离散数学第四章

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构造一个数b=0.b1b2b3b4…bn……， 其中 ： b1≠a11 b2 ≠ a22 b3≠a33… 于是 b ≠x 1 , b≠ x2, b≠ x3 ... 因此： b(0,1)
bn≠ ann... b ≠ xn …
但是b这样的形式应该是属于集合(0,1)的，因此产生 矛盾，所以(0,1)是不可数的。
1
基本概念

定义4.1 一个集合S与集合Nn={0,1,2，…n-1}，如 存在一一对应函数 f : Nn→S，则称S是有限集合， 并称其有基数n，如果S不是有限集合，则称为无 限集合。 说明：
由集合的元素个数来定义； 由于量变引起的质变； 它们中的一种性质都不能随意扩展到另一个集合中。
有限集和无限集

有限集合

元素的个数称为该集合的基数； 满足包含排斥原理。 元素无限多，如：自然数集合N、整数集I、实数集R等。 对于这样的集合有没有基数呢？ 如果有，基数是多少？ 无限集合之间有无大小的差别?

无限集合

问题：


本章主要借助于函数讨论集合的所谓“大小”问题。这里 用到自然数集合这个重要的概念讨论无限集。
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说明：
• • • •
这种方法称为：康托对角线法； 对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证 明，而是发表在他第一个证明的三年后； 他的第一个证明既未用到十进制展开，也未用到 任何其它数字系统； 自从该技巧第一次使用以来，在很大范围内的证 明中都用到了类似的证明构造方法。
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由前面这些定理可知：
•

如此继续，可取出m3,m4,m5,…无限多个元素，则可得到另一个集合 M1={m1,m2,…}； 令M2=M-M1，即M中除去M1后得到的集合， 则M=M1∪ M2， 做另一集合M’={m2,m3,…} ∪M2，显然M⊃M’且M’~M，因此存在如 下一一对应的关系： 对于M的每个mi对应mi+1，对于M中的每个m∈ M2，对应M’中的 m。
此序列可以跟自然数一一对应，因此是可列集。
直观上看，有理数比自然数多得多， 但本质上它们却 “一样多”！
因为每个有理数都可以写成一个分数形式如下：
... -3/1 -3/2 -3/3 -3/4
...
-2/1 -2/2 -2/3 -2/4
...
--1/1 -1/2 -1/3 -1/4
...
0/1 0/2 0/3 0/4
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定理4.10 整数集I是可列集。
证明：整数集合Ｉ与Ｎ是等势的。 将集合Ｉ元素重排，写成 Ｎ＝｛0， 1， 2， 3， 4， 5，…｝ Ｉ＝｛0，＋1, －1，＋2, －2， +3 －3，…｝
2 | i | f(i)＝ 0 2i 1
i0
i0 i0
是Ｉ到Ｎ的双射。 因此Ｉ是可列集。
-3
-2
-1
0
1
2
3 21
定理4.11 有理数集Q是可列集
证明：一切有理数均呈的形式，现将所有按下列次序排列， ① 正分数按其分子分母之和的大小顺序排列：从小到大 ② 正分数的分子分母之和相同者按照分子大小顺序排列：从大到小 ③ 与正分数具有相同形式的负分数拍于正分数之后 按照上述规则可以得到一个序列
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定理4.8 无限集必包含可列集。
证明： 设一无限集A，由A中取出一个元素a0，再 从其剩余部分取出一个元素a1，如此继续 进行，可得一个序列： a0，a1，a2.。。。 由此可得一个无限集A’={a0,a1,a2,...} 集合A’为可列集
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定理4.9 可列集的无限子集仍为一可列集。

