式拟合、最小二乘拟合和样条拟合。
多项式拟合是通过一个多项式函数来逼近已知的数据点,它的优点是简单易用,但是对于复杂的函数形态拟合效果可能不好。
最小二乘拟合则是寻找一个函数,使得它与已知数据点之间的误差最小,这个方法在实际应用中非常广泛。
数学建模插值与拟合课件
设函数 y f (x) 在 n 1个相异点 x0 , x1, x2 , , xn 上的值为 y 0 , y1, y2 , , yn ,要求一个次数≤n 的代数多
项式
Pn (x) a0 a1x a2 x 2 an x n
使在节点 xi 上成立 Pn (xi ) yi (i 0,1,2, , n) ,称此为 n 次代数插值问题,Pn (x) 称为插值多项式。可以证明 n
如果不要求近似函数通过所有数据点, 而是要求它能较好地反映数据变化规律的近 似函数的方法称为数据拟合。(必须有函数 表达式)
近似函数不一定(曲线或曲面)通过所 有的数据点。
三、插值与拟合的区别和联系
1、联系 都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够 反映数据变化规律的近似函数的方法。 2、区别 插值问题不一定得到近似函数的表达形式,仅 通过插值方法找到未知点对应的值。数据拟合 要求得到一个具体的近似函数的表达式。
图所示,当n 增大时,pn x在两端会发出激烈
的振荡,这就是所谓龙格现象。
龙格现象
2
y=1/(1+x2) y=p4(x) y=p10(x) 1.5
1
0.5
0
-0.5
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
x
To MATLAB lch(larg1)
分段插值的概念
所谓分段插值,就是将被插值函数逐段 多项式化。一般来说,分段插值方法的处理 过程分两步,先将所考察的区间作一分划
y1
lj(x)
当n =2 时,有三点二次(抛物线)插值多项式:
P2
(x)
(x (x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
插值与拟合课程设计
插值与拟合课程设计一、课程目标知识目标:1. 理解插值与拟合的基本概念,掌握其数学表达和几何意义;2. 学会使用不同插值与拟合方法(如:拉格朗日插值、牛顿插值、最小二乘法等)解决实际问题;3. 掌握分析插值与拟合误差的方法,了解各种方法的优缺点及适用范围。
技能目标:1. 能够运用数学软件(如MATLAB、Python等)进行插值与拟合的计算和分析;2. 培养运用插值与拟合方法处理实际数据的能力,提高数学建模和问题解决技巧;3. 能够通过实例分析,设计合理的插值与拟合方案,并评估其效果。
情感态度价值观目标:1. 培养学生对数学科学的兴趣,激发他们探索未知、解决问题的热情;2. 增强团队合作意识,培养在团队中沟通、协作解决问题的能力;3. 树立正确的科学态度,认识到数学知识在实际问题中的应用价值。
课程性质:本课程属于数学学科,以高二年级学生为教学对象,结合插值与拟合理论,注重数学在实际问题中的应用。
学生特点:高二年级学生对数学知识有一定的基础,具有一定的逻辑思维能力和问题解决能力,对数学在实际问题中的应用有较强的好奇心。
教学要求:结合学生特点,注重理论与实践相结合,强调数学建模能力的培养,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
在教学过程中,将课程目标分解为具体的学习成果,以便进行有效的教学设计和评估。
二、教学内容1. 插值与拟合基本概念:- 插值的定义与几何意义;- 拟合的定义与几何意义;- 插值与拟合的联系与区别。
2. 插值方法:- 拉格朗日插值;- 牛顿插值;- 分段插值;- 线性插值与二次插值。
3. 拟合方法:- 最小二乘法;- 多项式拟合;- 非线性拟合;- 正交多项式拟合。
4. 插值与拟合的误差分析:- 插值误差估计;- 拟合误差估计;- 各种方法的误差比较。
5. 实际应用案例:- 数据插值与拟合在物理、化学、生物等领域的应用;- 数学软件在插值与拟合中的应用;- 结合实际问题设计插值与拟合方案。
第4、5讲插值与拟合作业参考答案
第4、5讲插值与拟合作业参考答案第四、五讲作业题参考答案⼀、填空题1、拉格朗⽇插值基函数在节点上的取值是( 0或1 )。
2、当1,1,2x =-,时()034f x =-,,,则()f x 的⼆次插值多项式为(2527633x x +- )。
3、由下列数据所确定的唯⼀插值多项式的次数为( 2次)。
4、根据插值的定义,函数()x f x e -=在[0,1]上的近似⼀次多项式1()P x =( 1(1)1e x --+ ),误差估计为( 18 )。
5、在做曲线拟合时,对于拟合函数x y ax b =+,引⼊变量变换y =( 1y),x =(1x)来线性化数据点后,做线性拟合y a bx =+。
6、在做曲线拟合时,对于拟合函数Ax y Ce =,引⼊变量变换( ln()Y y = )、X x =和B C e =来线性化数据点后,做线性拟合Y AX B =+。
