信号与系统 三大变换
信号与系统期末考试重点知识点梳理
信号与系统知识点综合CT:连续信号DT:离散信号第一章信号与系统1、功率信号与能量信号性质：（1）能量有限信号的平均功率必为0；（2）非0功率信号的能量无限；（3）存在信号既不是能量信号也不是功率信号。
2、自变量变换（1）时移变换x(t)→x(t-t0),x[n]→x[n-n0]（2）时间反转变换x(t)→x(-t),x[n]→x[-n]（3）尺度变换x(t)→x(kt)3、CT、DT复指数信号周期频率CT 所有的w对应唯一TDT 为有理数4、单位脉冲、单位冲激、单位阶跃（1）DT信号关系（2）CT信号t=0时无定义关系（3）筛选性质（a）CT信号（b）DT信号5、系统性质（1）记忆系统y[n]=y[n-1]+x[n]无记忆系统y(t)=2x(t)（2）可逆系统y(t)=2x(t)不可逆系统y(t)=x2(t)（3）因果系统y(t)=2x(t)非因果系统y(t)=x(-t)（4）稳定系统y[n]=x[n]+x[n-1]不稳定系统（5）线性系统（零输入必定零输出）齐次性ax(t)→ay(t)可加性x1(t)+x2(t)→y1(t)+y2(t)（6）时不变系统x(t-t o)→y(t-t0)第二章1、DT卷积和，CT卷积积分2、图解法（1）换元；（2）反转平移；（3）相乘；（4）求和第三章CFS DFS1、CFS收敛条件：x(t)平方可积；Dirichlet条件。
存在“吉伯斯现象”。
DFS无收敛条件无吉伯斯现象2、三角函数表示第四、五章CTFT DTFT1、（1）CTFT（a）非周期收敛条件（充分非必要条件）：x(t)平方可积；Dirichlet条件。
存在“吉伯斯现象”。
（b）周期（2）DTFT（a）非周期存在收敛条件不存在吉伯斯现象（b）周期2、对偶（1）CTFT、DFS 自身对偶CTFT的对偶性DFS的对偶性（2）DTFT与CFS 对偶3、时域、频域特性4、性质（1）时移与频移（a）CT信号（b）DT信号（2）时域微分（差分）和频域微分（求和）（a）CT信号（b）DT信号（3）时域扩展（内插）（a）CT信号（b）DT信号（4）共轭性质（a）CT信号（b）DT信号5、系统稳定系统才存在H(jw) y(t)=x(t)*h(t)Y(jw)=X(jw)H(jw)第六章时频特性1、模、相位2、无失真条件3、理想滤波器非因果，是物理不可能实现的。
信号与系统常用变换与知识点
信号与系统常用变换与知识点连续时间离散时间傅里叶级数FS 傅里叶变换FT 傅里叶级数FS 傅里叶变换FT时域x(t)=∑a k e jkω0t+∞k=−∞连续时间，在时间上是周期的x(t)=12π∫X(jω)e jωt+∞−∞dω连续时间，在时间上是非周期的x[n]=∑a k e jk(2πN⁄)nk=<N>离散时间，在时间上是周期的x[n]=12π∫X(e jω)e jωn2πdω离散时间，在时间上是非周期的频域a k=1T∫x(t)e−jkω0tTdt离散频率，在频率上是非周期的X(jω)=∫x(t)e−jωt+∞−∞dt连续频率，在频率上是非周期的a k=1N∑x[n]e−jk(2πN⁄)nn=<N>离散频率，在频率上是周期的X(e jω)=∑x[n]e−jωn+∞n=−∞连续频率，在频率上是周期的x(t)FS↔a k，y(t)FS↔b k，周期为T，基本频率ω0=2πT⁄x(t)FT↔X(jω)，y(t)FT↔Y(jω)若：x[n]FS↔a k，y[n]FS↔b k，周期为N，基本频率ω0=2πN⁄{x[n]y[n]FT⇒{X(e jω)Y(e jω)(频率周期为2π)线性性质Ax(t)+By(t)FS↔Aa k+Bb kAx(t)+By(t)FT↔AX(jω)+BY(jω)Ax[n]+By[n]FS↔Aa k+Bb kAx[n]+By[n]FT↔AX(e jω)+BY(e jω)时移性质x(t−t0)FS↔e−jkω0t0a k x(t−t0)FT↔e−jωt0X(jω)x[n−n0]FS↔e−jkω0n0a k x[n−n0]FT↔e−jωn0X(e jω)频移性质e jω0t x(t)FT↔X(j(ω−ω0))e jω0n x(t)FT↔X(e j(ω−ω0))对称X(jt)FT↔2πx(−ω)时间反转x(−t)FS↔a−k x(−t)FT↔X(−jω)x[−n]FS↔a−k x[−n]FT↔X(e−jω)时域变换x(αt)=∑a k e jk(αω0)t+∞k=−∞FS↔a kx(αt)FT↔1|α|X(jωα)x(m)[n]={x[n/m]若n是m整数倍0 若n不是m的整数倍FS↔1ma k(周期为mN)x(k)[n]={x[n/k]若n是k整数倍0 若n不是k的整数倍FT↔ X(e jkω)相乘x(t)y(t)FS↔∑a l b k−l+∞l=−∞x(t)y(t)FT↔12πX(jω)∗Y(jω)x[n]y[n]FS↔∑a l a k−ll=<N>x[n]y[n]FT↔12πX(e jω)∗Y(e jω)卷积周期卷积：∫x(τ)y(t−τ)TdτFS↔Ta k b kx(t)∗y(t)FT↔X(jω)Y(jω)周期卷积：∑x[r]y[n−r]r=<N>FS↔Na k b k x[n]∗y[n]FT↔X(e jω)Y(e jω)时域微分dx(t)dtFS↔jkω0a k=jk2πTa kdx(t)dtFT↔jωX(jω)x[n]−x[n−1]FS↔(1−e−jk(2πN⁄))a kx[n]−x[n−1]FT↔(1−e−jω)X(e jω)频域微分tx(t)FT↔jdX(jω)dωnx[n]FT↔jdX(e jω)dω积分∫x(t)t−∞dt FS↔(1jkω0)a k（∫x(t)t−∞dt仅当a0=0才为有限值且为周期的）∫x(t)t−∞dtFT↔1jωX(jω)+πX(0)δ(ω)∑x[k]nk=−∞(仅当a0=0才为有限值且为周期的）FS↔(11−e−jk(2πN⁄))a