模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型.ppt
微专题10 解直角三角形实际应用之四大模型++++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
原型
【等量关系】BC为公共边
20
变式
【等量关系】如图①,BF+FC+CE=BE;
如图②,BC+CE=BE;
如图③,AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE
21
【针对训练】
8.(2024·江西中考)图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建
筑,其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗,寓意“万瓷之母”.如图2,“大碗”的主
2.(2024·济宁三模)如图,已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1∶2,如果它把物
3
体送到离地面3米高的地方,那么物体所经过的路程为_________米.
5
3.(2024·淄博二模)如图1,是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠
在货车车厢的尾部,形成一个斜坡,货物通过斜坡进行搬运.根据经验,木板与地面
∠AFE=58°,BF的延长线交AD于点E,求建筑物AD的高度(结果保留小数点后一
位).(参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)
18
【解析】根据题意可知四边形BEDC是矩形,
∴DE=BC=1.5 m.
∵tan∠ABE= ,tan∠AFE= ,
尺.(假设秋千的绳索拉的很直)
11
(1)如图1,请你根据词意计算秋千绳索OA的长度;
(2)如图2,将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放,秋千摆动到另一侧与竖
直方向夹角为β的地方OA″,两次位置的高度差PQ=h.根据上述条件能否求出秋千
绳索OA的长度?如果能,请用含α,β和h的式子表示;如果不能,请说明理由.
解直角三角形基本模型.ppt
45° A
┓ 60° B C
4、如图，已知铁塔塔基距楼房基水平距离BD为50米，由楼 顶A望塔顶的仰角为45 º,由楼顶望塔底的俯角为30º,塔高 DC为 ( )米
C
A
60o
DC
45o
B
旋转
A
E
60o
B
45
o
C
D
A B
E
D
B
旋转
D
C
A
45o 60o
B
D
C
6406506o600606060 45o 60o
A
A
45o 60o
B
D
C
翻
AAAAA
转
B
B
45o
D
45Bo 60CB45ooC45oCCCCC45oo45o 5
45o
B BB
B
60°
45°
B
DD
C
100米
3、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的 区域。如图，设A、B是我们的观察站，A和B之间的距离为 160海里，海岸线是过A、B的一条直线。一外国船只在P点， 在A点测得∠BAP=450，同时在B点测得∠ABP=600，问此时 是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域.
55为打捞一失事飞机上的黑匣子潜水员在aa处以每小时88海里的速度向正东方向划行在aa处测得黑匣子bb在北偏东60度的方向半小时后到达cc处测得bb在北偏东30度的方向问潜水员继续向东划行时距bb的最近距离是多少
串“典型图形”B
旋转
D
C
A
叠合式
B
背靠式
45o 60o
D
C
AAAA
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
解直角三角形的应用ppt课件
在Rt△ABE中，
∵=
= ,
∴ = 3 = 3 × 23 = 69(m)
在Rt△DCF中，同理可得 =
=
.
∴ = 2.5 = 2.5 × 23 = 57.5(m)
∴ = + + = 69 + 6 + 57.5 = 132.5(m)
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
∴ = 2 + 2 = 692 + 232 ≈ 72.7(m)
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.
