高中物理必修一：追及、相遇问题

v/ms-1
9
甲 乙
oα
t/s
t
2.A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当 B车 在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2 的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速 度突然变为零。A车一直以20 m/s的速度做匀速运动。 经过12 s后两车相遇。问B车加速行驶的时间是多少？
例3.一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的
中央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图。已知盘与桌
布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为 μ2。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度方 向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面掉下，
则加速度a满足的条件是什么？(以g表示重力加速度)
t vt v0 0 (6) s 2s
a
3
由于不涉及位移，所 以选用速度公式。
对汽车由公式
vt2 v02 2as
由于不涉及“时间”， 所以选用速度位移公式。
s vt2 v02 0 (6)2 m 6m
2a
23
表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车
t
（2）在追上乙的时候，乙走的距离为
s乙

vt 2
13.5m
所以乙离接力区末端的距离为 s L s乙 6.5m
解2：做出甲和乙的速度时间图像
9t 213.5 t 3s
a tan 9 3m / s2
3 s乙 s0 13.5m
因此 s L s乙 6.5m
若两车不相撞，其位移关系应为
v1t

1 2
at 2

v2t

x0
代入数据得 1 at2 10t 100 0
2
其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有
4 1 a 100 (10)2
2
0
4 1 a
2
a 0.5m / s2
把物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。
相遇和追击问题的常用解题方法
A
解：设圆盘的质量为m，桌长为l，
a
在桌布从圆盘上抽出的过程中，盘
的加速度为a1，有
B
1mg ma1
桌布抽出后，盘在桌面上作匀减速
运动，以a2表示加速度的大小，有
2mg注 意ma：2 本题学完必修一第四章后才会做
设盘刚离开桌布时的速度为v1，移动的距离为x1，离开桌布后在 桌面上再运动距离x2后便停下，有
3. 两种典型追击问题
（1）速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）
a
v1> v2
A
v1
B
v2
①当v1=v2时，A末追上B，则A、B永不相遇，此时 两者间有最小距离；
②当v1=v2时，A恰好追上B，则A、B相遇一次， 也是避免相撞刚好追上的临界条件；
③当v1>v2时，A已追上B，则A、B相遇两次，且
之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。
例1. A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同 轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度 匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运 动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？
解1：（公式法）
两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。
由A、B 速度关系： v1 at v2
画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质， 找出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。 （1）基本公式法——根据运动学公式，把时间关系渗 透到位移关系和速度关系中列式求解。
（2）图象法——正确画出物体运动的v--t图象，根据 图象的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求 解。
（3）相对运动法——巧妙选择参考系，简化运动过程、 临界状态，根据运动学公式列式求解。注意“革命要 彻底”。 （4）数学方法——根据运动学公式列出数学关系式 （要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中Δ 判别式求解。
到与甲相同时被甲追上，完成交接棒，已知接力区 的长度为L=20m. 求：
（1）此次练习中乙在接棒前的加速度a； （2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离.
解1：（1）设经过时间t ，甲追上乙，则根据位 移关系
接棒处
L
接力区
a乙
v甲
s0
vt

v 2
t

s0
再由 v at
t 2s0 3s a vv 3m / s2
（2）同地出发，速度小者（初速度为零的匀加速）追 速度大者（匀速）
A
a
v1=0
B
v2
①当 v1=v2 时，A、B距离最大；
②当两者位移相等时，有 v1=2v2 且A追上B。A追上 B所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍。
v
A
v1
v2
B
o
t0
2t0 t
例2.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车 以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行 车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求： 汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时
t
O
T
解析：由图可知甲的加速度a1比乙a2大，在达到速度相等的 时间T内两车相对位移为s1。若s0=s1+s2，速度相等时甲比 乙位移多s1<s0，乙车还没有追上，此后甲车比乙车快，不 可能追上，A对；若s0<s1，乙车追上甲车时乙车比甲车快， 因为甲车加速度大，甲车会再追上乙车，之后乙车不能再
追上甲车，B对；若s0=s1，恰好在速度相等时追上、之后不 会再相遇，C对；若s0=s2（s2>s1），两车速度相等时还没 有追上，并且甲车快、更追不上，D错。
v12 2a1x1
v12 2a2 x2
盘没有从桌面上掉下的条件是
x1

