巧用割补法解题

四年级上册奥数讲义-第十一讲 割补法巧算面积-冀教版(无答案)

四年级第十一讲割补法巧算面积 ◆温故知新： 1. 用割补法把不规则图形变成规则图形计算面积。 2.正方形、等腰直角三角形、等边三角形、正六边形等已知图形分割成小块，与所求图形 面积相联系。 ◆练一练 1、在图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积。 2、图中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米。阴影部分的面积是多少平方厘 米？ ◆例题展示 例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。（单位：厘米）

练习1如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH。已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE AH 、都等于2厘米。求长方形EFGH的面积。 例题2如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。 请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？ 练习2如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，再连接大正方形的两条对角线。请问：图中阴影部分的面积总和 等于多少平方厘米？

例题3如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点。请问三角形MNP的面积是多少平方厘米？ 练习3 如图所示，正六边形ABCDEF的面积是36平方厘米，M、N、P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DE、EF、FA的中点。请问：阴影正六边形MNPQRS的面积是 多少平方厘米？ 例题4 如图，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点。 已知图a中阴影部分的面积是294平方分米。请问：图b中阴影部分的面积 是多少平方分米？

中考专题待定系数法应用

知b 的值”，解答此题，只需设定==k，则a=3k，b=2k，代入即可求解。这 ( “· ； ， 中考专题之：待定系数法 在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数或参数)来表示 这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在中考中有着广泛应用。 应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。 比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：已知x2-3=（1-A）x2 ＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C就是有待于确定的系数。 代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，﹣3）在正比例 函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k 的值，从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。 消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已2a-b b2a-b =，求 a3a+b a3a+b 里的k就是消除的待定参数。 应用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式； （2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组） （3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。 在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过中考的实例探讨其应用。 一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组）解出方程（组）即可求得答案。 典型例题： 例：若x2+6x+k是完全平方式，则k=【】 A．9B．－9C．±9D．±3 练习题： 1.已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于【】 A．64B．48C．32D．16

巧用图解法解题

巧用图解法（画线段图解答） 例1、水果店卖的苹果有6箱，卖的橙子的箱数是苹果的4倍。水果店卖的苹果和橙子一共有多少箱？ 画线段图： 解法一，橙子的箱数： 6 × 4 ＝ 24（箱） 苹果和橙子共有多少箱： 6 ＋ 24 ＝ 30（箱） 解法二，苹果和橙子一共的份数： 1 ＋ 4 ＝ 5（份） 苹果和橙子共有多少箱： 6 × 5 ＝ 30（箱） 练习。 1、校园里有25棵杨树，柳树的棵树是杨树的3倍，校园里杨树和柳树一共有多少棵？ 2、文具店里1本笔记本8元，一个书包的价钱是1本笔记本的8倍，一个书包比一本笔记 本贵多少元？ 3、学校开运动会，二年级报名参加跳高的有12人，报名参加跳远的人数是报名参加跳高 人数的3倍。二年级报名参加跳高、跳远的一共有多少人？ 例2、动物园里白熊和黑熊共36只，白熊的只数是黑熊的3倍。动物园里的白熊、黑熊各有多少只？ 画线段图： 黑熊的只数： 36 ÷（ 1 ＋ 3 ）＝ 9（只） 白熊的只数： 9 × 3 ＝ 27（只） 和倍问题的解答规律是： 和÷（倍数＋ 1 ）＝小数小数×倍数＝大数 练习。 1、买1件上衣和1条裤子一共要100元，上衣的价钱是裤子的4倍。1件上衣、1条裤子 各多少元？ 2、一本书有72页，小华分两天看完。第二天看的页数是第一天的5倍。小华第一天、第 二天各看了多少天？ 3、买1把小刀和1个订书机一共20元，1个订书机的价钱是1把小刀的9倍，小刀和订书 机各多少元？