k∑x[k]nk=−∞FT↔11−e−jωX(e jω)+πX(e j0)∑δ(ω−2πk)+∞k=−∞共轭对称x∗(t)FS↔a−k∗若x(t)为实函数，a−k=a k∗x∗(t)FT↔X∗(−jω)x∗[n]FS↔a−k∗x∗[n]FT↔X∗(e−jω)帕斯瓦尔定理1T∫|x(t)|2dt=∑|a k|2+∞k=−∞T一个周期信号的总平均功率非周期信号帕斯瓦尔定理：1N∑|x[n]|2=∑|a k|2k=<N>n=<N>一个周期信号的总平均功率非周期信号帕斯瓦尔定理:等于它的全部谐波分量的平均功率之和∫|x(t)|2dt+∞−∞=12π∫|X(jω)|2+∞−∞dω 等于它的全部谐波分量的平均功率之和∑|x [n ]|2+∞n=−∞=12π∫|X(e jω)|2dω2π常用傅里叶变换对连续时间离散时间信号傅里叶变换信号傅里叶变换∑a k e jkω0t +∞k=−∞2π∑a k δ(ω−kω0)+∞k=−∞∑a ke jk (2πN ⁄)nk=<N>2π∑a k δ(ω−k2πN)+∞k=−∞ e jkω0t 2πδ(ω−kω0) e jω0n2π∑δ(ω−ω0−2πl )+∞l=−∞cos ω0t π[ δ(ω−ω0)+δ(ω+ω0)] cos ω0nπ∑{δ(ω−ω0−2πl )+δ(ω+ω0+∞l=−∞−2πl )}sin ω0tπj[ δ(ω−ω0)−δ(ω+ω0)] sin ω0nπj∑{δ(ω−ω0−2πl )−δ(ω+ω0+∞l=−∞−2πl )}1 2πδ(ω) 12π∑δ(ω−2πl )+∞l=−∞tj2πδ′(ω)周期方波x(t)=x(t +T)x(t)={1, |t |<T 10, T 1<|t |≤T 2 ∑2sin kω0T 1k+∞k=−∞δ(ω−kω0)周期方波x [n ]=x [n +T ]x [n ]={1, |n |≤N 10, N 1<|t |≤N 2 2π∑a k δ(ω−k2πN)+∞k=−∞非周期方波：x(t)={1, |t |<T 10, T 1<|t |2sin ωT 1ω非周期方波：x [n ]={1, |n |≤N 10, N 1<|t |sin [ω(N 1+12)]sin (ω2⁄)单位冲激串：∑δ(t −nT )+∞n=−∞2πT ∑δ(ω−2πkT)+∞k=−∞∑δ[n −kN ]+∞k=−∞2πN ∑δ(ω−2πkN)+∞k=−∞ sin Wtπt X (jω)={1,|ω|<W0,|ω|>Wsin Wnπn0<W <π X (ω)={1,0≤|ω|≤W0,W ≤|ω|≤πδ(t ) 1δ[n ] 1u (t ) 1jω+πδ(ω) u [n ]11−e −jω+π∑δ(ω−2πk )+∞k=−∞e −a|t|,a >0 2aa 2+ω2e −at u (t ),Re {a }>0 1a +jω a n u [n ],|a |<111−ae −jωte −at u (t ),Re {a }>0 1(a +jω)2(n +1)a n u [n ],|a |<1 1(1−ae −jω)2t n−1(n −1)!e −at u (t ),Re {a }>01(a +jω)n(n +r −1)!n!(r −1)!a nu [n ],|a |<11(1−ae −jω)r门函数：G τ(t )τSa (ωτ2)三角形函数：⋀(t)2ττSa2(ωτ2)Sa(ωc t)πωcG2ωc(ω)双边拉普拉斯变换与Z变换性质拉普拉斯变换Z变换逆变换x(t)=12πj∫X(s)e stσ+j∞σ−j∞ds x[n]=12πj∮X(z)z n−1dz变换X(s)≜∫x(t)e st+∞−∞dt X(z)≜∑x[n]z−n+∞n=−∞性质信号变换收敛域ROC 信号变换收敛域ROCx(t) x1(t) x2(t)X(s)X1(s)X2(s)RR1R2x[n]x1[n]x2[n]X(z)X1(z)X2(z)RR1R2线性ax1(t)+bx2(t)aX1(s)+bX2(s)至少R1∩R2ax1[n]+bx2[n]aX1(z)+bX2(z)至少R1∩R2时移x(t−t0)e−st0X(s)R x[n−n0]z−n0X(z)R(除了可能增加或去除原点或∞点)S域平移(z域尺度变换e s0t x(t)X(s−s0)R的平移，即若(s−s0)在R域中，则s就位于收敛域中e jω0n x[n]X(e−jω0z)Rz0n x[n]X(zz0)z0Ra n x[n]X(a−1z)R的比例伸缩，即在|a|R=在R中z的这些{|a|R}点的集合时域尺度变换x(at)1|a|X(sa)R/a，即若s/a在R中，则s就位于收敛域中x[−n]X(z−1)R−1x(k)[n]={x[r]，n=rk0， n≠rkX(z k)R1k⁄共轭x∗(t)X∗(s∗)R x∗[n]X∗(z∗)R卷积x1(t)∗x2(t)X1(s)X2(s)至少R1∩R2x1[n]∗x2[n]X1(z)X2(z)至少R1∩R2时域微分dx(t)dtsX(s)至少R x[n]−x[n−1](1−z−1) X(z)至少R1∩{|z|>0}S域微分−tx(t)dX(s)dsR nx[n]−zdX(z)dzR时域积分∫x(τ)t−∞dτX(s)s至少R1∩{Re{s}>0}∑x[k]nk=−∞11−z−1X(z)至少R1∩{|z|>1}初值及终值定理若t<0, x(t)=0且在t=0不包括任何冲激或高级奇异函数，则：x(0+)=lims→∞sX(s)limt→∞x(t)=lims→0sX(s)仅有初值定理：若n<0 时x[n]=0，则：x[0]=limz→∞X(z)基本函数的（双边）拉普拉斯变换和（双边）z变换拉普拉斯变换z变换信号变换收敛域信号变换收敛域δ(t) 1 全部s δ[n] 1 全部zu(t)1sRe{s}>0u[n]11−z−1|z|>1−u(−t)1sRe{s}<0−u[−n−1]11−z−1|z|<1t