2 1 0 1 2 3
-1
-2 23
之前出现过了
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定理4.12 实数集R不是可列集。
思路：首先证明R~(0,1)， 然后证明(0,1)不是可列集。
0 1
证明： 构造函数f: (0,1) R f(x)=tg(πx-π/2) 显然 f是双射，所以R~(0,1).
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实数轴上的(0,1)区间中的实数是不可数的。
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推论：一集合为无限集的充分必要条件是它包含有 与它等势的真子集。 证明：必要条件已经在前面证明，下面证明其充分 条件。 反证法：
鸽洞原理 设一集合M含有与其等势的真子集M’，若M’为有限集， 设其元素个数为n，即|M|=n，则此时必有n>m； 但此时M与M’间由于元素个数不同而无法建立一一对应 的关系而产生矛盾。
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对于无限集合，可用下面的例子说明
自然数集合N={0,1,2,...}与其子集S={1,3,…}均
为无限集，且N~S；
可得无限集的一个特性：S⊂N及S~N； 即表明S是N的一个真子集，并且同时S与N等
势；
这种特性在有限集是不可能存在的。
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集合间的等势关系“~”是个等价关系 证明：令S是个集合族(即“所有集合构成的集合”)， 在S上的等势关系~，满足： ⑴自反性：因为任何集合A，存在双射 IA:AA,因此A~A ⑵对称性：任何集合A,B，若A~B，有双射 f:AB，又有双射f -1:BA，所以B~A。
33 , , 53 , ,
7 3 , ,
3n , 5n ,
7n ,
第二个旅游团客人住的房间编号为
5,

接着是
7,
6

这样不仅安排了无穷多个旅游团的住宿，而且还 空出了很多房间！ 无限多个房间可住无穷多个具有无穷多个游客的 旅游团！
对于一个无穷集合，向其中添加有限个元素，甚至 “无穷多个”元素得到的新集合，其势不变 一个集合A，若真子集B ：B⊂A，B与A等势，则A 一定是无限集
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⑶传递性：任何集合A、B、C，若A~B，且B~C， 则有双射f:AB，和双射g:BC，由函数的复合得 双射： g◦f:AC，所以A~C。 所以~是等价关系。 按照等势关系“~”对集合族S，进行划分，得 到商集S/~，进而得到基数类的概念。
14

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证明过程：

构造一个集合M，先从M中任取一个元素m1，这样剩余部分也是 一个集合M-{m1}，并且是无限集； 再从此无限集M-{m1}中任取一个元素m2，剩余部分为M-{m1， m2}也是一个无限集；
店主人把#1房的客人移到#2房，把#2房的客人移到#4
房，#3房的客人移到#6房，等等，所有奇数号的房间 全部腾空了，新的无限多个客人就全住进了旅店。
5

紧接着发生了更为严重的情况，来了无穷多个具有无穷多 名游客的旅游团，怎么办？

第一个旅游团客人按如下房间编号住
3,

32 , 52 ,
72 ,
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有限集和无限集的重要定义 定义4.5 一集合存在与其等势的真子集，则称为无 限集，否则称为有限集。
无限子集可做进一步划分：可列集和不可列集。
定义4.6 与自然数集N等势的集合称为可列集。
能和自然数集合N建立一一对应关系的集合是可列集； 可排成一列，能一个一个数下来的集合； 也称为可数集。


实数集比可列集要大； 可列集的基数可表示为0 （Aleph 0，阿列夫零）； 实数集的基数用1或c表示，称作连续统的势。
因此：


无限集也有大小，最小的无限集是可列集，其次是实数集； 对于任何一个无限集，总存在一个基数大于这个集合的集 合，比如这个集合的幂集； 可列集的幂集和实数集等势。
证明：设有一可列集A={a0,a1,a2,...}，依次顺序取 一个任意的无限集A’={am0,am1,am2,...}，A’与N一 一对应；
0 A ' : am0

N:
1 2 am1 am 2
3 am3
4 am 4
故A’为可列集； 由此可知，可列集是无限集中最小的集合。

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基本概念
定义4.2 集合A和集合B的元素间，如果存在一一对 应的关系，则说A和B是等势（Cardinality）的，记 作A~B

说明：
对有限集来说，两集合等势即说明两个集合的元素的
个数相同；
集合的势：Cardinality
of Sets
3
Hilbert旅馆

问题：
一旅店有无穷多个房间，各房间编号依次为：
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自然数 N 的幂集 (2N) 是不可数的