例2 如图,在山坡上种树，要求株距(相邻
两树间的水平距离)是5.5米,测得斜坡的坡
角是30°,求斜坡上相邻两树间的坡面距
离是多少米?(结果精确到0.01m）
(2)坡面与水平面的夹角 叫坡角
2.坡度与坡角 的关系
h
i tan
l
显然，坡度越大，坡角
就越大，坡面就越
水库
五、课后作业
1、课本60练习1,2
2.习题2.5 1-12
B
C
30°
(
5.5
A
解：由题意得
AC=5.5m，∠A=30°,
∠C=90°
在Rt △ ABC中, C 90
AC 5.5
3
cos A
AB AB
2
11 3
AB
6.35 m
3
∴相邻两颗树之间的坡面距离约为6.35m。
三、课堂练习
1.如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船
专题02 模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型之六大类型(解析版)
专题02 模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型之六大类型【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】 (1)【类型二不含特殊角的非直角三角形】 (12)【类型三 “独立”型】 (20)【类型四 “背靠背”型】 (23)【类型五 “叠合”型】 (29)【类型六 “斜截”型】 (33)【典型例题】【类型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】例题：（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，小明在游玩时想利用手中的无人机测量一山崖CD（垂直于地面）的高度，小明从A点看向无人机B的仰角为45°．从无人机B处测得看山崖顶端C的仰角为30°，测得看山崖底部D处的俯角为60°，无人机B与山崖的水平距离BE为50米．（图中各点均在同一平面内）．(1)求山崖的高度（结果保留根号）；则2FD =，50GF BE ==\BG EF ED FD ==-=在Rt ABG △中，BAG Ð\45ABG GAB Ð=Ð=°，解题的关键．【变式训练】(1)在这段时间内，海监船与灯塔(2)在这段时间内，海监船航行了多少海里？（结果保留根号）【答案】(1)在这段时间内，海监船与灯塔(2)轮船航行的距离由题意，得APC Ð∴30B Ð=°，AP 在Rt APC V 中，(1)填空：AMBÐ=(2)求灯塔M到轮船航线(3)求港口C与灯塔【答案】(1)30，45(2)灯塔M到轮船航线(3)港口C与灯塔MDBM A Ð=Ð+ÐQ 30AMB \Ð=°，AB CM Q 、都是正北方向，C AB M \∥，45DBC Ð=°Q ，由（1）可得：A Ð20BM AB \==海里，在Rt BEM V 中，Ðsin EM BM \=×Ð\灯塔M 到轮船航线Q CD AB^，ME\四边形CDEM\==CD EM10V中，在Rt BEM\=×cosBE BMQ在Rt CDB△中，(1)求楼DH的高度；(2)求此时无人机距离地面【答案】(1)(30312+则90EG FH ==米，HG 在Rt GED V 中，DGE Ð∴tan DGDEG EGÐ=∴tan DG EG DEG=×Ð∵45,ACD BCE Ð=°Ð=∴75DCE Ð=°，∵AB EG P ，∴60GEC BCE Ð=Ð=°，(1)求屋顶到横梁的距离AG(2)求房屋的高AB（结果精确到【答案】(1)4.2m(2)11.3m设EH x =，在Rt EDH △中，EHD Ð∵tan EH EDH DH Ð=，(1)填空：Ð=ADP______________(2)求楼CD的高度；(3)求此时无人机距离地面【答案】(1)75则 30DAE Ð=°，18090ADC \Ð=°-°,MN AE ∥Q 60,PAE \Ð=°30DAE Ð=°Q 2200AD DE ==Q 18060APD Ð=--°Q 200AP AD \==【类型二不含特殊角的非直角三角形】【答案】1【分析】由勾股定理的逆定理可得Q，5CE=5DE=，CD\=，22DE CE+=CE DE\Ð=°，CED90【变式训练】【答案】2 2【分析】取AB的中点形的三线合一可得CD2213AC=+=QAC BC\=，又Q点D是AB的中点，【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3．（2023春·浙江杭州V的面积；(1)求ABC(2)求AB的值；Ð的值．