n−1 (n−1)!u(t)1s nRe{s}>0a n u[n]11−az−1|z|>|a|−t n−1(n−1)!u(−t)1s nRe{s}<0−a n u[−n−1]11−az−1|z|<|a| e−at u(t)1s+aRe{s}>−a na n u[n]az−1(1−az−1)2|z|>|a|−e−at u(−t)1s+aRe{s}<−a−na n u[−n−1]az−1(1−az−1)2|z|<|a|t n−1 (n−1)!e−at u(t)1(s+a)n Re{s}>−a−t n−1(n−1)!e−at u(−t)1(s+a)n Re{s}<−aδ(t−T)e−sT全部s δ[n−m]z−m全部z，除去0（若m＞0），或∞（若m＜0）[cosω0t]u(t)ss2+ω02Re{s}>0[cosω0n]u[n]1−[cosω0]z−11−[2cosω0]z−1+z−2|z|>1[sinω0t]u(t)ω0s2+ω02Re{s}>0[sinω0n]u[n][sinω0]z−11−[2cosω0]z−1+z−2|z|>1[e−at cosω0t]u(t)s+a(s+a)2+ω02Re{s}>−a[rn cosω0n]u[n]1−[r cosω0]z−11−[2rcosω0]z−1+r2z−2|z|>r[e−at sinω0t]u(t)ω0(s+a)2+ω02Re{s}>−a[rn sinω0n]u[n][r sinω0]z−11−[2r cosω0]z−1+r2z−2|z|>ru n(t)=d nδ(t)dt ns n全部su−n(t)=u(t)∗⋯∗u(t)1s nRe{s}>0拉普拉斯变换与z变换的收敛域、因果性、稳定性收敛域ROC：对于s来说，使得x(t)e−σt的傅里叶变换收敛；或者x(t)的拉普拉斯变换收敛！因果性：如果一个系统在任何时刻的输出只取决于现在的输入及过去的输入，该系统称因果系统。
信号与系统基本变换关系
F1 F2
f1 t f2 t
F1 s F2 s
f1 n f 2 n
k
F1 z F2 z
频域卷积 初值定理 终值定理
f1 t f 2 t
1 F1 F2 2
序列 求和
f n
数字信号基本变换（傅立叶、拉氏、z 变换）
林家通
傅立叶 级数 f t
拉氏变换
Z 变换
n
Fe
n
jn1t
Fn
正变换
1 T
T 2 T 2
f t e j1t
令复频率 s j 双边 F s
双边 F z f n z n
1 2
F ( ) e jt d
F
f t
原函数
2 j
1
j
j
F s e st ds
象函数 1
f n
f n , n 0
1 2 j
F z z
c
n 1
dz
收敛域
z 0
原函数
F z
t
1 常用变换
时域 f (t)
z 域（单边）
1 f1 (t) 2 f 2 (t)
1F1 ( ) 2 F2 ( )
1 f1 (t) 2 f 2 (t)
1F1 (s) 2 F2 (s)
1 f1 (t) 2 f 2 (t)
1F1 (s) 2 F2 (s)
频移特性
林家通
2013-11-18
2
sin n
信号与系统的三种变换
信号与系统的三种变换
信号分为离散信号和连续信号，数字信号和模拟信号，每一种信号的处理都可以用到傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换这三种变换。
这三种变换都有各自的特点和研究范围，傅里叶变换以频率为自变量研究系统的频域特性，拉普拉斯变换以平面坐标形式的复数s为自变量研究复频域特性，Z变换以极坐标形式的复数z为自变量研究离散时间系统的复数域特性。
另外，这三种变换都有相似的性质如:线性、尺度变换、时移性、频移性、卷积定理、时域微分与积分等。
利用傅里叶变换分析信号与系统，将只局限与系统的冲击响应有傅里叶变换的情况，既满足狄利克雷条件。
但还有不满足此条件的信号可以用拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换可以简化计算，通过正变换到复频域在进行各种运算可以得到信号的响应，然后通过反变换再转换为时域里的时间函数，可以简化运算。
Z变换是对离散序列进行的一种数学变换，可以用于线性时不变差分方程的求解，从而很方便的求解离散的信号响应，在求解时起到简化作用。
信号与系统是一门很重要的基础课，将应用于很多领域如数字电路，电路设计中队信号的处理与运算等。
总之，学好信号与系统会受益匪浅，对以后的学习有很大帮助。
信号与系统(郑君里)复习要点
信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。
第一章 信号与系统 1、信号的分类①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。
③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷）2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a)例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [a f (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性）②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：)0(d )()(f t t t f =⎰∞∞-δ)(d )()(a f t a t t f =-⎰∞∞-δ?