例3、一辆大客车上坐的人数是一辆小轿车上坐的人数的9倍，比小轿车多坐24人，一辆大客车和一辆小轿车各坐多少人？ 画线段图： 小轿车上坐的人数： 24 ÷（ 9 － 1 ）＝ 3（人） 大客车上坐的人数： 3 × 9 ＝ 27（人） 解答差倍问题的规律是： 差÷（倍数－ 1）＝小数小数×倍数＝大数 练习。 1、今年爷爷比大强大56岁，爷爷的岁数是小强的8倍。今年小强和爷爷各多少岁？ 2、刘伯伯家养的鸡比鸭多75只，养的鸡的只数是鸭的6倍。王伯伯养的鸡和鸭各有多少 只？ 3、一只篮球比一只哨子贵27元，一只篮球的价钱是一只哨子的10倍。一只篮球与一只哨 子各卖多少元？ 例4、学校共有排球和足球28个，排球比足球多4个，排球与足球各有多少个？ 画线段图： 解法一，排球的个数：（ 28 ＋ 4 ）÷ 2 ＝ 32 ÷ 2 ＝ 16（个） 足球的个数： 16 － 4 ＝ 12（个）或 28 － 16 ＝ 12（个） 解法二，足球的个数：（ 28 － 4 ）÷ 2 ＝ 24 ÷ 2 ＝ 12（个） 排球的个数： 12 ＋ 4 ＝ 16（个）或 28 － 12 ＝ 16（个） 解答和差问题的方法是： （1）（和＋差）÷ 2 ＝大数（2）（和－差）÷ 2 ＝小数 大数－差＝小数小数＋差＝大数 练习。 1、大刚和小明共有小人书15本，大刚比小明多3本，大刚和小明各有小人书几本？ 2、明明和晨晨共有邮票38张，如果明明给晨晨4张，两人邮票的张数就会同样多。明明 和晨晨各有邮票多少张？

数学人教版九年级下册用割补法求坐标系中图形的面积

中考数学小专题复习 ----用割补法求坐标系中三角形的面积（教学设计） 广州市绿翠现代实验学校东陈云兰 【学习背景】 本学期我校初三数学中考总复习资料选用的是《三段六步专题设计》，“三段六步”指的是复习总结教学模式的一个实操性基本程序，三段是指回顾激活原有知识，思考重建认知结构、提取新知迁移巩固三个阶段。经过中考第一轮的基础复习，常会遇到在平面直角坐标系中求与三角形面积有关的综合题。为了能够更好地掌握此类题目的解题方法和解题技巧，特安排此节单课时专题复习课。目的是通过选取与任教班级学生学情相符的一些例题，通过典例分析和巩固练习，学会研究问题时把数和形结合起来考虑，利用割补的方法把一些不能直接计算的三角面积形转化成可以直接计算的三角形，从而求出相关的面积。 【学情分析】 本班学生是初二重新再分班后的第二层次，有一定的基础，但严重缺乏尖子生和自觉学习能力，每次考试均分在100±5分左右，120分以上的同学也就五六个。对最后三大题存在畏难情绪，尤其是对一些少见或稍难的题型，没有较好的解题思路去分析问题和解决问题，所以掌握一种最基础最常见的解题方法（割补法），学会在最后三题的第1，2问多拿分，以增强学生的信心和提升数学中考成绩。 【教学目标】 1、理解并会用割补法求平面直角坐标系中三角形的面积。 2、体会数学中的转化思想和数形结合思想。 【教学重点】 利用割补的方法求面积。 【教学难点】 具有一定的观察能力和化归能力 教学环节：

1、新课引入 例、已知点A（－3，0），点C（0，3），且点B的坐标为（－1，4），计算△ABC的面积。 B C A 2、探究割补（假设如果△ABC的某边和该边上的高无法从已知三点坐标直接求出，必须通过图形的割补，你有何解决方法？）

(完整版)活用割补法求面积1

在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 （2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面

（3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。 分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。

