八年级数学下册 16.1 二次根式概念和性质课件 (新版)
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在实数范围内,负数没有平方根
a2 1
3 -2
2a 1
a
a 12
你能用魔法师变出的这些代数式 作为被开方数构造二次根式吗？
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3 在实数范围内有意义？
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式 在实数范围内有意义？
（1） 2x ； （2） 2x 5 ； （3） 3 x
的长,化简：
(a b c)2 (b c a)2
小结
1.二次根式的意义： aa 0
2.二次根式的性质：
性质1 a2 a a 0
性质2 a2 a (a 0)
aa 0,
a2 a 0a 0,
aa 0.
第二课时
复习
1、代数式 a a 叫 做0二次根式.
2、 a有意义的条件是 a . 0
2
4=
4
；
2
9=
9
；
2
16 =
16 ；
2
（2） a
a, (a 0) .
问题
当 为a 实数时, 与a2有什a么关系？
a
3
1
2 3
0
2 3
1
3
a2 3 1
2 3
0
2 3
1
3
a
31
2 3
0
2 3
13
a2 a
aa 0, a2 a 0a 0,
aa 0.
例题2 求下列二次根式的值： 1 3 2;
2 x2 2x 1, 其中 x 3;
3 x2 2 x2 x 2.
当x分别取下列值时， 求二次根式 4 2x 的值：
(1) x=0 (2) x=1 (3) x=‐1 变式练习:若二次根式 x2 的值为3，
求x的值.
aa 0, a2 a 0a 0,
aa 0.
例题3 设 、a 、b 分c别是三角形三边
36 36
9 9
问题1 下列等式一定成立吗？为什么？
ab a • b
a a bb
二次根式的性质：
性质3 ab a • b a 0,b 0.
性质4 a a a 0,b 0.
bb
问题2 18 与 3 相2 等吗？为什么？
观察思考：
18 与 3 2 相等吗？为什么？
18 9 2
32 2
1、求一求 ：说出下列各式的结果；
16 , 81, 0 , 1 , 10 4 , 0.04 ; 49
上式中，被开方数分别是什么数？
2、 a 表示什么？ 表即示:a 正0 数或 0 的算术平方根
被开方数是非负数
16.1 二次根式
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10 ,
0.044,,
aa22 ,
5,
aa ,,
3 8.
定义：式子 a (a 0)叫做二次根式.
其中a叫做被开方式.
不要忽略
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1 ) 3 2, ( 2 ) 6 , ( 3 ) 1 2, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， ( 6 ) a2 1 , ( 7 ) 3 5
3、当x 时53， 5在x 实3数范围内有意义. 4、当x 时0， 在实1x 数范围内有意义.
5、 2 2 2
6、 m 22 m 2
想一想
下列等式一定成立吗？为什么？
1 4 9, 4 9
2 16 25; 16 25
3 1 36; 1 36
4 4 ; 4
25 25
5 49 ; 49 ; 6 4 ; 4
3 2
一般来说，如果二次根式里被开方数是 几个因式的乘积,其中有的因式是完全 平方式，则可用它的非负平方根代替后 移到根号外面.即：
18 2 32 3 2
一般地,设 a 0,b那么0,
ab2 a • b2 b a
想一想
如果 a 0, b那么0下,式能否成立？
ab2 b a （ ）
ab2 a • b2 b a b a
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
(5) x3
x0
(6)
1 x2
x0ຫໍສະໝຸດ Baidu
x0
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数为非负数； ②分母中有字母时，要保证分母不为零.
a; a ; 1 aa
也a就（是a≥说0），表示a（非a≥负0数）a是的一算个术非平负方数根，． 它的平方等于a． 即有如下基本性质：（1） a≥0（a≥0）；
的取值范围,从而正确化简.
a b
a•b b•b
ab b2
bab（ a 0,b） 0
ab2 a • b2 b a（ a 0,b） 0
问题3
3 8
与
46相等吗？为什么？
3 8
32 82
6 42
6. 4
一般地,设 a 0,b那么0,
a b
a•b b•b
ab b2
ab . b
ab2 b a （ a 0,b） 0
（被开方数所含的完全平方因式移到根号外）
a b
ab . b
（
a
0, b）
0
（化去被开方数的分母）
把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到
根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为“化简
二次根式”.
通常把形如 m a(的a 式 0子) 也叫做二次根式,
如
3 等2., 2a b2 1
例题1 化简二次根式: 1 72; 2 12a3;
3 18x2 x 0.
