【数理方程】73一阶线性微分方程

dy 代入方程 P x y Q x 中： dx P x dx P x dx c x e c x e P x P x c x e
P x dx
Q x
即 c x Q x e
2 z sin 2 z 4 x C
将 z xy 代回,
所求通解为 2 xy sin( 2 xy ) 4 x C .
例4 用适当的变量代换解下列微 分方程: dy 1
dx
解

x y
dy du 则 1 dx dx
令 x y u,
代入原式:
du 1 1 dx u
如果把x看成自变量，把y看成因变 量，上式不是一阶线性方程； 反之：如把y看成自变量，把x看成因 变量,上式成为一阶线性方程：
解： dx
6x y 3 y x , dy 2y y 2
2
是一阶非齐次线性方程 先解对应齐次方程的通解，得：
x cy
3
设非齐次方程的通解为： x c( y ) y 3 ,
y 2 ln y c
dy y 2.求 的通解 . 3 dx x y
答案
1 3 x y cy 2
二、贝努利微分方程
dy 定义 形如： P x y Q x y dx 0,1 , 称为伯努利方程。
当 0 时，方程为一阶线性微 分方程。 dy P x y Q x dx
第三节 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程 贝努利微分方程 全微分方程
第七章
一、一阶线性微分方程
dy 1、 形如： P x y Q x dx
当 Q x 0 时，方程为一阶线性 齐次微分方程。
当 Q x 0 时，方程为一阶线性 非齐次微分方程。
dy 2、 齐次微分方程的通解： P x y 0 dx
ln y 2 ln x 1 ln c 2 y c x 1
非齐次通解为 y c x x 1
2
dy 2 c x x 1 c x 2 x 1 dx 5 dy 2y 代入方程 x 12 中得 dx x 1
例2
解
dy 4 求方程 y x 2 y 的通解. dx x
两端除以 y，得
1 dy 4 2 yx , y dx x
令z
y,
dz 4 2 z x2 , dx x
2 x x 2 4 解得 z x C , 即 y x C . 2 2
dx 将 x, dy
代回方程，
经整理得所求方程的通解：
1 2 x Cy y 2
3
补充作业
dy y 1.求 的通解. 2 dx 2 x y dy y 2.求 的通解. 3 dx x y
dy y 1.求 的通解 . 2 dx 2 x y
dx 2 x y dy y
dy y 经整理，得： 4, dx x 对应齐次方程的通解为：y=c x
.
非齐次方程的通解为：y=x(-4lnx+C)，
代入初始条件y(1)=1,得C=1， 因此，曲线弧方程为：y=x(1-4lnx)
例5： 求微分方程通解： dy 2 ( y 6 x) 2 y 0 dx
分 析：
所求曲线为 y 3( 2e
x
x 2 x 2).
2
.：设曲线弧y=f(x)满足下面方程，求： 例4 y=f(x) x 1 2 f ( t ) dt xf ( x ) x , f 1 1 0 2
解：两边求导，得：
1 1 f ( x ) f ( x ) xf ( x ) 2 x , 2 2
例3 用适当的变量代换解下列微 分方程: dy 1 y 2 dx x sin ( xy ) x 解 令 z xy ,
dz dy 则 y x , dx dx
dz 1 y y x( ) 2 dx x sin ( xy ) x
dz 1 则 dx sin 2 z
分离变量法得


Q x e
dx 6 x
6 ln x
P x dx
dx c

dx c

e
6 ln x
x e
dx c

x
6
6
x x dx c
6
1 8 x x c 8 1 2 6 x cx 8
1 1 2 6 则所求通解为 x cx y 8
c x x 1 c x 2 x 1 5 2 2 c x x 1 x 12 x 1
2
得 c x x 1 x 1
2
5 2
c x x 1
1 2
3 2 c x x 1 dx x 12 c 3
2 dx x 1