高中数学解题思路大全：用待定系数法求三角函数最值

用待定系数法求三角函数最值 武增明 用均值不等式求三角函数最值时，“各数相等”及“和（或积）为定值”是两个需要刻意凑出的条件，从何处入手，怎样拆项，如何凑出定值且使等号成立，又能使解答过程简捷明快，这确实既“活”又“巧”，对此问题，现利用待定系数法探析。 例1. 设x ∈（0，π），求函数x sin 22x sin y +=的最小值。 分析：拿到此题，很容易想到下面的解法。 因为 sinx ＞0， 所以2x sin 22x sin 2x sin 22x sin y =?≥+=。故y min =2。 显然，这种解法是错误的！错误的原因是没有考虑“=”号成立的条件。由 x sin 22x sin =得sinx=2，这样的x 不存在，故为错解。 事实上，此题是可以用均值不等式来解答的，但需要拆项，如何拆，既能使其积为定值，又能使“=”号成立，这确实是一个难点，笔者认为，待定系数法就能很好地解决这 个问题，为此，先引入一个待定系数λ（0＜λ＜2，使x sin 2x sin 2x sin y λ-+λ+=。由均值不等式及正弦函数的有界性，得λ-+λ≥λ-+λ?≥22x sin 2x sin 2x sin 2y 。 当且仅当x sin 2x sin λ=且sinx=1，即λ=21时，上式等号成立。将λ=21代入，得y min =2 5。 另解：y=)x sin 4x (sin 21+。 令sinx=t(0＜t ≤1＝，易证)t 4t (21y +=在（0，1]上单调递减，所以25)141(21y min =+=。 例2. 当x ∈(0，2π)时，求函数x cos 2x sin 36y +=的最小值。 分析：因为x ∈(0， 2 π)，所以sinx ＞0，cosx ＞0，引入大于零的待定系数k ，则函数x cos 2x sin 36y +=可变形为x cos 1x cos 1x sin k x sin 33x sin 33y 2++++=+kcos 2x －k ≥

巧用设k法解题

巧用设k 法解题 初中代数中经常遇到连等方程或有已知连等式、连续比例式的题，解决这类题型的最佳方法是设k 法。 例1. 解方程组?????==++++=++.4 32.51z y x z y x z y x 分析：方程组中第二方程是连等方程，可以设它为k. 解：设k z y x ===4 32，则k x 2= k y 3= k z 4=代入第一个方程，可得1959+=-k k ，两边平方后整理得关于k 的一元二次方程0833272=+-k k ，从而解得311=k 982=k .进一步得到???????===34132z y x 和???? ?????===93238916z y x .经验证???????===34132z y x 不符合题目要求，所以原方程组的解是???? ?????===93238916z y x 例2. 解方程2222 22c b a z y x c z z b y y a x x ++++=+=+=+. 分析：易知0===z y x 满足方程，且方程组中至少有一个为0，但又不全为0的解，即0≠xyz . 解：当0≠xyz ，取倒数得2222 22111z y x c b a z c y b x a ++++=+=+=+.等式两边同时减去1得12 222 22-++++===z y x c b a z c y b x a .设k z c y b x a ===得()()()22 22222222222k z y x zk yk xk z y x c b a =++++=++++.既得k k =-12.解之得251±=k .从而得到原

方程组的解为： () () () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ± - = ± - = ± - = 2 5 1 2 5 1 2 5 1 c z b y a x 和 ? ? ? ? ? = = = z y x .

割补法巧算面积

割补法巧算面积

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割补法巧算面积 知识精讲: 分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形 添补法:把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算 例题１ 图中的数字分别表示对应线段的长度,试求下面多边形的面积.（单位:厘米） 练习1 如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度(单位：米）．这个图形的面积等于多少平方 米？ 例题2 如图，在正方形AＢCD内部有一个长方形．EFＧH．已知正方形AＢＣD的边长是6厘米，图中线段AＥ、AＨ都等于２厘米.求长方形EFGH的面积. 练习2 正方形ＡBＣD的边长是8厘米，它的内部有一个三角形AEF(如图）,线段ＤＦ=3.6厘米，BE=２.８厘米,那么三角形AＥF的面积等于平方厘米. 例题3 如图中,大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形,将小正方形每边三等份,再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连,那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?

练习３. 1．如图所示,正方形ABCD的边长acｍ,则图中阴影部分的面积为ｃｍ2. 例题4. 如图1和图2,把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点.已知图１中阴影部分的面积是29４平方分米．请问：图2中的阴影部分的面积是多少平方分米？ 练习4 ７.如图所示,将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各取出其中的一份画上阴影,则阴影部分的面积占全部面积的几分之几？ 选做题 例5 如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形,如果正方形A的面积是３6平方厘米,那么正方形B的面积是多少平方厘米? 例6.