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=⎰∞∞-δ)0()1(d )()()()(n n n f t t f t -=⎰∞∞-δ4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞∞-⎰t t t t tt t t δ)(1||1)()()(t a a at n n n δδ⋅=)(||1)(t a at δδ=)(||1)(00a t t a t at -=-δδ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δy (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x (0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]T[{f 1(t ) + f 2(t ) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性)T[{0},{a x 1(0) +b x 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f (t - t d )] = y f (t - t d)(时不变性质)直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。
(完整word版)信号与系统(郑君里)复习要点(良心出品必属精品)
信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。
第一章信号与系统1、信号的分类①连续信号和离散信号②周期信号和非周期信号连续周期信号f(t)满足f(t) = f(t + mT)，离散周期信号f(k)满足f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
③能量信号和功率信号④因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+ - ×÷）2.1信号的（+ - ×÷）2.2信号的时间变换运算（反转、平移和尺度变换）3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f(t) δ(t) = f(0) δ(t) ， f(t) δ(t –a) = f(a) δ(t –a)例：3.2序列δ(k)和ε(k)f(k)δ(k) = f(0)δ(k) f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0) 4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质T [af (·)] = a T [ f (·)](齐次性)T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性） ②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：y (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x(0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]T[{f 1(t) + f 2(t) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性))0(d )()(f t t t f =⎰∞∞-δ)(d )()(a f t a t t f =-⎰∞∞-δ?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=⎰∞∞-δ)0()1(d )()()()(n n n ft t f t -=⎰∞∞-δ4)2(2])2[(d dd )(')2(0022=--=--=-==∞∞-⎰t t t t tt t t δ)(1||1)()()(t aa at n n n δδ⋅=)(||1)(t a at δδ=)(||1)(00at t a t at -=-δδ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δT[{0},{ax 1(0) +bx 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f(t - t d )] = y f (t - t d )(时不变性质) 直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。
智慧树知道网课《信号与系统(中国石油大学(华东))》课后章节测试满分答案
绪论单元测试1【判断题】(1分)本课程涉及的三大变换是傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换A.对B.错第一章测试1【单选题】(5分)信号是()信号A.离散周期信号B.连续周期信号C.离散非周期信号D.连续非周期信号2【单选题】(5分)序列是否为周期序列，若是周期序列，其周期N为A.是，N=3B.是，N=4C.不是D.是，N=83【判断题】(5分)线性时不变系统一定是稳定的系统A.对B.错4【判断题】(5分)线性系统一定是因果系统A.对B.错5【判断题】(5分)线性系统可以是时变系统，也可以是时不变系统A.错B.对6【判断题】(5分)因果系统一定是稳定的系统A.错B.对7【判断题】(5分)两个连续周期信号之和仍为周期信号A.对B.错8【单选题】(5分)试判断序列是否是周期序列，如果是，周期N=？A.是，N=12B.不是周期序列C.是，N=24D.