Q x e
5 2
P x dx
dx c


2 dx x 1 x 1 e dx c
e
2 ln x 1
2 ln x 1 x 1 e dx c
通解为 ye e
P x dx
n dx x 1

e x 1 e
x n

Q x e
P x dx
dx c

n dx x 1
dx c

e
n ln x 1

e x 1 e
x n x n
n ln x 1
dx c

x 1
n
e x 1 x 1
e dx c
x
n
dx c
x 1
n
x 1
n
e
x
c

例3 如图所示，平行于 y 轴的动直 3 y x ( x 0) 与 y f ( x ) 线被曲线 截下的线段PQ之长数值上等于阴影 部分的面积,求曲线 f ( x ) . 解

x
0
f x dx x y
3
y
Q
y x3
两边求导得
y y 3 x ,
2
P
y f ( x)
o
x
x
解此微分方程
2 dx ye C 3 x e dx dx
Ce
x
3 x 6 x 6,
2
由 y | x 0 0, 得 C 6,
分离变量法得
u ln( u 1) x C ,
将 u x y 代回,
所求通解为
y ln( x y 1) C ,
或 x C 1e y 1
y
dx 另解： 方程变形为 x y . dy
这是一个以y为自变量，以x为未知 函数的 一阶线性非齐次方程,已能 求解。
1
dz dy ,则 1 y dx dx
3） 化简为一阶线性微分方 程 dz 1 P x z 1 Q x dx
4） 解线性微分方程，求通 解，再把 z 换成 y
1
。
dy 6 y 2 例1 求微分方程 xy 的通解。 dx x

说
明
1）通解中的不定积分不再含有任意常数。 2）可直接用公式求通解，要牢记。
3）也可以按常系数变易法求通解。
求 c x 的过程 常系数变易法 ： y c x e
P x dx
dy P x dx P x dx c x e c x e P x dx
解 方程两边同除 y 1 dy 6 1 x 2 y dx x y
1 作变换 z y dz 1 dy 2 dx y dx
2
得
dz 6 z x dx x
Q x x
6 Px x
通解为 ze
P x dx 6 dx x
e

x e
2） 非齐次通解为 y c x e
P x dx
P x dx
3） 代入方程求出 c x Q x e
P x dx
dx c
4） 通解为 ye
P x dx

Q x e
P x dx
dx c
注
1) e
ln N
意
e
ln N
N
1 N
2) 在使用公式过程中，先 求指数 位置不定积分。
dy 例 2 求 x 1 ny e x x 1 n1 的通解。 dx dy n 解 方程化为 y e x x 1 n dx x 1
n n x Px Q x e x 1 x 1
1 步骤： 分离变量 dy P x dx y
两边积分

1 dy P x dx y
ln y P x dx ln c

y ce
P x dx
3、非齐次微分方程的通 解： 利用常系数变易法
步骤：1） 齐次通解为 y c e
c x Q x e
P x dx
P x dx
dx c
通解为 ye
P x dx

Q x e
P x dx
dx c

5 dy 2y 例1 求微分方程 x 12 的通解。 dx x 1 dy 2y 解法 1 齐次方程 0 dx x 1 dy 2dx 分离变量 y x 1 1 2 两边积分 dy dx y x 1
2
dx 2 x y dy y 2 P y , Q y 1 y
通解 x e
P y dy
Байду номын сангаасQ y e
P y dy
dy c

e
2 dy y
2 dy y y e dy c
河北联合大学课件
讲授内容
第一章 无穷级数
第二章 常微分方程 第三章 偏微分方程
第七章 微分方程
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 微分方程的基本概念 可分离变量的微分方程 一阶线性微分方程 几种可降阶的微分方程 二阶常系数线性微分方程 二维常系数线性微分方程组 微分方程的应用
当 1 时，方程也为一阶线性 微分方程。 dy P x Q x y 0 dx
当 0、 1 时，方程为非线性微分 方程。
解法：1）
两边同时除以 y ，则 dy y P x y 1 Q x dx

2） 作变换 : z y
5 2 5 2
2 x 1 x 1 x 1 dx c 1 2 2 x 1 x 1 dx c 3 2 2 2 x 1 x 1 c 3 2
1 2
3 2 2 通解为 y x 1 x 1 c 3
2
5 dy 2y x 1 2 dx x 1 5 2 解法 2 P x Q x x 1 2 x 1
通解为 ye e
P x dx