概率论期末测试

2008-2009年度第二学期概率论与数理统计测试题

1．根据以往的考试结果分析，努力学习的学生中有90%的可能考试及格，不努力学习的学生中有90%的可能考试不及格．据调查，学生中有90%的人是努力学习的，试问： ⑴ 考试及格的学生中有多大可能是不努力学习的人？(5分)

⑵ 考试不及格的学生中有多大可能是努力学习的人？(5分)

2. 设随机变量X 服从区间)6,1(上的均匀分布，求一元二次方程012=++t X t 有实根的概率；(10分)

3．设X 与Y 是独立同分布的随机变量，它们都服从均匀分布(0,1)U 。试求 Z X Y =-的分布函数与概率密度函数；(10分)

4．设X 的密度函数为),(,21)(∞+-∞∈=-x e x f x

① 求X 的数学期望EX 和方差DX ；(10分)

② 求X 与X 的协方差和相关系数，并讨论X 与X 是否相关？(10分)

③ 问X 与X 是否相互独立？说明理由。(10分)

5. 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是`一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。某天售出300只蛋糕。求收入至少400元的概率；(10分)

6．设总体X 的概率密度为(1)01()0x x f x θ

θ⎧+<<=⎨⎩其它，其中1θ>-是未知参数，12,,,n X X X 为一个样本，试求参数θ的矩估计量和最大似然估计量。

7．已知X 的概率分辨为 21012320.132i X

p a a a a a

-- ，试求： （1）常数a ；(2分) （2）21Y X =-的概率分布。(5分)

4．设X 的密度函数为),(,21)(∞+-∞∈=-x e x f x

① 求X 的数学期望EX 和方差DX ；(10分)

② 求X 与X 的协方差和相关系数，并讨论X 与X 是否相关？(10分)

③ 问X 与X 是否相互独立？说明理由。(10分)

8． 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为+∞

<<-∞+∞<<∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=y x y C x B A y x F ,2arctan 2arctan ),(其中A , B , C 为常数.

(1) 确定A , B , C (3分) (2)求X 和Y 的边缘分布函数；(6分)(3) 求P (X > 2) (4分)

9.某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实际生产的强度X 服N(μ,3.62 ).现从整批螺钉中取容量为36的样本,其均值为 5.68=x ,问：这批螺钉是否符合要求? 显著性水平为

5% (10分)