数字信号处理第9章 抽取与插值20151103

j
j X ( e ) 的一个周期； 措施： Y (e ) 的一个周期应等于
结论：
f s 2 Mf c
：抽取的结果不会发生频谱的混迭
抽样系数与频率的关系
由于 M 是可变的，所以很难要求在不同的 M 下
都能保证
f s 2 Mf c
结果：出现了频谱的混迭，如：
M 2
1 1 j / 2 j / 2 Y (e ) X (e ) X ( e ) 2 2
Lf s
h (n)
u (n)
Lf s
M
y (n)
L fs M
y (n)
k
x(k )h( Mn Lk )

单独抽取和单独插值时时域关系的结合
例
如何计算？
let L3 M 2
y ( n)
k
x(k )h(Mn Lk )
x(k )

h( k )
k
例
如何计算？
频率：
x1 ( n ) x ( n ) p ( n )
X1 ( z)
n


x ( n) p ( n) z n
1 M 1 M
n M 1


kn n x(n) WM z k 0
M 1
k n x(n)( zWM ) k 0 n
第9章 信号处理中的若干典型算法
9.1 信号的抽取与插值 9.1.1 信号抽取 9.1.2 信号插值 9.1.3 利用抽取和插值进行速率转换 9.1.4 抽样率转换实例、抽样滤波器 9.2 信号的子带分解及滤波器组 9.3 窄带信号及调制与解调
9.1 信号的抽取与插值
前言：多抽样率信号处理
（一）为什么要作抽样率转换？
多抽样频率下信号的处理称为
“多抽样率信号处理”
Multirate Signal Processing
一、 信号的抽取
Down-Sampler
1.1 信号的抽取定义
抽取： f s f s / M
x(n)
抽样频率减少 M 倍
↓M
y (n)
Down-Sampler
最 简 单 的 方 法 是 将 x(n) 中 每 M 个 点 中抽取一个，依次组成一个新的序列，即
y (n)
k
k
x(k )h(n kL)

k
三、抽取与插值相结合的抽样率转换
分数倍抽样率转换： L/M CD 产品用的抽样率是 44.1kHz ，而数字音 频广播用的是32kHz。如何转换？
先 L 320 倍插值，再 M 441 的抽取
合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取
x ( Mn ) z
1

n

n
x (n ) z
1

n / M
y ( n ), x1 ( n )
Y ( z ) X 1 ( z1/ M )
关键是 x1 ( n ) 和 x(n) 的关系：
之间关系
令 p(n )
i
(n Mi )

为一脉冲序列，其抽样频率也为 f s
j
将 X (e j ) 作3倍 的扩展 将 X (e )移动 2 后作3倍的扩展 将 X (e j )移动 4 后作3倍的扩展
j
扩展 平移
平移
叠加
1.3 抽取系数与频率关系
将信号 x(n) 作 M 的抽取，得 y (n) 目的：将抽样频率降低 M 倍；
原则： y (n) 应保留 x(n) 中的全部信息；
x(n)
fs
L
v ( n)
Lf s
h 1(n)
u (n)
Lf s
h 2 ( n)
Lf s
M
y (n)
L fs M
插值
抽取
因为两个滤波器工作在同样的抽样频率下，所以 可将它们合并成一个
x(n)
fs
L
v ( n)
Lf s
h (n)
u (n)
Lf s
M
y (n)
L fs M
L H (e ) 0
let L3 M 2
y ( n)
k
x(k )h(Mn Lk )
x(k )

k
v(k )
插值后：
k
h( k )
反转后：
k
首先求：
u ( n)
法1
u(n ) (n ) * h(n )
u (0) x (0) h (0)
k
h(n k ) (k )
n 0, M ,2 M ,, 其它
x1 ( n ) 的抽样率仍为 f s
y ( n ) 的抽样率是 f s / M
现在的任务是: 1. 2. 3. 找到 x1 ( n ) 和 x(n) 的时域与频域的关系; 找到 x1 ( n ) 和 y (n) 的时域与频域的关系; 找到 y (n) 和 x(n) 的时域与频域的关系;
j n x ( n L ) e
V ( e j )
n
j n ( n ) e


k
jkL x ( k ) e
n
V ( e j ) X ( e j L )
V ( z) X ( z )
L
j j
信号抽取前后 频域的关系
去除镜像的目的实 j 质上是解决所插值 H (e ) 的为零的点的问题。 方法：滤波
x(n)
c 0
y (n)
| | L 其它
L
v ( n)
h (n)
y (n) (n) * h(n) (k )h(n k )
x ( k L)h ( n k )
y ( n ) x ( Mn )
n ~
x ( n)
x(n) : fs
x1 (n)
y ( n)
x1 (n)
y(n) : f s / M
x ( n ) 和 y(n) 的时域、 要找到抽取前后，
频域关系。对于抽取，要通过中间序列
x1 (n)
令：
x(n) x1 ( n ) 0
k
h(k ) x(n k )

