角的计算与证明

角的计算与证明

1. 角的定义、表示方法、分类．

2. 角平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，这条射线叫做这个角的角平分线．

3. 余角和补角

余角：如果两个角的和等于90︒，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．

补角：如果两个角的和等于180︒，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．

两个基本定理：① 同角（或等角）的余角相等．②同角（或等角）的补角相等．

【例1】 ⑴ 如果90αβ∠+∠=︒，而β∠与γ∠互余，那么α∠与γ∠的关系为（ ）

A ．互余

B ．互补

C ．相等

D ．不能确定

⑵ 已知α∠是锐角，α∠与β∠互补，α∠与γ∠互余，则βγ∠-∠的值等于（ ） A ．45° B ．60° C ．90° D ．180°

⑶如果α∠和β∠互补，且αβ∠>∠，则下列表示β∠的余角的式子中：

① 90β︒-∠；②90α∠-︒；③ 1()2αβ∠+∠；④ 1

()2

αβ∠-∠．正确的有（ ）

A ． 4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

⑷ 一个角的余角的2倍和它的补角的1

2

互为补角，求这个角的度数．

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题型一：余角、补角及角分线的简单运算

D O

E

C

B

A

F

E D

C B A G N M

A B C D O A B C D E

图2图1F

【铺垫】⑴ 下列说法：①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如

果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④锐角和钝角互补．其中正确的说法有（ ）

A ． 4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个 ⑵ 下列说法中，正确的是（ ） A ．一个角的补角必是钝角 B ．两个锐角一定互为余角 C ．直角没有补角

D ．如果180MON ∠=︒，那么M ，O ，N 三点在一条直线上 ⑶ 下列语句正确的是（ ）

A ．钝角与锐角的差不可能是钝角

B ．两个锐角的和不可能是锐角

C ．钝角的补角一定是锐角

D ．α∠和β∠互补（αβ∠>∠），则α∠是钝角或直角

【备选】⑴ 若一个角的余角是40°，则这个角是（ ）

A ．40°

B ．50°

C ．60°

D ．140° ⑵ 互为补角的两个角度比是3:2，这两个角是（ ）

A ．108°，72°

B ．95°，85°

C ．108°，80°

D ．110°，70°

⑶ 对于互补的下列说法中：①∠A+∠B+∠C=90°，则∠A 、∠B 、∠C 互补；②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中，正确的有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

⑷如图，A ，O ，B 在一条直线上，AOC ∠是锐角，则AOC ∠的余角是（ ）

A ．12BOC AOC ∠-∠

B ．1322BO

C AOC ∠-∠ C ．1()2BOC AOC ∠-∠

D ．1

()

3BOC AOC ∠+∠

【例2】 ⑴ 如右图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平 分 COB ∠，

若55EOB ∠=︒，则BOD ∠的度数是（ ）

A ．35︒

B ．55︒

C ．70︒

D ．110︒

⑵ 如右图，分别在长方形ABCD 的边DC 、BC 上取两点E 、F ， 使得AE 平分∠DAF ，若∠BAF = 60°，则∠DAE =（ ）．

A ．15°

B ．30°

C ．45°

D ．60°

⑶ 如右图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若50MON ∠=︒， 10BOC ∠=︒，求

A O D ∠= .

A C O

【例3】 如图所示，OM 是AOC ∠的平分线，ON 是BOC ∠的平分线，

⑴ 如果28AOC ∠=°，35MON ∠=°，求出AOB ∠的度数； ⑵ 如果MON n ∠=°，求出AOB ∠的度数；

⑶ 如果MON n ∠=°的大小改变，AOB ∠的大小是否随之改变? 它们之间有怎样的大小关系?请写出来.

【解析】 ⑴ ∵OM 平分AOC ∠

∴1

2

MOC AOC ∠=∠

∵ON 平分AOC ∠

∴1

2

NOC BOC ∠=∠

∵()11

22

MON NOC MOC BOC AOC AOB ∠=∠+∠=∠+∠=∠

35MON ∠=° ∴2AOB MON ∠=∠ ∴70AOB ∠=°；

⑵ 同上22°AOB MON n ∠=∠=；

⑶ MON ∠的大小改变时AOB ∠的大小也随之改变 当090n ︒<︒≤时，2AOB MON ∠=∠． 当90180n ︒<<︒时，3602AOB n ∠=︒-.

【拓展】已知点O 是直线AB 上的一点，90COE ∠=︒，OF 是AOE ∠的平分线．

①当点C ，E ，F 在直线AB 的同侧

（如图1所示）时．试说明2BOE COF ∠=∠； ②当点C 与点E ，F 在直线AB 的两旁（如图2所示）时，①中的结论是否仍

然成立？请

给出你的结论并说明理由；

③将图2中的射线OF 绕点O 顺时针旋转(0180)m m ︒<<，得到射线OD ．设AOC n ∠=︒，

若2(60)3

n

BOD ∠=-

︒ ，则DOE ∠的度数是 （用含n 的式子表示）．

图2

图1

A

B

O

E

F C

C F

E

O B A

题型二：角度计算中的分类讨论

N

M

A

B

O

C