是，N=89【单选题】(5分)已知信号f(t)的波形如下图所示，则f(6-2t)的波形图为A.B.C.D.10【单选题】(5分)f(3-3t)是如下()运算的结果A.f(-3t)右移1B.f(3t)右移1C.f(3t)左移1D.f(-3t)左移111【单选题】(5分)信号f(t)=2ε(t+1)-3ε(t-1)+ε(t-2)的波形图为A.B.C.D.12【单选题】(5分)下图所示序列f(k)闭合表示式为A.f(k)=ε(k-3)-ε(k-6)B.f(k)=ε(k-3)-ε(k-7)C.f(k)=ε(k-2)-ε(k-6)D.f(k)=ε(k-2)-ε(k-7)13【单选题】(5分)A. 2B.1C.D.314【单选题】(5分)已知f(t)的波形如下图所示，则f(t)的表达式为A.f(t)=(t+1)ε(t)-(t+1)ε(t+1)B.f(t)=(1-t)ε(t)-(1-t)ε(t-1)C.f(t)=tε(t)-(t-1)ε(t-1)D.f(t)=tε(t)-tε(t-1)15【单选题】(5分)系统为为（）系统。
信号与系统之三大变换
信号与系统之三大变换【摘要】傅氏变换、拉氏变换、Z 变换构成了解决信号响应的三大重要工具。
他们之间各有各自的优势。
傅氏变换比较清晰的反应了信号的频域特性，拉氏变换则计算简单并且可以巧妙的利用系统函数零点、极点分布特点直观的反应出系统的稳定性、函数结果等特性，而在解决离散系统的信号方程时，Z 变换有明显的优点，它能够将差分方程转化为简单的代数方程，使得求解过程得以简化。
同时，他们之间又相互联系，在合适的条件下可以相互的转换。
当系统函数的拉氏变换在虚轴上以及右半平面无极点时，可以用jw 代替s 直接得到相应的傅氏变换。
拉氏变换与Z 变换是一个直角坐标系与极坐标系之间转换的关系，通过一定的规则可以相互的转换。
Z 变换在单位圆上，可以与傅氏变换相互的转换，直接用jw e 代替Z 即可。
三大变换的这种相互联系又相有优势的特点给我们解决问题带来了很大的方便，我们既可以用多种变化相互配合解决同一问题，也可以利用多种变换独立的解决同一个问题，然后相互比较，得到最佳解决方案。
关键词：傅氏变换 拉氏变换 Z 变换 信号与系统傅氏变换定义：傅里叶变换是将将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，可以解决连续信号问题也可以用于解决离散信号问题。
定义公式：()()j w t F w f t e d t+∞--∞=⎰ 1()()2j w t f t F w e d wπ+∞-∞=⎰ 应用条件：|()|f t dt +∞-∞<∞⎰【注】：对一些不满足绝对可积条件的函数式，可以通过加上指数衰减因子或进行函数拆分，可以转化为绝对可积函数。
特点：实现了时域到频域的变换，清晰的表示了函数的频谱特性。
拉氏变换定义公式：0 ()()st F s f t e dt +∞-=⎰1f ()()2j st j t F s e ds J σσπ+∞-∞=⎰ 应用条件：由于拉氏变换引入了指数衰减因子，所以它应用的条件很广，只要找到满足lim ()0t t f t e σ-→∞=成立的σ即可。
信号与系统公式整理
tf (t ) (− jt ) n f (t ) ↔ j
S域 微分 时域 积分 S域 积分 初值
tf (t ) (−t ) n f (t ) ↔ − F ′( s )
t
d n F ( s) ds
n
Z域 微分 部分 求和 Z域 积分 初值
kf (k ) ↔ − z
k
dF ( z ) dz
b
z a k f (k ) ↔ F ( ) a
f (− k ) ↔ F ( z −1 ) （仅限双边） 仅限双边） f1 (t ) * f 2 (t ) ↔ F1 ( z ) F2 ( z )
f (k − 1) ↔ z −1F ( z ) + f (−1)
f ( k / n) f (n) (k ) = ↔ F (e jnθ ) 0 f (− k ) ↔ F (e − jθ ) f1 (k ) * f 2 (k ) ↔ F1 (e jθ ) F2 (e jθ )
频移 尺度 变换 反转 时域 卷积 频域 卷积 时域 微分 频域 微分 时域 积分 频域 积分 对称 帕斯 瓦尔
E=
t
e ± jω0t f (t ) ↔ F ( j (ω µ ω 0 ))
频移 尺度 变换 反转 时域 卷积
e ± s0t f (t ) ↔ F ( s µ s 0 )
频移 尺度 变换 反转 时域
−2
−1
f1 (k ) f 2 (k ) ↔
∫2π F1 (e
jψ
)F2 (e j (ψ −θ ) )dψ
f ′(t ) f ( n ) (t ) ↔ jωF ( jω ) ( jω ) n F ( jω ) dF ( jω ) dω d n F ( jω ) dω
信号与系统三大变换PPT课件
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换可以将时域信 号转换为复频域,能够分析 系统的动态特性,是分析线 性时不变系统的重要工具。
Z变换
Z变换可以将离散时间信号 转换为复频域,广泛应用于 数字信号处理、数字滤波器 设计等领域。
信号与系统分析的一般流程
信号建模
1
根据实际问题,建立合适的数学模型
系统分析 2
对系统的输入输出关系进行分析
信号与系统分析实例
频域分析
运用傅里叶变换将时域信号转换到频域,分析信号的频谱特性,如频带、主频、谐波等。
时域分析
利用时域函数描述信号的波形、幅值、时间特性,如上升时间、延迟时间、衰减特性等。
系统建模
建立信号传输系统的数学模型,运用拉普拉斯变换或Z变换分析系统的响应特性。
滤波设计
利用频域分析结果设计合适的滤波器,如低通、高通、带通滤波器,优化系统性能。
系统
系统指由相互关联的元素组成的 整体,对输入信号进行处理并产 生输出信号的装置或过程。
输入输出
