第十一章 概率论初步

第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
11.1.3 处理随机问题的思路
决定随机问题可能性的大小的方法： 重复试验（工程中常用）：如某商场摇奖、次品统计、抛硬币等。 逻辑推断：如100个一样大小的球，其中95个是红色的，5个是白 色的，放入袋中，抽出一个，抽到白球的可能性。 主观判断：如下一个月羊毛衫市场情况。
第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
盒子里放有编号为1，2，3，4，5的5个球。如果从盒 子里任取一球，观察其编号后立即放回盒中，通常称 这种取法为放回抽样；如果随机的取得一球，检验后 不放回，则称这种取法为不放回抽样。现在做多次放 回抽样，各次取得的球的号数不一定相同，但每次取 得的球的号数是1，2，3，4，5中的一个数。 记录某查询台在上午8:00~9:00时接到的电话查询次数， 多次做这样的试验，在该时段内的查询次数不一定相 同，每次记录的查询次数是非负整数0，1，2……中的 一个数。 第十一章 概率论初步 数据、模型与决策 (第二版)
以上试验具有如下三个特点： 试验可以在相同的条件下重复进行。 每次试验的结果不止一个，并能事先明确试验的可能 结果。 试验前不能肯定哪个结果会发生。 通常把具有上述性质的试验称为随机试验，简称试验 在随机试验中，可能出现的结果，称随机事件，简称 为事件，通常用大写字母A,B,C,D…等表示。
第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
概念小结： 随机试验：试验在相同条件下可以重复进行；试验前 能明确所有可能的结果；试验前不能肯定哪个结果会 发生三个条件的试验。 随机事件：随机试验的结果，简称为事件。
基本事件：试验的每一个可能直接出现的结果。
样本空间：基本事件的全体形成的集合，常用Ω表示。 必然事件：每次试验一定发生的事件，也用Ω表示。


(AB)C=A(BC)

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分配律：
(A B)C=AC BC
(AB) C=(A C)(B C)
对偶律：
=

AB

=
A B
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AB
AB 数据、模型与决策 (第二版)
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从一批产品中每次取出一个产品进行检验，作不放回抽样，用Ai 表示事件“第i取到合格品”（i=1，2，3）。试用A1，A2，A3表 示下列事件：
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第三篇 数据分析基础
第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
第十一章 概率论初步
第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
学习目的
了解概率论的性质，能分辨不确定性的类型，并培养处理随机问 题的思想方法；理解随机事件的基本概念，熟练掌握其运算方法， 并会计算随机事件的概率；掌握条件概率的计算方法。
第十一章 概率论初步
不可能事件：每次试验一定不发生的事件，用Φ表示。
数据、模型与决策 (第二版)
11.2.2 随机事件的概率
概率的统计定义
定义1 在相同的条件下，重复进行n次试验，事件A发 生的频率稳定地在某一常数p附近摆动，且一般说来， n越大，摆动幅度越小，则称常数p为事件A的概率， 记做P(A)，即P(A)=p。
事件的和。事件A和事件B中至少有一个发生的事件，称为事件A 与事件B的和，记A B。