7、设3()1f x x x =+-,则差商[0,1,2,3]f =( 1 )。
8、在做曲线拟合时,对于拟合函数()A f x Cx =,可使⽤变量变换(ln Y y =)(ln X x = )和B C e =来线性化数据点后,做线性拟合Y AX B =+。
9、设(1)1,(0)0,(1)1,(2)5,()f f f f f x -====则的三次⽜顿插值多项式为( 321166x x x +-),其误差估计式为(4()(1)(1)(2),(1,2)24f x x x x ξξ+--∈-) 10、三次样条插值函数()S x 满⾜:()S x 在区间[,]a b 内⼆阶连续可导,(),,0,1,2,,,k k k k S x y x y k n ==(已知)且满⾜()S x 在每⼀个⼦区间1[,]k k x x +上是(三次多项式)。
11、1()[a,b]()f x L x =函数在上的⼀次(线性)插值函数(公式)( ()()x b x af a f b a b b a--+-- ),1()R x =( 1()()(),2f x a x b a b ξξ''--≤≤ )。
第4章_插值与拟合-牛顿法
第4章 插值与拟合
4.3 差商与牛顿插值公式
Lagrange 插值多项式的基函数:
l j ( x)
( x x0 )(x x1 )( x x j 1 )(x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
4.3.3 牛顿插值余项
若将 x xi , (i 0,1,, n) 视为一个节点,则由一阶均差定义 有
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ](x x0 )
同理,由二阶均差定义 有
f ( x0 ) f ( x) f [ x, x0 ] f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0x ,0x1 ]( xx x1 )
j 1 k 0
n
j 1
2.差商的性质
性质1:差商与函数值的关系 f(x) 关于 x0 , x1 ,, xk 1 , xk 的 k 阶差商是 f(x) 在这些点上 函数值的线性组合,即
1 f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ] f ( x j ) j 0 i 0 x j xi
(i j k )
为 f ( x) 关于节点 xi , x j , xk 的二阶差商
最后一个节点-倒 数第二个节点
称
缺倒数第二个节点
缺最后一个节点
f [ x0 , x1,, xk 1, xk ]
f [ x0 , x1 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] xk xk 1
插值与拟合方法
插值与拟合方法插值和拟合是数学中常用的方法,用于根据已知数据点的信息,推断出未知数据点的数值或函数的形式。
插值和拟合方法是经典的数学问题,应用广泛,特别是在数据分析、函数逼近和图像处理等领域。
1.插值方法:插值方法是通过已知数据点的信息,推断出两个已知数据点之间的未知数据点的数值。
插值方法的目的是保证插值函数在已知数据点处与实际数据值一致,并且两个已知数据点之间的连续性良好。
最常用的插值方法是拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法根据已知数据点的横纵坐标,构造一个多项式函数,满足通过这些数据点。
拉格朗日插值法可以用于任意次数的插值。
牛顿插值法是使用差商的概念进行插值。
差商是指一个多项式在两个数据点之间的斜率。
牛顿插值法通过迭代计算得到与已知数据点一致的多项式。
插值方法的优点是可以精确地经过已知数据点,但是在两个已知数据点之间的插值部分可能会出现震荡现象,从而导致插值结果不准确。
2.拟合方法:拟合方法是通过已知数据点的信息,找出一个函数或曲线,使其能够最好地拟合已知数据点。
拟合方法的目标是寻找一个函数或曲线,尽可能地逼近已知数据点,并且能够在未知数据点处进行预测。
最常用的拟合方法是最小二乘法。
最小二乘法是通过求解最小化残差平方和的问题来进行拟合。
残差是指已知数据点与拟合函数的差异。
最小二乘法的目标是找到一个函数,使得所有数据点的残差平方和最小。
拟合方法的优点是可以得到一个光滑的函数或曲线,从而可以预测未知数据点的数值。
但是拟合方法可能会导致过拟合问题,即过度拟合数据点,导致在未知数据点处的预测结果不准确。
除了最小二乘法,还有其他的拟合方法,如局部加权回归和样条插值等。
局部加权回归是一种基于最小二乘法的拟合方法,它通过赋予不同的数据点不同的权重,来实现对未知数据点的预测。
样条插值是一种基于多项式插值的拟合方法,它将整个数据集分段拟合,并且在分段部分保持连续性和光滑性。
总结:插值和拟合方法是数学中的经典方法,用于根据已知数据点的信息,推断出未知数据点的数值或函数的形式。
《讲插值与拟合》课件
3
定义和概念
局部插值和拟合是一种在局部范围内 进行插值和拟合的方法,以提高数据 拟合的精度。
局部插值和拟合方法的优缺点