(n)
k
h(k ) x(n k )
n

V ( e j ) H ( e j ) X ( e j )
Y ( z)
n
y ( n) z
M 1 k 0


n j 2 k M
v(Mn) z
同一首音乐，从录音、制作成 CD 唱盘到 数字音频广播，抽样频率要多次变化。
再例如：当需要将数字信号在两个或多个具 有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求 该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而 转换。
3. 信号多分辨率的需要
根据信号频率成分的分布，将一个信号 分解成低频信号和高频信号，或分解成多带 信号（如M个带），分解后的信号带宽减少 M 倍，所以抽样频率可减少M倍。
先 L 320 倍插值，再 M 441 的抽取
合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取
x(n)
fs
L
v ( n)
Lf s
h 1(n)
u (n)
Lf s
h 2 ( n)
Lf s
M
y (n)
L fs M
插值
抽取
因为两个滤波器工作在同样的抽样频率下，所以 可将它们合并成一个
x(n)
fs
L
v ( n)
j
0 | | min( , ) L M 其它

x ( n L ) n 0, L,2 L (n) 其它 0
y ( n ) u ( Mn )
u(n ) (n ) * h(n )
n ~
k
h(n k ) (k )
j
抽 取 后 频 谱 的 混 迭
j X ( e ) 解决的办法：在抽取前加反混迭滤波器，去除
中 | | 2 M 的成分。虽然牺牲了一部分高频内 容，但总比混迭失真好。
1 | | 2 M H (e ) 其它 0
j
x ( n)
h( n)
v ( n)
M
y ( n)
(n)
1. 信号原来的抽样频率不合适 如抽样频率过高，数据量太大,因此存储 量大；计算负担重，传输时需要大的带宽。
2. 实际的数字系统中，不同的处理环节需要 不同的抽样频率
例如：在音频世界，就存在着多种抽样频率。 得到立体声信号（Studio work）所用的抽样 频率是 48kHz ， CD 产品用的抽样率是 44.1kHz ， 而数字音频广播用的是32kHz。
x1 ( n ) x ( n ) p ( n )
1 p(n ) M
M 1 k 0 kn W M
WM e
j 2 / M
x ( n)
p (n)
x1 ( n)
由于：
1 p(n ) M
M 1 k 0
W
kn M
W M e j 2 / M
周期序列展为傅里叶级数
1.2 抽取频率推导
流程是: 1. 找到 x1 ( n ) 和 y (n) 的时域与频域的关系;
2.
找到 x1 ( n ) 和 x(n) 的时域与频域的关系;
3.
找到 y (n) 和 x(n) 的时域与频域的关系;
y ( n ) x ( Mn ) x1 ( Mn )
Y ( z)
n
)
加上频带为（ M , M ）的低通滤波器后， 可以避免抽取后频谱的混迭
二、信号的插值
x(n)
L
v(n)
Up-Sampler
插值：f s Lf s
) 最简单的方法是将 x ( n每两个点之间补 L-1个零。
x (n L) (n) 0
频谱：
n 0, L,2 L, 其它
X (e )周期： - ~ ; V (e )周期： - / L ~ / L
X (e )
2
j

V (e j )
2
0

2

2

0

2
2

镜像（Image)
必须去除！
坐标轴的又一种标注法
x(n) : f s ;
v(n) : f v Lf s
v 2 fv 2 Lf s x L

包含很多乘以零的运算，实际上是不需要的
由 u (n) 求 y (n) ，每两个点只要一个，即
y (0) u (0) y (1) u (2) y (2) u (4)
u(1), u(2), u(3),
白计算了
所以，在抽取与插值中，一定会有高效的计 算方法，原则是： 插值时，乘以零的运算不要做； 抽取前，要舍弃的点就不要再计算。
L)
k

u(n )
k
Fra Baidu bibliotek
h(n k ) x(k
y (n)
k

h(n Lk ) x(k )

x(k )h( Mn Lk )
单独抽取和单独插值时时域关系的结合
四、抽样率转换实例
分数倍抽样率转换： L/M CD 产品用的抽样率是 44.1kHz ，而数字音 频广播用的是32kHz。如何转换？
M 1 k 0
X (e
j ( 2 k ) / M
)
信号抽 取前后 频域的 关系
1 j Y (e ) M
M 1 k 0
X (e
j ( 2 k ) / M
)
如何理解
令： M 3
1 j / 3 Y (e ) X (e ) 3 1 j ( 2 ) / 3 X (e ) 3 1 j ( 4 ) / 3 X (e ) 3
X ( zW )
k M
所以： X ( z ) 1 1 M 又因为：
M 1 k 0
k X ( zW M)
X 1 ( z ), X ( z )
的关系
Y ( z) X1( z
1 Y ( z) M
M 1 k 0
1 M
)
1 M
最后：
X (z
j
W )
k
ze
1 j Y (e ) M
y (n)
k
x(k )h( Mn Lk )

的又一种表示形式：
Mn Lk 0

M k n L
Mn k m L
Mn Mn y (n) x m h Mn L mL L m L
z
1M

n

n
v ( n) z

n/M
1 M
V (e
)
1 Y ( z) M
1 j Y (e ) M
M 1 k 0
1M k 1M k X ( z W ) H ( z W M M)
M 1 k 0
X (e
j ( 2 k ) M
) H (e
j ( 2 k ) M

x(k)插值0后，为v(k) :H(-k)右移1位的结果
u (1) 0 h (0) x (0) h (1)
u(2) 0 h(0) 0 h(1) x(0)h(2) :H(-k)右移2位 u(3) x(1)h(0) 0 h(1) 0 h(2) x(0)h(3)