待定系数法分解因式(附答案)

待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。 内容综述 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。 本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。 要点解析 这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。 例1 分解因式 思路1 因为 所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。 解法1因为所以可设 比较系数，得 由①、②解得把代入③式也成立。 ∴ 思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。 解法2 因为所以可设

因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得 令得 解①、②得或 把它们分别代入恒等式检验，得 ∴ 说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。 例2 分解因式 思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。 解设 由恒等式性质有： 由①、③解得代入②中，②式成立。 ∴ 说明若设原式 由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式

在三角形中巧用面积法解题

在三角形中巧用面积法解题 所谓面积法是指借助图形面积自身相等的性质、可拆分的性质和可比的性质进行解题的一种方法。在中学阶段它是数学中一种常用的解题方法。并且具有解题便捷快速、简单易懂等特点。现分类举例如下,希望同学们在今后的做题中有所启发。 一、利用面积自身相等的性质解题 例1 如图，在直角三角形ABC 中，AB=13,AC=12,BC=5,求AB 边上的高AD 的长。 C A B D 例2 在A B C 中，AB ＞AC,BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，试判断BF 和CE 的大小关系，并说明理由。 D F C B E A 。 小结：利用一个图形面积自身相等的性质解题，就是从不同的角度使用面积公式来表示同一个图形的面积，列出等式求出未知的量。 二、利用面积的可比性解题 例3 如图，由图中已知的小三角形的面积的数据，可得A B C 的面积为 。 D C B A 小结：我们知道等底等高的两三角形的面积相等，等底不等高的两三角形面积的比等于其对应高的比，等高而不等底的两三角形面积的比等于其对应底的比。 三、利用面积的可分性解题 例 4 如图，已知等边三角 ABC ，P 为A B C 内一点，过 P 作 ,,,PD BC PE AC PF AB ABC ⊥⊥⊥ 的高为h.试说明P D P E P F h ++=。

A B C D P F E 小结：用面积的可分性解题，一般要将图形分成若干个小三角形，利用其整体等于部分之和建立关于条件和结论的关系式，从而方便快捷地解决问题。 现提供部分习题供同学们练习： 1、如图，已知A B C 和B D C ，AC 与BD 交于点ｏ，且直线AD ∥BC,图中四个小三角形的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，试判断2S 和4S 的大小关系，并说明理由。 D B A O C S4 S3 S1 S2 2、如图，四边形ABCD 中，对角线BD 上有一点O ，OB ：OD=3：2,S A O B =6,S C O D =1,试求S A O D 与S B O C 的面积比。 D A C B O 3、 如图，P 是等腰三角形ABC 底边BC 上的任一点，PE AB ⊥于E,PF AC ⊥于F ，BH 是等腰三角形AC 边上的高。猜想：PE 、PF 和BH 间具有怎样的数量关系？ B C 4、其它练习题见《培优竞赛新方法》112-116部分习题。

用割补法求面积

用割补法求面积 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

第25讲用割补法求面积 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。 例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 （2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 （3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。 分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。 分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4× 6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。 例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。 分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（见左下图）。 把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，C三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积是40厘米2，宽是40÷20=2（厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）÷2=9（厘米），从而乙正方形的面积为9×9=81（厘米2）。 练习22 1.求下列各图中阴影部分的面积：

中考数学待定系数法解题技巧

中考数学 待定系数法 知识梳理 对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称之为待定系数法． 使用待定系数法解题的一般步骤是： (1)确定所求问题含待定系数的解析式； (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程； (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 初中数学中，待定系数法主要用途如下： 典型例题 一、在求函数解析式中的运用 这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx ，k y x =，y=kx+b 的形式(其中k 、b 为待定系数，且k ≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=a x 2+bx+c(a 、b 、c 为待定系数)，y=a (x －h) 2+k(a 、k 、h 为待定系数)，y=a (x －x 1)(x －x 2)( a 、x 1、x 2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h 、k 、a 、c 、b 、x 1、x 2等待定系数． 【例1】 (05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式． 【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k ≠0)，把A(2，4)代入得4=2k ，∴k=2，∴y=2x ． 【例2】 已知y 与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式． 【分析】 y 与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为：1k y x = + (k ≠0)，然后把x=2，y=4代入，求出k 的值即得函数的解析式． 【解】 y 与x+1成反比例，∴可设1k y x =+(k ≠0)