局部插值和拟合方法可以提高数据拟 合的精度,但在边界处可能存在一定 的误差。
五、总结与应用
插值与拟合的区别和联系插值和拟合都是通过构建近似函数来拟合数据,但 插值是通过通过已知数据点构造函数,并且在这些点上精确匹配,而拟合是 通过最小化误差来选择最佳的近似函数。 选择合适的方法进行插值和拟合在 实际应用中,根据数据特点和需求选择适当的插值和拟合方法,以达到最佳 的效果。 应用实例及其结果分析我们将会提供一些实际应用实例,探讨不同 方法在实际问题中的应用效果,并进行结果分析和讨论。
可以使用线性回归、多项式拟 合等方法进行最小二乘拟合。
三、样条插值和拟合
样条插值和拟合方法常用的样条插值和拟合方法包括自然样条、三次样条等,它们可以更好地逼近复杂 曲线和曲面。
四、局部插值和拟合
1
局部插值和拟合的基本思想
2
基本思想是通过选择局部区域的数据
点来构建插值或拟合函数,以适应局
部数据的特征。
《讲插值与拟合》PPT课 件
欢迎参加本次关于插值与拟合的课程!在这个课件中,我们将深入探讨插值 和拟合的概念、方法和应用,帮助您在实践中提升问题分析和解决能力。
一、插值方法概述
定义和概念
插值是根据已知数据点构造一个函数,该函数在已知数据点上具有与原函数相同的值。
插值方法的种类
常用插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
六、课程总结
从理论到实践,系统 学习插值与拟合知识
通过本课程,您将系统学 习插值与拟合的理论和实 践,获取全面的知识和技 能。
20100326 第四讲:曲线曲面的插值与拟合方法(2次课)
MATLAB二维插值函数griddata, 可以将平面或曲面上的散乱点插值为规则网格
二维曲面散乱插值函数griddata
题例 粗糙山顶曲面的平滑处理(散乱情形)
rand('seed',0) x = rand(100,1)*4-2; y = rand(100,1)*4-2; z = x.*exp(-x.^2-y.^2); plot3(x,y,z,'o'); hold on
x=0:2:24; y=[12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13]; plot(x,y,'-ro'); hold on; xi=15.1; yi=interp1(x,y,xi,'spline'), xi=0:1/3600:24; yi=interp1(x,y,xi,'spline'); plot(xi,yi,'b-');
题例 在原始数据点中增倍插值
x=0:0.001:1; y=sin(2*pi*30*x)+sin(2*pi*60*x); yi=interp(y,4); subplot(1,2,1); stem(y(1:30)); title('Original Points'); subplot(1,2,2); stem(yi(1:120)); title('Interpolated Points');
第 四 讲 曲 线 曲 面 的
分段线性插值和拉格朗日插值
分段线性插值: 用直线(线性)连接数据点列上相邻的两点。 比如~在两点[xi-1,xi]上线性插值函数为~
插 值 与 拟 合 方 法
7
x xi x xi 1 第 q ( x) yi 1 四 xi 1 xi xi xi 1 讲 曲 x [ xi 1 , xi ], i 0,1, 2,..., n 线 曲 拉格朗日插值: 面 的 用n次拉格朗日插值多项式
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用 I n ( x ) 计算 x 点的插值时, 只用到 x 左右的两个节点, 计算量与节点个数 n 无关。 但n 越大,分段越多,插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时,分段线性插值就足够 了,如数学、物理中用的特殊函数表,数理统计中用的概率分布表等。 1.2 样条插值 许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外形, 内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续,而且要有 连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。 1.2.1 样条函数的概念 所谓样条(Spline)本来是工程设计中使用的一种绘图工具,它是富有弹性的细木条或 细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线(称为样条曲线) ,并使连接点 处有连续的曲率。三次样条插值就是由此抽象出来的。 数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。具体地说,给定区间 [a, b] 的一 个分划
2 0.5t 2.5t 1, t [0,1], v(t ) 2 0.5(t 1) 1.5(t 1) 3, t [1,2].