(3)求cos ABC∴90ADC ADB Ð=Ð=°，(1)若1tan 2C =，求AB 的长度；(2)若30C Ð=°，求sin BEA Ð【答案】(1)30Q，2Ð=°CDE=，CD\=，234CE=，Q点D为BC的中点，问题解决：Ð的值；(1)求出图1中cos CPN(2)如图2，在边长为1的正方形网格中，5∵C D A N∥，Ð=Ð，∴CPN DCM∵22125 CM=+==，∴CM DM阅读以上内容，回答下列问题：在Rt ABC △中，90C Ð=°，(1)如图3，90ACB Ð=°，1AB =，若12BC =，则sin a =______(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan 2a 的表达式（用含则2COB a Ð=，OC \在Rt ABC △中，【类型三 “独立”型】，【答案】18.0【分析】过A 作AF ，16AF BC ==米，在【详解】过A 作AFDE \∥AF ，CD =在Rt ADF V 中，AFD Ðtan DAF Ð=DF AF ，tan 160.8112.96(DF AF DAF \=×Ð=´=米)，3112.9618.0418.0(AB CF DC DF \==-=-=»米)，答：教学楼的高度AB 约为18.0米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，借助仰角构造出直角三角形，然后利用三角函数进行求解是关键．【变式训练】1．（2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）如图，AB 是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端B 沿水平方向向左走8米到达点C ，沿坡度1:2i =（坡度i =坡面铅直高度与水平宽度的比）斜坡走到点D ，再继续沿水平方向向左走40米到达点(E A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内)，在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为34°，已知建筑物底端B 与水平面DE 的距离为2米，则建筑物AB 的高度约是(参考数据：sin340.56°»，cos340.83»°，tan340.67)°»（ ）A ．27.1米B ．30.8米C ．32.8米D ．49.2米【答案】C 【分析】延长AB 交ED 的延长线于F ，作CG EF ^于G ，首先根据坡度求出DG ，再根据锐角三角函数构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，延长AB 交ED 的延长线于F ，作CG EF ^于G ，由题意得：8FG BC ==米，40DE =米，2BF CG ==米，在Rt CDG △中，1i =：2，4DG \=米，在Rt AFE V 中，90AFE Ð=°，52FE FG GD DE =++=米，43E Ð=°，tan34520.6734.84(AF FE \=×°»´=米)，【答案】()36103-【分析】在Rt ADB V 中，由BD =【详解】解：如图，由题意得：30AD =米，36BC =在Rt ADB V 中，tan BD AD BAD =×Ð3301033=´=，CD BC BD\=-【答案】此时风筝离地面的高度为【分析】根据矩形的判定和性质，直角三角形的性质，三角函数的计算方法即可求解．【详解】解：如图所示，由图可知，人垂直于地面，即∴四边形ABDE 是矩形，∴ 1.5m AB DE ==，在Rt BCD V 中，=90BDC Ð∴sin CD CBD BCÐ=，∴sin 30CD BC CBD =Ð=g 【类型四 “背靠背”型】【答案】B ，C 两地的距离约是【分析】根据平行线的性质可知长．【详解】解：如图：∵BD AC ∥，∴DBA BAC Ð=Ð=∴18023ABC Ð=°-∴tan 67BC BA =×°【变式训练】【答案】【分析】根据题意得，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：根据题意得，∴，在中，∵，∴，在中，∵，()30103+90AEB CEB Ð=Ð=°Rt ABE △45CAB Ð=°302km AB =230km 2AE BE AB ===Rt CBE △60ACB Ð=°(1)填空：DBEÐ(2)求A、C两点间的距离：(3)求这座大楼【答案】(1)45 (2)(25325-503由题意可得，∴45DBE Ð=°故答案为：45（2）设AB =在Rt ABC △中可得在Rt BGD △中可得由题意得：，，∴，∵是的一个外角，∴，由题意得：，米，在中，，45HDC Ð=°30MDA Ð=°BGD Ð180105ADC MDA HDC Ð=°-Ð-Ð=°BCD ÐCGD △135BCD HDC BGD Ð=Ð+=°DG BE =57FG AB ==AF Rt ADF V 30ADF Ð=°【类型五 “叠合”型】AB【答案】文峰塔的高度约为由题意得：设米．