第十一章 概率论初步 数据、模型与决策 (第二版)
事件的积。事件A与事件B同时发生的事件，称为事件 A与事件B的积，记做A B或AB。 事件的差。事件A发生而事件B不发生的事件，称为事 件A与事件B的差，记做A—B。 事件的互不相容（互斥）。如果事件A与事件B不能同 时发生，即AB=φ，则称事件A与事件B互不相容（或 互斥）的。 事件的对立（互逆）。如果事件A与事件B满足A B=Ω， AB=φ，则称事件A与事件B互为对立事件，并称事件 A 第十一章 概率论初步 数据、模型与决策 (第二版) B是事件A的对立事件（或逆事件）。同样地，也称事 B
第十一章 概率论初步 数据、模型与决策 (第二版)
11.2.3 概率的基本性质
性质1：0≤P(A)≤1 (概率总小于1大于0)，P(Ω)=1(必然事件概率 为1)，P(φ)=0(不可能事件概率为0)。 性质2：若事件A与事件B互不相容，即AB=φ，则
P（A∪B）=P（A）+P（B）
第十一章 概率论初步
概率论在以下几个方面与其它数学课程不 同：
研究的现象更加接近日常生活 推理方法更加接近人类的真实思维模式 根据概率统计得出的结论：一个是告诉你将要发生的结果，再一 个是告诉你这个结果发生的可能性。实际上，它能够告诉你多种 可能的结果以及各种结果出现的可能性
第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
数据、模型与决策 (第二版)
第十一章 概率论初步
必然事件：在一定条件下必然要发生的事件，称为必然事件。 不可能事件：在一定条件下必然不发生的事件，称为不可能事件。
第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
基本事件：不能分解的最简单的随机事件称为 基本事件，称随机试验中每一可能的结果为一 个样本点，用ω表示。 样本空间：样本点的全体组成的集合称为该随 机试验的样本空间，记做Ω。 随机试验中任何一个事件就是样本空间的子集。 基本事件是由一个样本点组成的单元集，子集 Ω与φ分别称为必然事件和不可能事件。
11.1.1 概率论的性质 11.1.2 不确定性的类型 11.1.3 处理随机问题的思路
11.1.4 概率论的应用
第十一章 概率论初步
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11.1.1 概率论的性质
确定性现象 偶然现象 随机现象
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统计规律性：对随机现象的进行大量重复观察 时，随机现象出现的结果呈现出一定的规律性， 称之为统计规律性。 随机事件可以是具有属性性质的 随机事件可以是具有数量性质的 概率论是研究随机现象的统计规律性的数学学 科。它是一种从数量上描述偶然性、事件风险 第十一章 概率论初步 数据、模型与决策 (第二版) 的工具。
数据、模型与决策 (第二版)
第十一章 概率论初步
写出例1、例2中各个随机试验的样本空间，并 用其相应的基本事件表示事件：“取得的球的 号数大于2”；“接到的电话查询次数大于 40”。 解：例1中，每次取得的球的号数是1，2，3， 4，5中的一个数，所以共有5个样本点，取得 的球的号数为i这一样本点，记为ωi（i=1，2， 3，4，5），因此样本空间为Ω={ω1，ω2， 第十一章 概率论初步 数据、模型与决策 (第二版) ω3，ω4，ω5}。
这是因为
A B
P( A B) P( A) P( B)
P( A) P( B) 1
第十一章 概率论初步
P( A B)
93 90 85 0.98 100 100 100
P( A B) P( A) P( B) P( AB ) 数据、模型与决策 (第二版)
第十一章 概率论初步
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11.1.4 概率论的应用
工业方面 农业方面 日常生活方面
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第十一章 概率论初步
11.1 概率论方法概述 11.2 随机事件的运算及其概率 11.3 条件概率及重要公式
第十一章 概率论初步
三次都取得合格品；
三次中至少有一次取得合格品； 三次中有两次取得合格品； 三次中最多有一次取到合格品。
第十一章 概率论初步
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从一批灯泡中任取一个测试其使用寿命t（小时）。设事件A，B， C为：A={t|0≤t<1000}，B={t|500<=t<800}，C{t|t>750}。写 出 ，AB，B C，A C。
设事件A为“任取的一数是偶数”，求P（A）
设事件B为“任取的一数是5的倍数”求P（B）
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袋内装有5个白球和5个黑球，从中任取两球 设事件A为“取到的都是白球”，求P（A）。
设事件B为“恰取到一只黑球”，求P（B）。
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11.2 随机事件的运算及其概率
11.2.1 随机事件及其运算 11.2.2 随机事件的概率 11.2.3 概率的基本性质
第十一章 概率论初步
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11.2.1 随机事件及其运算
随机事件：在随机试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机 事件。
概率论所研究的现象具有以下性质： 在相同条件下会重复出现。 每次出现的结果具有多种可能性，且可以预期所有可能出现的结 果。 不能准确预测会出现何种结果。
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11.1.2 不确定性的类型
随机现象就是：在同样条件下，多次进行同一试验或调查同一现 象，所的结果不完全一样，而且无法准确地预测下一次所得结果 的现象
已知20件产品中有5件次品： 做放回抽样，每次随机地取到1件，共取三次
做不放回抽样，每次随机地取到1件，共取三 次。
求取出的3件都是正品的概率。
第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
设有一批产品共100件，其中有5件 次品，现从中任取50件，问：无次 品的概率是多少？ 在上例中，恰有两件次品的概率是 多少？
概率论中的事件是赋予了具体含义的集合，因 此，事件间的关系与运算可以按集合论中的集 合间的关系与运算来处理。
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事件的包含。如果事件A的发生必然导致事件B的发生，则称事 件B包含事件A，或称事件A被事件B包含，记做A B或 B A。 如果A B且B A，则称事件A与事件B相等，记做A=B。
概率的古典定义
定义2（概率的古典定义） 对于古典概型试验，如样 本空间所含的样本点总数为n，事件A所含的样本点个 m A包含的样本点个数 P( A) 样本点总数 数为m，则事件A的概率为 ，即： n
第十一章 概率论初步 数据、模型与决策 (第二版)
从1~10这10个自然数中任取一数： 求随机试验的样本空间。
明确在实际管理工作中运用概率统计的重要性，熟练掌握具体的 运算方法。
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11.1 概率论方法概述 11.2 随机事件的运算及其概率 11.3 条件概率及重要公式
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11.1 概率论方法概述
随机现象这种结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素 影响所造成的
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不确定性问题分为以下两种类型： 第一类：可以预期的结果有几个，但具体的结果不确定。 第二类：结果确定，但由于信息不够，而不知是什么结果。
第一类称为随机问题，第二类称为模糊问题。
完备事件组： 如果n个事件A1，A2，…，An，满足：
AiAj=φ（1<=i<j<=n）
A1 A2 … An=Ω
则称A1，A2，…，An构成一个完备事件组。
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数据、模型与决策 (第二版)
交换律： A B=B A AB=BA 结合律：

(A B) C=A (B C)
数据、模型与决策 (第二版)
100个产品中有93个产品长度合格，90个产品重量合格，其中长 度和重量都合格的有85个。现从中任取1产品，记A=”产品长度 合格”，B=”产品重量合格”，有：
而
=“产品的长度，重量至少有一个合格”的概率：
，显然不会等于 ，而是： 93 90 85 P( A) , P( B) , P( AB ) 100 100 100
甲乙二人射击时，若A=“甲命中目标”的概率为0.5，B=“乙命 中目标”的概率为0.6，AB=“甲乙都命中目标”的概率为0.3， 则 =“甲乙二人至少有一人命中目标”的概率为：