位移 S
v(t )dt 5.6667 。
0
2
3
例 2 已知欧洲一个国家的地图,为了算出它的国土面积和边界长度,首先对地图作如 下测量:以由西向东方向为 x 轴,由南向北方向为 y 轴,选择方便的原点,并将从最西边界 点到最东边界点在 x 轴上的区间适当地分为若干段, 在每个分点的 y 方向测出南边界点和北 边界点的 y 坐标 y1 和 y 2 ,这样就得到了表 2 的数据(单位:mm)。 表 2 某国国土地图边界测量值( 单位:mm) 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 45 47 50 50 38 59 68.5 34 118 118.0 65 122 70 76.5 41 116 123.5 55 116 72 80.5 45 118 136.5 54 83 93 91.0 46 118 142.0 52 81 100 96.0 43 121 146.0 50 82
x0 , x1 , x2 , x3 为节点作一个三次 Newton 插值多项式 N a ( x ) ,以 xn , xn 1, xn 2 , xn 3 作一个三 次 Newton 插值多项式 N b ( x ) ,要求 S ' (a ) N ' a (a ), S ' (b) N ' b (b). 由这种边界条件建立的三次样条称为 f ( x ) 的 Lagrange 三次样条插值函数。 (ii) S ' ' (a ) y ' ' 0 , S ' ' (b) y ' ' n 。特别地 y ' ' 0 y ' ' n 0 时,称为自然边界条件。 (iii) S ' (a 0) S ' (b 0), S ' ' (a 0) S ' ' (b 0) ,此条件称为周期条件。
: a x0 x1 xn 1 xn b
1
如果函数 S ( x ) 满足: ( i)在每个小区间 [ xi , xi 1 ](i 0,1,, n 1) 上 S ( x ) 是 m 次多项式; (ii) S ( x ) 在 [a, b] 上具有 m 1 阶连续导数。 则称 S ( x ) 为关于分划 的 m 次样条函数,其图形为 m 次样条曲线。 显然,折线是一次样条曲线。 1.2.2 三次样条插值 利用样条函数进行插值,即取插值函数为样条函数,称为样条插值。例如分段线性插 值是一次样条插值。 我们只介绍三次样条插值, 即已知函数 y f ( x ) 在区间 [a, b] 上的 n 1 个节点
v(t )dt 。
0
2
t v(t )
表 1 速度的三个观测值 0 1 1 3
2 4
解 求解的 Matlab 程序如下 clc, clear t0=0:2; v0=[1 3 4]; pp=csape(t0,v0) xishu=pp.coefs %显示三次多项式的系数 s1=quadl(@(t)fnval(pp,t),0,2) %求数值积分 s2=integral(@(t)fnval(pp,t),0,2) % 用第 2 种方法求数值积分 求出的速度三次样条函数为
x y1 y2
根据地图的比例我们知道18mm相当于40km, 试由测量数据计算该国国土的近似面积和边 2 界的近似长度,并与国土面积的精确值41288km 比较。 解 该地区的示意图见图 1。
140 120
100
80
60
40
20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
图 1 区域边界示意图 若区域的下边界和上边界曲线的方程分别为 y1 y1 ( x) , y2 y2 ( x) , a x b ,则 该地区的边界线长为
a x0 x1 xn 1 xn b
上的值 yi f ( xi )(i 0,1,, n) ,求插值函数 S ( x ) ,使得 (i) S ( xi ) yi
(i 0,1,, n) ;
( 1)
(ii)在每个小区间 [ x j , x j 1 ]( j 0,1,, n 1) 上 S ( x ) 是三次多项式,记为 S j ( x ) ; (iii) S ( x ) 在 [a, b] 上二阶连续可微。 函数 S ( x ) 称为 f ( x ) 的三次样条插值函数。 由条件(ii) ,不妨将 S ( x ) 记为