系统接受外界信号作为输入,经 过一系列的处理过程后产生输出 信号。输入输出是系统的基本特 性。
为什么要学习信号与系统
理解现代技术的 基础
信号与系统是现代技 术的基础之一,涉及 电子、通信、控制、 信息处理等诸多领域 。学习这门课程可以 帮助我们深入理解这 些技术的工作原理变换F(s)的收敛性 由实部大于某个门限值的s 决定。即当Re(s) > σ₀时, 拉普拉斯变换收敛。
拉普拉斯变换的性质
线性性
拉普拉斯变换满足线 性性质,即对任意常 数a和b以及信号x(t) 和y(t),有 L{ax(t)+by(t)}=aL{ x(t)}+bL{y(t)}。这 使得拉普拉斯变换在 信号分析中有很强的 适用性。
《信号与系统》复习要点
2012级《信号与系统》复习提要典型连续信号（exp（at），sgn(t)，sinwt，coswt，Sa(t)，G(t)），奇异信号u(t)，δ(t)的二种定义，以上信号对应的离散序列，周期信号及周期序列。
对应的频谱表达。
信号的图示（坐标3要素）。
欧拉公式。
三大变换对象和性质：FT，LT，(双边LT, ROC)，ZT (ROC)（双边），DTFT。
同域变换（Hilbert变换）即信号通过1/πt的系统或称-90度移相网络。
连续卷积定义和性质，离散卷积定义。
时域卷积定理，频域卷积定理。
频谱（幅度谱、相位谱），实部虚部，幅度相角，奇偶性，直流分量的去除，（密度谱），功率谱。
幅度的dB表示。
信号频带宽度与时域波形特征。
信号的周期化表达式，信号的截取，信号的离散化表达式，连续信号的重建。
系统的频率响应及参数定义，不失真信号传输条件。
信号的调制解调。
香农采样定理及其相关俗语，信号周期性与离散性在时域和频域的表现，表征参数。
频谱混叠现象，采样信号的恢复和重建。
微分方程，差分方程，状态方程（输出方程）。
系统方框图。
系统起始状态，初始条件，各种响应：连续系统零状态（离散系统的零状态），零输入，稳态，瞬态。
自由项。
单位冲激响应与单位样值响应。
特征根，重根，共轭根。
多项式根与系数关系。
实系数与共轭根关系。
系统因果性，稳定性（两种充要条件判断），收敛性，临界稳定。
传递函数，信号流图，零点，极点，零极点图形。
连续的部分分式分解求逆变换，极点上的留数。
离散的部分分式逆变换。
真假分式，长除法。
信号的Matlab实验的主要结论。
以下是细化的内容：1．连续信号、离散信号的各自特征是什么？2．连续时间信号的t＝0点和t＝∞处，它在现实中表示什么实际情况？3．模拟信号、采样信号、数字信号的确切定义、联系和区别是什么？4．用理想冲激和实际窄脉冲对连续信号进行采样，这两种方法采样点的值如何确定？而在恢复原信号时，两个采样点间的信号的值是如何得出的？5．采样信号经过幅度量化而成为数字信号，量化过程所带来的误差（4舍5入）与量化阶数（位数）的关系如何？6．对周期信号、非周期信号、两个周期信号之和并成为非周期信号的三种情况各举一例，并画波形图说明。
第1章--信号与系统概述
相邻离散点的间隔Tk=tk+1-tk可以 相等也可不等。通常取等间隔T，
离散信号可表示为f(kT)，简写为
f(k)，这种等间隔的离散信号也常
称为序列。其中k称为序号。
26
上述离散信号可简画为 用表达式可写为
或写为 f(k)= {…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}
↑ k=0 通常将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”27
在我们选用的教材中采用先连续后离散，先时域后 变换域的结构展开教学
课程特点
应用数学知识较多，用数学工具分析物理概 念，常用数学工具： 微分、积分（定积分、无穷积分、变上限 积分） 线性代数 微分方程 傅里叶级数、傅里叶变换、拉氏变换
学习方法
•注重物理概念与数学分析之间的对照，不要盲目计 算； •注意分析结果的物理解释，各种参量变动时的物理 意义及其产生的后果； •同一问题可有多种解法，应寻找最简单、最合理的 解法，比较各方法之优劣； •在学完本课程相当长的时间内仍需要反复学习本课 程的基本概念。
满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。
不具有周期性的信号称为非周期信号。
28
2π 角频率 ω= （弧度/秒）或（rad/s），
T
2π 频率 f = （赫兹）或（Hz）。
T
f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,…
图1-5 连续周期信号
29
离散的周期信号f[k]=f[k+N]，N为周期。
系统分析：研究在给定系统的条件下，系统对于输 入激励信号所产生的输出响应
系统综合：按某种需要先提出对于给定激励的响应 ，而后根据此要求设计（综合）系统
分析与综合二者关系密切，但又有各自的体系和研 究方法，一般讲，学习分析是学习综合的基础
信号三大变换公式
信号三大变换公式信号处理领域中，常用的三大变换公式分别为傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换。
这些变换公式在信号处理中起到了重要的作用，能够帮助我们分析和处理各种类型的信号。
下面将详细介绍这三大变换公式。
一、傅里叶变换：傅里叶变换是一种将一个信号从时域转换到频域的方法。
它可以将一个信号分解成不同频率的正弦波和余弦波的叠加。
傅里叶变换的数学表达式为：F(ω) = ∫[f(t) ⨉ e^(-jωt)] dt其中，F(ω)是信号在频域的表示，f(t)是信号在时域的表示，ω是角频率，e^(-jωt)是复指数函数。
傅里叶变换可以用于信号的频谱分析，可以将信号分解成频率分量，从而帮助我们了解信号的频率分布情况。
此外，傅里叶变换还可以用于滤波、编码和解码等方面的应用。