在∴（米）∴【变式训练】(1)求小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度．(2)大树BC 的高度约为多少米(12DE CF ==AG x =Rt AGE V tan 45AG EG x =°=(12DG GE DE =+=+在Rt ADH V 中，12DH AH =Q ，2AH DH \=．(1)求平房的高度；(2)请求出古树的高度．（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）【答案】(1)(2)AB DE 43343【类型六 “斜截”型】(1)求出A与C之间的距离(2)已知距观测点暗礁危险？（参考数据：【答案】(1)200海里(2)无触暗礁危险【分析】（1）作CE由题意得：设海里，在中，在中，解得：，【变式训练】=45ABC ÐAE x =Rt AEC △CE =Rt BCE V BE =3AE BE x x \+=+=100x =【答案】河流的宽度约为64米【分析】过点作于点，分别解【详解】解：过点作于点∴，∵CD B BE MD ^E B BE MD ^E 243BE AM ==12ME AB ==AF MD∥(1)求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）。
解直角三角形(优质课)课件pptx
练习题：请完成以下解直角三角形的练习题，巩固本节课所学的知识。
已知直角三角形的一个锐角为30度，斜边长为10cm，求这个三角形的面积。
一艘船在海上航行，测得前方两个灯塔之间的夹角为60度，且这两个灯塔与船的距离分别为10海里和15海里。求这艘船相对于两个灯塔的位置。
有效数字运算规则回顾
四舍五入法、进一法、去尾法等。
近似计算方法
在保证精度的前提下，尽量简化计算过程，减少计算量。例如，利用近似公式、近似数表等。
技巧
近似计算方法和技巧
06
总结回顾与拓展延伸
03
实际应用中的解直角三角形问题
如测量问题、航海问题、物理问题等，需要将实际问题转化为数学问题，通过建立直角三角形模型进行求解。
一个物体从斜面上滑下，已知斜面的倾角为45度，物体与斜面间的动摩擦因数为0.5。求物体下滑的加速度大小。
01
02
03
04
05
思考题与练习题
THANKS
在直角三角形中，当角度为30°、45°、60°时，可以通过简单的几何关系计算出对应的正弦、余弦、正切值。
特殊角的三角函数关系
掌握特殊角度的三角函数值之间的关系，如 sin(90°-θ) = cosθ，cos(90°-θ) = sinθ 等。
特殊角度三角函数值计算
利用三角函数求未知边长或角度
三边成比例
两个角相等
相似三角形判定定理回顾
01
02
通过相似比求解未知边长或角度
构建相似三角形，利用相似比求解未知量
利用相似三角形的性质，通过已知边长和角度求解未知边长或角度
【万能解题模型】13 解直角三角形的实际应用中的基本模型(课件)中考数学
解：过点 B 作 BE⊥AD 于点 D，BF⊥CD 于点 F. ∵CD⊥AD， ∴四边形 BEDF 是矩形． ∴FD＝BE，FB＝DE. 在 Rt△ABE 中，BE∶AE＝1∶2.4＝5∶12， 设 BE＝5x，AE＝12x， 根据勾股定理，得 AB＝13x， ∴13x＝52.
解得 x＝4. ∴BE＝FD＝5x＝20，AE＝12x＝48. ∴DE＝FB＝AD－AE＝72－48＝24. ∴在 Rt△CBF 中， CF＝FB·tan ∠CBF≈24×43＝32. ∴CD＝FD＋CF＝20＋32＝52. 答：大楼的高度 CD 约为 52 米．
图形演变 2：
3．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED，从办公楼顶 端 A 测得旗杆顶端 E 的俯角α是 45°，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC 是 20 米，梯坎坡长 BC 是 12 米，梯坎坡度 i＝1∶ 3，则大楼 AB 的高度约为(精确到 0.1 米，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45)( D )
又∵BC＝221，即 CD＋BD＝221， ∴0.85x＋0.53x＝221， 解得 x≈160. 答：AB 的长约为 160 m.