x2

l 2
设桌布从盘下抽出所经历时间为t，在这段时间内桌布移动的距
离为x，有
x 1 Байду номын сангаасt2 2
x1

1 2
a1t 2
而
x

l 2

x1
由以上各式解得
a

1
22 2
1g
度是多大?汽车运动的位移又是多大？
x 6t 3 t2 0 T 4s v汽 aT 12m / s
2
s汽

1 2
aT
2＝24m
1.甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短 距离加速后能保持9 m/s的速度跑完全程。乙从起跑 后到接棒前的运动是匀加速的，为了确定乙起跑的
时机，需在接力区前适当的位置设置标记，在某次 练习中，甲在接力区前S0=13.5 m处作了标记，并以 V=9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令，乙 在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达
解：设A车的速度为vA，B车加速行驶时间为t，两 车在t0时相遇。则有
sA vAt0 ①
sB

vBt

1 2
at 2

( vB

at
)( t0

t
)
②
式中，t0=12s，sA 、sB分别为A、B两车相遇前行驶的 路程，依题意有
sA sB s ③
式中，s=84m，由①②③式得解得：
t
2

的位移为向后6m. 革命要彻底，注意物理量的正负号。
解4：（二次函数极值法）
设经过时间t汽车和自行车
x汽
之间的距离Δx，则
△x
x

v自t

1 2
at 2

6t

3 2
t2
x自
当t


6 2 (
3)

2s时
2
xm

62 4( 3)

6m
2
思考：汽车经过多少时间能追上摩托车?此时汽车的速
xm

1 2

2 6m

6m
动态分析随着时间的推移,矩形面积 （自行车的位移）与三角形面积 （汽车的位移）的差的变化规律
解3：（相对运动法）
选自行车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为
正方向，汽车相对自行车沿反方向做匀减速运动
v0=-6m/s，a=3m/s2，两车相距最远时vt=0
对汽车由公式 vt v0 at
直线运动
相遇和追击问题
1. 相遇和追击问题的实质 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空
间位置的问题。 2. 画出物体运动的情景图，理清三大关系
（1）时间关系 tA tB t0
（2）位移关系 sA sB s0
（3）速度关系
两者速度相等。它往往是物体间能否追上或 （两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断 的切入点。
1 2
(20 10)t0
100
t0 20 s
v/ms-1
20
A
10
B
a tan 20 10 0.5 o
t0
t/s
20
a 0.5m / s2
物体的v-t图像的斜率表示加 速度,面积表示位移。
解3：（相对运动法）
以B车为参照物， A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a 减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt=0。
3.甲乙两车在一平直道路上同向运动，其v-t图像如
图所示，图中ΔOPQ和ΔOQT的面积分别为s1和s2
（s2>s1）初始时，甲车在乙车前方s0处。则（ A B C ）
A．若s0=s1+s2，两车不会相遇 B．若s0<s1，两车相遇2次
v
甲 Q乙
C．若s0=s1，两车相遇1次
P
D．若s0=s2，两车相遇1次
2t0t

2[(vB

vA a
)t0

s]

0
④
代入题给数据vA＝20 m/s，vB＝4 m/s，a＝2 m/s2，
得： t 2 24t 108 0 ⑤
解得： t1＝6 s，t2＝18 s（t2不合题意舍去） ⑥
因此，B车加速行驶的时间为 6 s。
画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，确定它 们的位移、时间、速度三大关系。
vt2 v02 2ax0
由于不涉及时间，所 以选用速度位移公式。
a vt2 v02 0 102 m / s2 0.5m / s2 2x0 2100
a 0.5m / s2
以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理 量.注意物理量的正负号。（革命要彻底）
解4：（二次函数极值法）
间两车相距最远？此时距离是多少？
解1：（公式法）
当汽车的速度与自行车的
x汽
速度相等时，两车之间的
△x
距离最大。设经时间t两
车之间的距离最大。则
x自
v汽 at v自
t v自 6 s 2s a3
xm

x自

x汽

v自t

1 2
at 2

6 2m

1 2
3 22
m

6m
解2：（图像法）
由A、B位移关系：v1t

1 2
at 2

v2t

(包含时间关系)
x0
a (v1 v2 )2 (20 10)2 m / s2 0.5m / s2
2x0
2 100
a 0.5m / s2
解2：（图像法）
在同一个v-t图中画出A车和B车的速度时间图像图线， 根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯 形的面积与矩形面积的差，当t=t0时梯形与矩形的面积 之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影 部分三角形的面积不能超过100 .
在同一个v-t图中画出自行车和汽车的速度时间图像，
根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯
形的面积与矩形面积的差，当t=t0时矩形与三角形的面 积之差最大。
v-t图像的斜率表示物体的加
v/ms-1
速度
汽车
当t60t=2tsa时n两 车 的3 距离最t0大为2图s 中阴6o影三α角t形0 的自面行积t车/s