分类计数原理和分步计数原理教案1

分类计数原理和分步计数原理教案1 教学目标

正确理解和掌握分类计数原理和分步计数原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．

教学重点和难点

重点：分类计数原理和分步计数原理．

难点：分类计数原理和分步计数原理的准确应用．

教学用具

投影仪．

教学过程设计

(一)引入新课

师：从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理．它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般．虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它．

今天我们先学习两个基本原理．

(这是排列、组合、二项式定理的第一节课，是起始课．讲起始课时，把这一学科的内容作一个大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解，并为下面的学习研究打下思想基础)

师：(板书课题)

(二)讲授新课

1．介绍两个基本原理

师：请大家先考虑下面的问题(找出片子——问题1)．

问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？

师：(启发学生回答后，作补充说明)

因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有

4＋2＋3=9

种不同的走法．

这个问题可以总结为下面的一个基本原理．

(打出片子——分类计数原理)

分类计数原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m

1种不同的方法，在第二类办法中有m

2

种不同的方法，……，在第n类办法中有

m n 种不同的方法．那么，完成这件事共有N=m

1

＋m

2

＋…＋m

n

种不同的方法．(教师放慢速度读一遍分类计数原理)

师：请大家再来考虑下面的问题(打出片子——问题2)．

问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条(见图9

－1)，从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？

师：(启发学生回答后加以说明)

这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C 村共有3×2=6种不同的走法．

一般地，有如下基本原理：

(找出片子——分步计数原理)

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m

1

种不

同的方法，做第二步有m

2种不同的方法，……，做第n步有m

n

种不同的方法．那

么，完成这件事共有

N＝m

1×m

2

×…×m

n

种不同的方法．

(教师要读一遍分步计数原理)

2．浅释两个基本原理

师：两个基本原理是干什么用的呢？

生：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数．

(如果学生不能较准确地回答，教师可以加以提示)

师：比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别呢？

(学生经过思考后可以得出：各类的方法数相加，各步的方法数相乘．)

两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关．

师：请看下面的分析是否正确．

(打出片子——题1，题2)

题1：找1～10这10个数中的所有合数．第一类办法是找含因数2的合数，共有4个；第二类办法是找含因数3的合数，共有2个；第三类办法是找含因数5的合数，共有1个．

1～10中一共有N=4＋2＋1=7个合数．

题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，B村到C村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从A 村到C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法？

第一步从A村到B村有3种走法，第二步从B村到C村有2种走法，共有

N=3×2=6种不同走法．

生乙：从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种．题2中从A村走北路到B村后再到C村，只有南路这一种走法．

(此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力)

师：为什么会出现错误呢？

生：题1的分类可能有问题吧，题2都走北路不符合要求．

师：(教师归纳)

进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用分类计数原理，否则不可以．

如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用分步计数原理．

也就是说：类类互斥，步步独立．

(在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法．从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质)

(三)应用举例

师：现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了．请看例题1．(板书)

例1书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．

(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？