模型 2 母子型(在三角形外部作高)
模型分析： 通过在三角形外作高，构造出两个直角三角形求解，其中公共边 是解题的关键．
等量关系： 在 Rt△ABC 和 Rt△DBC 中，BC 为公共边，AD＋DC＝AC. 图形演变 1：
2．如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C，连接 AC， BC.测得 BC＝221 m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°.根据测得的数据， 求 AB 的长．(结果取整数，参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53， tan 58°≈1.60)
模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型之六大类型(学生版)
模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型之六大类型【考点导航】目录【典型例题】【类型一含特殊角(“30°，45°，60°”)的非直角三角形】【类型二不含特殊角的非直角三角形】【类型三“独立”型】【类型四“背靠背”型】【类型五“叠合”型】【类型六“斜截”型】【典型例题】【类型一含特殊角(“30°，45°，60°”)的非直角三角形】1(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)如图，小明在游玩时想利用手中的无人机测量一山崖CD(垂直于地面)的高度，小明从A点看向无人机B的仰角为45°．从无人机B处测得看山崖顶端C的仰角为30°，测得看山崖底部D处的俯角为60°，无人机B与山崖的水平距离BE为50米．(图中各点均在同一平面内)．(1)求山崖的高度(结果保留根号)；(2)若点A距离地面2米，求小明到山崖的水平距离(结果取整数)．(参考数据：2≈1.414，3=1.732)【变式训练】1(2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习)为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度，如图，一艘海监船位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔Р的北偏东30°方向上的B处．(1)在这段时间内，海监船与灯塔Р的最近距离是多少海里？(2)在这段时间内，海监船航行了多少海里？(结果保留根号)2(2023·海南·统考中考真题)如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．(1)填空：∠AMB=度，∠BCM=度；(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号)；(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号)．3(2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中)无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中C处测得楼DH楼顶D处的俯角为45°，测得楼EF楼顶E处的俯角为60°．已知楼EF和楼DH之间的距离HF为90米，楼EF的高度为12米，从楼EF的E处测得楼DH的D处的仰角为30°，AB∥HF．(点A、B、C、D、E、F、H在同一平面内)．(参考数据：3≈1.73)(1)求楼DH的高度；(2)求此时无人机距离地面HF的高度．4(2023秋·海南海口·九年级校考期末)脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得尾顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走6m 到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF=12m，EF∥CB，AB交EF于点G(点C，D，B在同一水平线上)．(参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，3≈1.7)(1)求屋顶到横梁的距离AG；(2)求房屋的高AB(结果精确到1m)．5(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为1003米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°(点A、B、C、D、P在同一平面内，参考数据：3≈1.732,2≈1.414)．(1)填空：∠ADP=度；(2)求楼CD的高度；(3)求此时无人机距离地面BC的高度(结果精确到1米)．【类型二不含特殊角的非直角三角形】1(2023秋·全国·九年级专题练习)如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角(锐角)为∠1，则tan∠1=．【变式训练】1(2023·江苏宿迁·统考中考真题)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC=．2(2023·全国·九年级专题练习)如图，△ABC的三个顶点都在边长是1的小正方形的顶点上，则tan∠BAC=．3(2023春·浙江杭州·九年级专题练习)在△ABC中，AC=42，BC=6，∠C为锐角且tan C=1．(1)求△ABC的面积；(2)求AB的值；(3)求cos∠ABC的值．4(2023秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D 为BC的中点，DE⊥AC于点E，连接BE．已知DE=2.(1)若tan C=12，求AB的长度；(2)若∠C=30°，求sin∠BEA．5(2023·宁夏吴忠·校考二模)问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，求cos∠CPN的值．方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解获此类问题，比如连接格点M、N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中，问题解决：(1)求出图1中cos∠CPN的值；(2)如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求tan∠CPN的值．6(2023秋·全国·九年级专题练习)在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=1，∠A=α，求sin2α(用含sinα，cosα的式子表示)．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB的中点O，连接OC，过点C作CD⊥AB于点D，则∠COB=2α，然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC，BC，在Rt△ACD中表示出CD，则可以求出sin2α=CDOC =sinα⋅AC12=sinα⋅cosα12=2sinα⋅cosα．阅读以上内容，回答下列问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1．