备战2018版高考数学考试万能工具包第二篇考前必看解题技巧专题2.1巧用12个解题技巧

专题01 巧用12个解题技巧 技法一 特例法 从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等. 例1 (2017·山东卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b 2a ＜log 2(a ＋b ) B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b C.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2a D.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2a ▲方法点睛 1.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含字母或具有一般性结论的选择题. 2.特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理.第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解. 【变式训练】 1. 如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( ) A.3∶1 B.2∶1 C.4∶1 D.3∶1 2.函数f(x)=cos x·log 2|x|的图象大致为( ) 3.如图,点P 上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A 、上顶点B 分别作y 轴、x 轴的平行线,它们相交于点C,过点P 引BC,AC 的平行线,分别交AC 于点N,交BC 于点M,交AB 于D 、E 两点,记矩形

PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2=( ) 技法二图解法(数形结合法) 对于一些含有几何背景的题目,若能“数中思形”“以形助数”,则往往可以借助图形的直观性,迅速作出判断,简捷地解决问题,得出正确的结果.Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等,都是常用的图形. 例2 (1)设向量a,b,c c)·(b-c)=0,则|c|的最大值等于( ) D.1 【答案】A 【解析】(1)解法一(几何法):如图点C在圆M上.当点C达到点 D时,|c|最大,|c|max选A.

割补法巧算面积

割补法巧算面积 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

割补法巧算面积 知识精讲： 分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形 添补法：把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算 例题1 图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米） 练习1 如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度（单位：米）．这个图形的面积等于多少 平方米 例题2 如图，在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH的面积． 练习2 正方形ABCD的边长是8厘米，它的内部有一个三角形AEF（如图），线段DF=厘米，BE=厘米，那么三角形AEF的面积等于平方厘米． 例题3

如图中，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等份，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米 练习3. 1．如图所示，正方形ABCD的边长acm，则图中阴影部分的面积为cm2． 例题4. 如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点．已知图1中阴影部分的面积是294平方分米．请问：图2中的阴影部分的面积是多少平方分米 练习4 7．如图所示，将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各取出其中的一份画上阴影，则阴影部分的面积占全部面积的几分之几 选做题 例5 如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米

五年级奥数：第22讲 用割补法求面积

五年级奥数：第22讲用割补法求面积在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。 例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。

（1）割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 （2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 （3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。

02 利用待定系数法因式分解和分式的拆分等

第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等 一、 方法技巧 1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了 多项式()()f x g x =的充要条件是：对于一个任意的x=a 值，都有()()f x g x =；或者两个多项 式各关于x 的同类项的系数对应相等． 2. 使用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）； （3）解方程（组），从而使问题得到解决. 例如：“已知()22 52x a x bx c -=-?++，求a ，b ，c 的值．” 解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a ，b ，c 的值．这里的a ，b ，c 是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法． 3. 格式与步骤: (1)确定所求问题含待定系数的解析式. 上面例题中，解析式就是：()2 2a x bx c -?++ (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程. 在这一题中，恒等条件是： 210 5a b c -=??=??=-? (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决. ∴10 5a b c =??=??=-? 二、应用举例 类型一 利用待定系数法解决因式分解问题 【例题1】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除. （1）求a ，b （2）分解因式：432237x x ax x b -+++ 【答案】（1） 12 6a b =-=和 （2）()() 4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+--- 【解析】 试题分析：

图解在解题中的妙用

巧用图解 解析生物题 山东省沂源四中 秦莉 256104 在选修本中有几个知识点学生不易区分，在做习题时经常混淆。但通过图解法进行分析，学生记忆深刻，领会透彻，效果较好。现举几例加以说明： 例1、 (1) 曲线a 表示的是化合物＿＿，在无光照时，其量迅速下降的原因［1］ ＿＿＿＿［2］＿＿＿＿。 (2) 曲线b 表示的是化合物＿＿，在二氧化碳浓度降低时，其量迅速下降 的原因［1］＿＿＿＿［2］＿＿＿＿。 (3) 可见光照强度和二氧化碳浓度的变化均影响光合作用的速度，前者主 要是影响光合作用的＿＿过程，后者主要是影响光合作用的＿＿过程。 图解释疑： 解析：由图解可以清晰的区分光反应、暗反应过程中物质、能量的变化及光反应与暗反应的联系――光是影响光反应的主要因素，无光时直接影响