注意判断根号 内字母的取值 范围，
例题2 化简二次根式:
1 a;
3
2 5 ;
2x
3 b2 b 0;
9a
4 a 1.
a
注意判断根号内 字母的取值范围，
写出下列等式成立的条件：
1 (x 2)(x 6) x 2 x 6
2 y 2 y 2
6 y 6 y
小结
1.掌握化简二次根式的两个基本步骤:
⑴ 将二次根式中的分母化去;
⑵ 把二次根式中所含的完全平方因式移
2.到在根化号简外二.次根式时,要注意判断根号内字母
a2 1
3 -2
2a 1
a
a 12
你能用魔法师变出的这些代数式 作为被开方数构造二次根式吗？
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3 在实数范围内有意义？
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式 在实数范围内有意义？
（1） 2x ； （2） 2x 5 ； （3） 3 x
的长,化简：
(a b c)2 (b c a)2
小结
1.二次根式的意义： aa 0
2.二次根式的性质：
性质1 a2 a a 0
性质2 a2 a (a 0)
aa 0,
a2 a 0a 0,
aa 0.
第二课时
复习
1、代数式 a a 叫 做0二次根式.
2、 a有意义的条件是 a . 0
2
4=
4
；
2
9=
9
；
2
16 =
16 ；
2
（2） a
a, (a 0) .
问题
当 为a 实数时, 与a2有什a么关系？
a
3
1
2 3
0
2 3
1
3
a2 3 1
2 3
0
2 3
1
3
a
31
2 3
0
2 3
13
a2 a
aa 0, a2 a 0a 0,
aa 0.
例题2 求下列二次根式的值： 1 3 2;
2 x2 2x 1, 其中 x 3;
3 x2 2 x2 x 2.
当x分别取下列值时， 求二次根式 4 2x 的值：
(1) x=0 (2) x=1 (3) x=‐1 变式练习:若二次根式 x2 的值为3，
求x的值.
aa 0, a2 a 0a 0,
aa 0.
例题3 设 、a 、b 分c别是三角形三边
36 36
9 9
问题1 下列等式一定成立吗？为什么？
ab a • b
a a bb
二次根式的性质：
性质3 ab a • b a 0,b 0.
性质4 a a a 0,b 0.
bb
问题2 18 与 3 相2 等吗？为什么？
观察思考：
18 与 3 2 相等吗？为什么？
18 9 2
32 2
1、求一求 ：说出下列各式的结果；
16 , 81, 0 , 1 , 10 4 , 0.04 ; 49
上式中，被开方数分别是什么数？
2、 a 表示什么？ 表即示:a 正0 数或 0 的算术平方根
被开方数是非负数
16.1 二次根式
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10 ,
0.044,,
aa22 ,
5,
aa ,,
3 8.
定义：式子 a (a 0)叫做二次根式.
其中a叫做被开方式.
不要忽略
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1 ) 3 2, ( 2 ) 6 , ( 3 ) 1 2, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， ( 6 ) a2 1 , ( 7 ) 3 5
3、当x 时53， 5在x 实3数范围内有意义. 4、当x 时0， 在实1x 数范围内有意义.
5、 2 2 2
6、 m 22 m 2
想一想
下列等式一定成立吗？为什么？
1 4 9, 4 9
2 16 25; 16 25
3 1 36; 1 36
4 4 ; 4
25 25
5 49 ; 49 ; 6 4 ; 4
3 2
一般来说，如果二次根式里被开方数是 几个因式的乘积,其中有的因式是完全 平方式，则可用它的非负平方根代替后 移到根号外面.即：
18 2 32 3 2
一般地,设 a 0,b那么0,
ab2 a • b2 b a
想一想
如果 a 0, b那么0下,式能否成立？
ab2 b a （ ）
ab2 a • b2 b a b a
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
(5) x3
x0
(6)
1 x2
x0ຫໍສະໝຸດ Baidu
x0
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数为非负数； ②分母中有字母时，要保证分母不为零.
a; a ; 1 aa
也a就（是a≥说0），表示a（非a≥负0数）a是的一算个术非平负方数根，． 它的平方等于a． 即有如下基本性质：（1） a≥0（a≥0）；
的取值范围,从而正确化简.
a b
a•b b•b
ab b2
bab（ a 0,b） 0
ab2 a • b2 b a（ a 0,b） 0
问题3
3 8
与
46相等吗？为什么？
3 8
32 82
6 42
6. 4
一般地,设 a 0,b那么0,
a b
a•b b•b
ab b2
ab . b
ab2 b a （ a 0,b） 0
（被开方数所含的完全平方因式移到根号外）
a b
ab . b
（
a
0, b）
0
（化去被开方数的分母）
把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到
根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为“化简
二次根式”.
通常把形如 m a(的a 式 0子) 也叫做二次根式,
如
3 等2., 2a b2 1
例题1 化简二次根式: 1 72; 2 12a3;
3 18x2 x 0.
注意判断根号 内字母的取值 范围，
例题2 化简二次根式:
1 a;
3
2 5 ;
2x
3 b2 b 0;
9a
4 a 1.
a
注意判断根号内 字母的取值范围，
写出下列等式成立的条件：
1 (x 2)(x 6) x 2 x 6
2 y 2 y 2
6 y 6 y
小结
1.掌握化简二次根式的两个基本步骤:
⑴ 将二次根式中的分母化去;
⑵ 把二次根式中所含的完全平方因式移
2.到在根化号简外二.次根式时,要注意判断根号内字母