(1)如图3，∠ACB=90°，AB=1，若BC=12，则sinα=，sin2α=；(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式(用含sinα，cosα的式子表示)．【类型三“独立”型】1(2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习)如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度AB，无人机在离教学楼底部B处16米的C处垂直上升31米至D处，测得教学楼顶A处的俯角为39°，则教学楼的高度AB约为米．(结果精确到0.1米)【参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81】【变式训练】1(2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习)如图，AB是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端B沿水平方向向左走8米到达点C，沿坡度i=1:2(坡度i=坡面铅直高度与水平宽度的比)斜坡走到点D，再继续沿水平方向向左走40米到达点E(A、B、C、D、E在同一平面内)，在E处测得建筑物顶端A的仰角为34°，已知建筑物底端B与水平面DE的距离为2米，则建筑物AB的高度约是(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)()A.27.1米B.30.8米C.32.8米D.49.2米2(2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习)如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为米；3如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手B 离地面高度AB 为1.5m ，风筝飞到C 处时的线长BC 为30m ，这时测得∠CBD =53°，求此时风筝离地面的高度．(精确到0.1m ，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)【类型四“背靠背”型】1(2023春·山东青岛·九年级统考开学考试)科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西67°方向行驶4千米至B 地，再沿北偏东23°方向行驶一段距离到达古镇C ，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求B ，C 两地的距离(结果保留整数)(参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，sin23°≈513，tan23°≈512)．【变式训练】1(2023春·江苏南通·九年级校考阶段练习)如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行302km 至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为km ．2(2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期中)某校举办以“测量”为主题的数学实践活动，该校数学兴趣小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示，无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为30°，E测得大楼顶部D的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D的俯角为60°．已知A、C两点在同一水平线上．(1)填空：∠DBE=度，∠BED=度；(2)求A、C两点间的距离：(结果保留根号)(3)求这座大楼CD的高度．(结果保留根号)3(2023·黑龙江大庆·统考一模)如图，某无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得教学楼BC顶端点C处的俯角为45°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离为57米．(点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号)(1)填空：∠ADC=度，∠BCD=度；(2)求此时无人机与教学楼BC之间的水平距离BE的距离；(3)求教学楼BC的高度．【类型五“叠合”型】1(2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习)文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进12m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔的高度．(结果精确到1m，参考数据：，，，．)【变式训练】1(2023秋·山东聊城·九年级聊城市实验中学校考阶段练习)如图，小明为了测量小河对岸大树BC 的高度，他在点A 测得大树顶端B 的仰角为45°，沿斜坡走352米到达斜坡上点D ，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF 的坡比为1:2，E ，A ，C 在同一水平线上．(1)求小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度．(2)大树BC 的高度约为多少米?(参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)2(2023·江苏苏州·校考二模)如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为，已知为米，且、、三点在同一条直线上．(1)求平房的高度；(2)请求出古树的高度．(根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计)【类型六“斜截”型】1(2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习)如图，在南北方向的海岸线上，有A ，B 两艘巡逻船，现均收到故障船C 的求救信号，已知A ，B 两船相距海里，船C 在船A 的北偏东方向上，船C 在船B 的东南方向上，上有一观测点D ，测得船C 正好在观测点D 的南偏东方向上．(1)求出A与C之间的距离．(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？(参考数据：，)【变式训练】1(2023·内蒙古·统考中考真题)某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度(结果精确到1米，参考数据：)．2(2023春·江苏苏州·九年级统考期中)如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东30°方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．(1)求出此时点A到港口C的距离(计算结果保留根号)；(2)若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶去，当到达点A 时，测得港口B在A 的南偏东75°的方向上，求此时渔船的航行距离(计算结果保留根号)．。