二、拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是一种将一个信号从时域转换到复平面的变换方法。
它将时域中的信号转换为复平面上的点，可以将信号的幅度和相位信息进行分析。
拉普拉斯变换的数学表达式为：F(s) = ∫[f(t) ⨉ e^(-st)] dt其中，F(s)是信号在复平面上的表示，f(t)是信号在时域的表示，s 是复平面上的变量，e^(-st)是复指数函数。
拉普拉斯变换可以用来解决时域中的微分方程和差分方程问题，以及处理电路和控制系统等方面的信号分析和系统设计问题。
三、Z变换：Z变换是一种将离散信号从时域转换到复平面的方法。
它是离散时间傅里叶变换的离散形式，可以将离散信号的频谱和相位信息进行分析。
Z 变换的数学表达式为：F(z)=Σ[f[n]⨉z^(-n)]其中，F(z)是信号在复平面上的表示，f[n]是信号在时域的表示，z 是复平面上的变量，z^(-n)是复数的幂。
Z变换可以用来分析和设计数字滤波器、解离散时间系统的差分方程和处理离散序列的频谱分析等问题。
总结：傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换是信号处理中常用的三大变换公式。
它们分别将信号从时域、时频域和到频域进行转换，可以帮助我们理解和分析各种类型的信号，并在信号处理、滤波和系统设计等方面提供重要的工具。
信号与系统复习总结
左边序列 ：
信号的三大变换
五
（三）z变换
3、典型序列的z变换
单位样值序列
单位阶跃序列
斜变序列
指数序列
信号的三大变换
五
（三）z变换
4、性质
线性
ROC为公共部分
位移性
（1）单边Z变换
信号的三大变换
五
（三）z变换
4、性质
（2）双边Z变换
位移性
z域微分特性
（一）傅立叶变换
五
3、非周期信号的傅立叶变换
（3）傅立叶变换的性质
尺度变换特性
时域压缩——频域展宽
时移特性
频移特性
为常数
微分特性
信号的三大变换
积分特性
（一）傅立叶变换
五
3、非周期信号的傅立叶变换
（3）傅立叶变换的性质
频域微分定理
时域卷积定理
频域卷积定理
信号的三大变换
五
（二）拉普拉斯变换
1、单边定义式
大连轻工业学院信息学院
信号与系统
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复习总结
演讲人姓名
信 号 信号与系统 系 统
信号的基本运算
信号
典型信号
信号的定义及分类
信号的三大变换
章节一
信号的特性
CHAPTER ONE
信号的定义及分类
一
1、信号的定义：随时间变化的物理量。
2、信号的分类：
确定性信号
同时域法
等效激励源法
等效激励源法
电感L：
电容C：
系统稳定性的判别
3、s域分析法
连续时间系统
（一）
信号与系统中的数学
信号与系统中的数学摘要：信号与系统是通信工程的一门基础课程，主要研究确定信号与系统的线性非时变系统。
在这门课程中数学的应用几乎占据了整个课程的体系。
傅里叶变换、Laplace 变换、Z变换是分析与研究确定信号的基础；卷积运算时研究系统必不可少的工具。
当然在信号与系统中也少不了微积分与复变函数的身影。
关键词：信号与系统数学频域分析要谈信号与系统中的数学，首先来了解一下信号与系统这门课程的产生背景吧。
信号与系统这门课程的发展经历了一个漫长的过程，很久以来，人们寻求各种方法以实现信号的传输。
在我国的古代就有利用烽火传送边疆警报，这是最原始的光通信系统。
除此之外还出现了击鼓鸣金、信鸽、旗语、驿站等传送消息的方法。
但是这些方法无论在距离、速度或可靠性与有效性方面都存在一定的缺陷。
这种缺点从19世纪开始慢慢发生了变化。
在这个时候人们开始研究如何利用电信号传送信息。
1844年5月24日，莫尔斯（Morse）在国会大厦联邦最高法院会议厅进行了“用莫尔斯电码”发出了人类历史上的第一份电报，从而实现了长途电报通信。
1876年贝尔（A.G. Bell）发明了电话，直接将语音转变为电信号进行传输。
19世纪末，人们又致力于研究用电磁波传送无线电信号，在这个过程中赫兹、波波夫、马可尼等人分别作出了杰出的贡献。
而如今，无线电信号的传输不仅能够飞跃高山海洋，而且可以遍及全球并通向宇宙，现代通信技术的发展已完全超出许多人的想象。
信号与系统这门课程正是在通信技术与信息传输方式不断的发展过程中形成的，它通过数学理论的分析来研究信号的传输、信号的交换以及信号的处理，正是基于这样的研究基础之上才有了今天的信息传递技术的迅猛发展。
下图是信号与系统理论应用的一些实例。
数学是以数和形表现事物联系的科学，而且它与哲学、自然科学、社会科学等有着紧密的联系。
曾看到过伽利略的一句名言：“数学是上帝描写宇宙的文字。
”也曾听人说过“数学的学习程度决定着一个人学术人生的高度。
《信号与系统》复习要点
2012级《信号与系统》复习提要典型连续信号（exp（at），sgn(t)，sinwt，coswt，Sa(t)，G(t)），奇异信号u(t)，δ(t)的二种定义，以上信号对应的离散序列，周期信号及周期序列。
对应的频谱表达。
信号的图示（坐标3要素）。
欧拉公式。
三大变换对象和性质：FT，LT，(双边LT, ROC)，ZT (ROC)（双边），DTFT。
同域变换（Hilbert变换）即信号通过1/πt的系统或称-90度移相网络。
连续卷积定义和性质，离散卷积定义。
时域卷积定理，频域卷积定理。
频谱（幅度谱、相位谱），实部虚部，幅度相角，奇偶性，直流分量的去除，（密度谱），功率谱。
幅度的dB表示。
信号频带宽度与时域波形特征。
信号的周期化表达式，信号的截取，信号的离散化表达式，连续信号的重建。
系统的频率响应及参数定义，不失真信号传输条件。
信号的调制解调。
香农采样定理及其相关俗语，信号周期性与离散性在时域和频域的表现，表征参数。