的是光反应，因此为暗反应提供的［H ］和工A TP 都减少，它影响的是暗反应的B 过程（三碳化合物的还原），因此C5减少，但A 过程（二氧化碳的固定）仍在继续，所以C3增加；在暗反应中A 是二氧化碳的固定，二氧化碳的浓度大小是关键的制约因素。所以当二氧化碳浓度降低时，它直接影响A 过程，因此C3减少，而光反应的过程仍在进行，B 过程仍在继续，所以C5的含量增加。 答案：（1）五碳化合物［1］光反应产生的［H ］、A TP 的含量减少，CO 2 的还原受阻，使五碳化合物的再生量减少；［2］CO 2的固定仍继续进行，消耗三碳化合物（2）三碳化合物 ［1］CO 2 减少，生成的三碳化合物减少 ［2］CO 2 的还原仍继续进行，消耗三碳化合物 （3）光反应 暗反应 例2、将酵母菌离心后，得到上清液（含细胞质基质）和沉淀物（含细胞器）。把等量上清液、沉淀物和未离心的匀浆分别放到甲乙丙三支试管中。 甲（上清液） 乙（沉淀物） 丙（匀浆） 实验一：向3个试管中分别滴加等量的葡萄糖溶液，甲、乙、丙中的产物分别是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 实验二：向3个试管中分别滴加等量的丙酮酸，甲、乙、丙中的产物分别是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 实验三：在隔绝空气的情况下，重复实验一，则甲、乙、丙中的产物分别是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 H 2O ＋CO 2 B 、C 2H 5OH ＋CO 2 C 、乳酸 D 、无反应

小学奥数——用割补法求面积

小学奥数解析十三用割补法求面积 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。 例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角

（2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 （3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。 分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。 分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A与A′，B与B′

第 10 讲 待定系数法(高中版)

第 10 讲 待定系数法(高中版) （第课时） D 重点：1． ；2．；3．。 难点 ：1．；2．； 3．；。 其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。 待定系数法是中学数学常用的方法，它常用在求代数式的值、因式分解、恒等变形、求函数表达式、数列求和、求复数、求曲线方程等等方面。 使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，针对所求问题，确定含有待定系数的解析式；第二步，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组确定待定系数或者消去待定系数。确定待定系数的值常用比较系数法或特殊值法。 二次函数解析式有三种表达形式， 1．一般式：y=ax 2+bx+c ；其中 a≠0, a, b, c 为常数 2．顶点式：y=a(x-h)2+k ；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k ）为顶点坐标。 3．交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)；其中a≠0, a, x 1,x 2 为常数，x 1,x 2是抛物线与横轴两交点的横坐标。 每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点： 根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用顶点式；已知抛物线与x 轴的两个交点（或与x 轴的一个交点及对称轴），用交点式。 解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知条件先行直接确定某些系数。 若题目给定二次函数解析式的某种形式（如y=ax 2+ bx+c=0 (a≠0)），那么最后的结果必须写成此种形式。 1．待定系数法在求数列通项中的应用 例.（高三）数列{a n }满足a 1=1，a n = 21 a 1 n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。

备战高考数学考试万能工具包第二篇考前必看解题技巧专题21巧用12个解题技巧

专题01巧用12个解题技巧 技法一 特例法 从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等. 例1 (2017·山东卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b 2 a ＜log 2(a ＋ b ) B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b C.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2a D.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2 a ▲方法点睛 1.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含字母或具有一般性结论的选择题. 2.特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理.第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解. 【变式训练】 1. 如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( ) A.3∶1 B.2∶1 C.4∶1 D.3∶1 2.函数f(x)=cos x·log 2|x|的图象大致为( ) 3.如图,点P 为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A 、上顶点B 分别作y 轴、x 轴的平 行线,它们相交于点C,过点P 引BC,AC 的平行线,分别交AC 于点N,交BC 于点M,交AB 于D 、E 两点,记矩形

PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2=( ) A.1 B.2 C. D. 技法二图解法(数形结合法) 对于一些含有几何背景的题目,若能“数中思形”“以形助数”,则往往可以借助图形的直观性,迅速作出判断,简捷地解决问题,得出正确的结果.Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等,都是常用的图形. 例2 (1)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=,(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值等于( ) A.B. C. D.1 【答案】A 【解析】(1)解法一(几何法):如图,a=,b=,c=.由题意有∠AOB=,点C在圆M上.当点C达到点D时,|c|最大,|c|max=||+||=sin+cos=.选A.