S ( x) {S j ( x), x [ x j , x j 1 ], j 0,1,n 1}
S j ( x) a j x 3 b j x 2 c j x d j
其中 a j , b j , c j , d j 为待定系数,共 4n 个。由条件( iii)
S j ( x j 1 ) S j 1 ( x j 1 ) ( 2) j 0,1,, n 1 S ' j ( x j 1 ) S ' j 1 ( x j 1 ) S ' ' ( x ) S ' ' ( x ) j 1 j 1 j j 1 容易看出, (1 ) 、 ( 2)式共含有 4n 2 个方程,为确定 S ( x ) 的 4n 个待定参数,尚需再给出
第 4 讲 插值与拟合
司守奎 烟台市,海军航空工程学院数学教研室 Email:sishoukui@ 插值:求过已知有限个数据点的近似函数。 拟合:已知有限个数据点,求近似函数,不要求过已知数据点,只要求在某种意义下它 在这些点上的总偏差最小。 插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似, 由于近似的要求不同, 二者的 数学方法上是完全不同的。 而面对一个实际问题, 究竟应该用插值还是拟合, 有时容易确定, 有时则并不明显。 1 插值方法 插值中使用较多的是分段线性插值和三次样条插值。 1.1 分段线性插值 简单地说, 将每两个相邻的节点用直线连起来, 如此形成的一条折线就是分段线性插值 函数,记作 I n ( x ) ,它满足 I n ( xi ) yi ,且 I n ( x ) 在每个小区间 [ xi , xi 1 ] 上是线性函数
(i 0,1,, n) 。 I n ( x ) 可以表示为
I n ( x ) y i li ( x )
i 0
n
x xi 1 x x , x [ xi 1 , xi ] (i 0时舍去) i 1 i x xi 1 li ( x ) , x [ xi , xi 1 ] (i n时舍去) x x i i 1 0, 其它 I n ( x ) 有良好的收敛性,即对于 x [a, b] 有, lim I n ( x ) f ( x ) 。
线性插值 立方样条插值
'cubic' 立方插值 所有的插值方法要求 x0 是单调的。 当 x0 为等距时可以用快速插值法, 使用快速插值法的格式为 '*nearest'、 '*linear'、 '*spline'、 '*cubic'。 1.3.2 三次样条插值 对于三次样条插值,提倡使用函数 csape, csape 的返回值是 pp 形式,要求插值点的函 数值,必须调用函数 fnval。 pp=csape(x0,y0)使用默认的边界条件,即 Lagrange 边界条件。 pp=csape(x0,y0,conds,valconds) 中的 conds 指定插值的边界条件,其值可为 'complete' 边界为一阶导数,一阶导数的值在 valconds 参数中给出,若忽略 valconds 参数,则按缺省情况处理。 'not-a-knot' 非扭结条件。 'periodic' 周期条件。 'second' 边界为二阶导数, 二阶导数的值在 valconds 参数中给出, 若忽略 valconds 参数,二阶导数的缺省值为 [0, 0]。 'variational' 设置边界的二阶导数值为[0,0]。 对于一些特殊的边界条件,可以通过 conds 的一个 1 2 矩阵来表示,conds 元素的取值 为 0, 1, 2。 conds(i)=j 的含义是给定端点 i 的 j 阶导数,即 conds 的第一个元素表示左边界的条件, 第二个元素表示右边界的条件,conds=[2,1]表示左边界是二阶导数,右边界是一阶导数,对 应的值由 valconds 给出。 详细情况请使用帮助 doc csape。 1.4 举例 例 1 已知速度曲线 v(t ) 上的三个数据点如表 1 所示。用三次样条函数求速度函数,并 求位移 S