频谱混叠现象，采样信号的恢复和重建。
微分方程，差分方程，状态方程（输出方程）。
系统方框图。
系统起始状态，初始条件，各种响应：连续系统零状态（离散系统的零状态），零输入，稳态，瞬态。
自由项。
单位冲激响应与单位样值响应。
特征根，重根，共轭根。
多项式根与系数关系。
实系数与共轭根关系。
系统因果性，稳定性（两种充要条件判断），收敛性，临界稳定。
传递函数，信号流图，零点，极点，零极点图形。
连续的部分分式分解求逆变换，极点上的留数。
离散的部分分式逆变换。
真假分式，长除法。
信号的Matlab实验的主要结论。
以下是细化的内容：1．连续信号、离散信号的各自特征是什么？2．连续时间信号的t＝0点和t＝∞处，它在现实中表示什么实际情况？3．模拟信号、采样信号、数字信号的确切定义、联系和区别是什么？4．用理想冲激和实际窄脉冲对连续信号进行采样，这两种方法采样点的值如何确定？而在恢复原信号时，两个采样点间的信号的值是如何得出的？5．采样信号经过幅度量化而成为数字信号，量化过程所带来的误差（4舍5入）与量化阶数（位数）的关系如何？6．对周期信号、非周期信号、两个周期信号之和并成为非周期信号的三种情况各举一例，并画波形图说明。
信号与系统四种重要变换的联系和区别
知识文库 第20期238信号与系统四种重要变换的联系和区别林晓伟1 四种重要变换的概念联系信号的主要作用为传播信息，因此人们对信号的关注重点为该信号所携带的信息。
而信号所携带的信息存在于其各个频率分量中。
所以我们在第三章中讨论了周期信号的傅里叶级数分析，以傅里叶级数的方式分析了周期信号各频率分量所占的比重。
然而，在自然界中，我们所遇到的信号不可能是理想的周期信号，而是有限能量的信号。
因此，我们将周期信号的傅里叶级数推广到了非周期的有限能量信号的傅里叶变换。
随着时代的发展，我们对信号的需求由连续时间的模拟信号转移到了离散时间的数字信号中（模拟信号刚干扰能力较差，取样频率大于二倍的奈奎斯特频率信号就不会失真）。
所以我们的研究方向从连续时间信号（模拟信号）傅里叶变换转移到了离散时间信号（数字信号）傅里叶变换中。
傅里叶分析可以解决信号分析中的许多问题，然而傅里叶分析也有其局限之处。
例如，傅里叶分析并不能适用于不稳定信号的分析。
因此我们需要将傅里叶分析进一步推广。
相应的，连续时间傅里叶分析推广到了拉普拉斯变换；离散时间傅里叶变换推广到了z 变换。
这两种变换与傅里叶变换共有的代数性质组合在一起，就形成了一整套重要的系统分析工具。
以上是DTFT、CTFT、LT 与ZT 的简要概述及其概念上的联系。
可以简述为：将CTFT 推广可得到LT，将DTFT 推广可得到ZT，而将CTFT 离散化可得到DTFT，将LT 离散化可得到ZT。
2 四种重要变换的具体联系四种变换都具有相似的性质，具体为线性、时移、频移、共轭、时间反转、时间尺度变换、时域微分，积分（离散形式为差分）、频域微分，积分等。
以综合等式及分析等式为基础，运用这些性质可以获得一系列基本变换对，并由这些基本变换对得到一系列变换对从而对信号进行高效的分析。
可以简要的说明：拉普拉斯变换将频域从实数推广到了复数，频域也从实轴推广到了复平面，因此连续时间傅里叶变换成为了拉普拉斯变换的一种特例。
信号三大变换公式
0 0
√
(t t0 )
cos 0t
sin 0t
√
f (t)
1, 0,
t t
j d () 1
d
2
2 j
e jt0
[
(
0
)
(
0
)]
j [ ( 0 ) ( 0 )]
Sa( ) 2
) z 1
z 2
(a a 1 ) z 1 ，
(1 az 1 )(1 a 1 z 1 )
a z 1a
1 z 2 ，
(1 az 1 )(1 a 1 z 1 )
a z 1a
重要 √ √ √
√
√ √
3
2
a j
(a
j )2
2 0
0
(a
j )2
2 0
1 (a j)2
1 (a j)k
2
(
k
2
)
T k
T
e( )2 2
[Sa ( 0 ) Sa ( 0 ) ]
2
2
2
2 Fk ( k0 ) k
f (t) p(t)
f (t) 是实函数
fo (t) Odf (t) fe (t) Evf (t)
d d
F
( )
√
F ( )d
1 F () * P() √ 2
j ImF () ReF ( )
希尔伯 特变换
f (t) f (t)u(t)
信号与系统信号分析与变换
u(t-t0)
1 0
t0
t
单位阶跃信号和单位斜坡信号的关系：
t t 0 R (t ) t u (t ) 0 t 0
1、单位斜坡信号等于单位阶跃信号的积分： R(t ) u ( )d
t
2、单位阶跃信号等于单 位斜坡信号的导数： dR(t ) u (t ) (t 0) dt
系统篇
拉普拉斯变换
差分方程 Z变换
离散系统的 时域分析
离散系统的Z 域分析
主要研究的问题
• 输入信号、输出信号和系统三者之间的相互关系
发送 系统
通道（信道）
系统
接收
1、已知输入和输出信号，建立什么样的系统。
输入 ?系统 输出
2、已知输入信号和系统，得到什么样的输出。
输入 系统 ?输出
3、随机信号的分析。
般为低频，相乘后对载波信号进
行调制，称为调幅 2
e t cos( 2
T
t)
0
• 时域变换
1、平移（时移）： shift f(t+2)
-2 f(-t)
f ( t)
0
f(t-3)
3 f(t)
t
2、反折： fold 3、展缩 f(t) f(at)
0
t
a 1 压缩 a 1 扩展
f (t ) (t ) f (0) (t )
f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
相乘的结果仍然是一个函数，但幅度改变了
6、单位冲激偶： 单位冲激函数的导数
d (t ) t 0 ' (t ) dt 0 t 0
t
0