[0,1) 之间的小数可以用十进制表示，也可以用二进制表示，表示 形式是唯一的，0.5 D = 0.1 B，0.25 D = 0.01 B，.... 任意一个小于1 的非负小数，取其二进制形式，比如 0.1101001， 如果将小数点后第 i 位对应的 0/1 看成是自然数 i 在某个集合中的 无/有，那么0.1101001就对应自然数的一个子集 {1, 2, 4, 7}； 所以，任一个小数可以对应一个自然数的子集，当然，自然数的 一个子集，也可以很容易写出一个小数： [0,1) 之间的小数与自然 数 N 的所有子集的一一对应关系； 自然数的幂集，也就是自然数所有的子集形成的集合，它的基数， 或是势，与 [0,1) 之间的实数相等，也有所有的实数的势相等；
0,
1 1 , , 1 1
2 2 , , 1 1
1 1 3 3 , , , , 2 2 1 1
2 2 1 1 , , , , 2 2 3 3
“全体正整数的集合和全体有 理数的集合等势”是在数学上 很重要的一个例子，说明一个 实数中的稠密集可以和一个离 散集等势（稠密：在任意两个 元素之间存在第三个元素） 22
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任何一个有限集合不能与其真子集等势。

另一种有限集、无限集的定义方法； 定义：如果存在一一对应的f: S→S，使得f(S)⊂S， 即f(S)是S的真子集，则S是无限集合，否则S是有 限集合。

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定理4.1 自然数集N是无限集。 证明：设函数f: N→N，定义为f(x)=2x，显然f是一 一对应，而且f(N)⊂N ，因此N是无限集。 定理4.2 常数集R是无限集。 证明：设函数f: R→R，为
显然f(x)是一一对应的， 而且显然有f(R)⊂R，因 此R是无限的。
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例1：证明 N={0,1,2,3,4,…...} 与下列集合等势 A={0,2,4,6,8,…...} B={1,3,5,7,9,…...} C={100,10,102,103,104,,…...} 证： f:NA，f(x)=2x g:NB， g(x)=2x+1 h:NC， h(x)=10x 是双射， 故N与A、B、C等势 可见：无限集合与其真子集等势。
证明：假设(0,1)是可数的，则可以将它的元素写成如下序列 形式：{x1,x2,x3,...} ，其中 xi =0.ai1ai2ai3 …… i=1,2,3,….. 即 0＜ xi＜1 aik∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} k=1,2,3,4,… 令 x1 =0.a11a12a13a14…... x2 =0.a21a22a23a24…... x3 =0.a31a32a33a34…... ………... xn =0.an1an2an3an4…... ..……..
...
1/1 1/2 1/3 1/4
...
2/1 2/2 2/3 2/4
...
3/1 3/2 3/3 3/4
...
...
...
... ...
...
... ...
可以从0/1开始按照箭头指定次序排列Q中元素 (如果这个有理数在前面出现，就跳过去)， 所以Q是可数集。 -3 -2 -1 另外 I×I~N如右图所示。 同理可证 N×N~N
#1， #2， #3，……
现所有房间已住满了人，这时来了一位新客人要求住
店，怎么安排？
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Hilbert旅馆

解决方法：
店主人把#1房的客人移到#2房，把#2房的客人移到#3
房，依此类推，新客人就住进了已腾空的#1房间；


接着，又来了第二位新客人，旅店主也照此办理， 使第二位客人得到落实。 紧接着，来了一个有无限多个游客的旅游团要求 定住房间，怎么办 ？
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Hilbert旅馆的内涵
如果把自然数集合中的元素数量记为z，
那么z不管加 上多大的数，乘以多少，它始终是一个无穷，不会变 大或变小。

问题：自然数和平方数谁要更多。
用普通人的眼光来看，前10个数字中不过4和9两个数，
前100个数中也不过10个； 再往后， 平方数在自然数中所占的比例越来越小； 但是从另一个角度看，每一个自然数都对应着一个平 方数； 所以，自然数和平方数是一样多的， 这 “一一对应” 的 规则也就是判断集合是否一样大的标准。