四色定理

四色定理

四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。德·摩尔根（Augustus De Morgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。

基本介绍

四色问题又称四色猜想、四色定理是世界近代三大数学难题之一。地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里FrancisGuthrie的英国大学生提出来的。德·摩尔根Augustus De Morgan180618711852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。一个多世纪以来数学家们为证明这条定理绞尽脑汁所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。1976年美国数学家阿佩尔K.Appel与哈肯W.Haken宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明又为用计算机证明数学定理开拓了前景。

地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来的。四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行

发展历史：来自地图的启示

相传四色问题是一名英国绘图员提出来的此人叫格思里。1852年他在绘制英国地图的发现如果给相邻地区涂上不同颜色那么只要四种颜色就足够了。需要注意的是任何两个国家之间如果有边界那么其边界不能只是一个点否则四种颜色就可能不够。

格思里把这个猜想告诉了正在念大学的弟弟。弟弟认真思考了这个问题结果既不能证明也没有找到反例于是向自己的老师、著名数学家德·摩根请教。德·摩根解释不清当天就写信告诉自己的同行、天才的哈密顿。可是直到哈密顿1865年逝世为止也没有解决这个问题。从此这个问题在一些人中间传来传去当时三等分角和化圆为方问题已在社会上“臭名昭著”而“四色瘟疫”又悄悄地传播开来了。

问题的证明一波三折

1878年凯莱正式向伦敦数学会提出了这个问题。凯莱可是英国响当当的数学家他看中的问题必定不同凡响。消息传到了律师肯普的耳朵里引起了他的极大兴趣。不到一年肯普就提交了一篇论文声称证明了四色问题。人们以为事情到此就已经完结了。谁知到1890年希伍德在肯普的文章中找到一处不可饶恕的错误。

不过让数学家感到欣慰的是希伍德没有彻底否定肯普论文的价值运用肯普发明的方法希伍德证明了较弱的五色定理。这等于打了肯普一记闷棍又将其表扬一番总的来说是贬大于褒。真不知可怜的肯普律师是什么心情。追根究底是数学家的本性。一方面五种颜色已足够另一方面确实有例子表明三种颜色不够。那么四种颜色到底够不够呢这就像一个淘金者明明知道某处有许多金矿结果却只挖出一块银子你说他愿意就这样回去吗

接下去的戏就得由闵可夫斯基来演了。这里得说他几句好话他虽然没有成功可自认第一流倒也并非自不量力。要知道19世纪末20世纪初德国格丁根大学能成为世界数学中心就是由于他和希尔伯特、克莱因“三巨头”的努力。四色瘟疫在英国蔓延时还真没有一个研究过它的数学家比得上闵可夫斯基。

令闵可夫斯基尴尬的一堂课

19世纪末德国有位天才的数学教授叫闵可夫斯基他曾是爱因斯坦的老师。爱因斯坦因为经常不去听课便被他骂作“懒虫”。万万没想到就是这个“懒虫”后来创立了著名的狭义相对论和广义相对论。闵可夫斯基受到很大震动他把相对论中的时间和空间统一成“四维时空”这是近代物理发展史上的关键一步。

在闵可夫斯基的一生中把爱因斯坦骂作“懒虫”恐怕还算不上是最尴尬的事…… 一天闵可夫斯基刚走进教室一名学生就递给他一张纸条上面写着“如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色那么只需要四种颜色就足够了您能解释其中的道理吗”

闵可夫斯基微微一笑对学生们说“这个问题叫四色问题是一个著名的数学难题。其实它之所以一直没有得到解决仅仅是由于没有第一流的数学家来解决它。” 为证明纸条上写的不是一道大餐只是小菜一碟，闵可夫斯基决定当堂掌勺问题就会变成定理……

下课铃响了可“菜”还是生的。一连好几天他都挂了黑板。后来有一天闵可夫斯基走进教室时忽然雷声大作他借此自嘲道“哎上帝在责备我狂妄自大呢，我解决不了这个问题。”

缓慢的进展

当时由大数学家黎曼、康托尔、庞加莱等创立的拓扑学之发展可谓一日千里后来竟盖过大数学家高斯宠爱的数论成为雍容华贵的数学女王。四色问题就是属干拓扑学范畴的一个大问题。拓扑学不仅引进了全新的研究对象也引进了全新的研究方式。对数学来说它不啻是一场革命。回顾拓扑学的历史就可以说明为什么四色问题对于20世纪数学来说是重要的。通俗地说连续变换就是你可以捏、拉一个东西但不能将其扯破也不能把原先不在一起的两个点粘在一起。比如对于26个大写英文字母一些拓扑学家就认为可将其分成3类第一类ADOPOR 第二类B

第三类CEFGHlJKLMNSTUVWXYZ。

第一类在连续变换下都可以变成O第三类则都可变成I。

因为4是平面的色数它也是一种示性数可见示性数有很多种体现了平面的拓扑性质与国家的形状无关将平面弯成曲面也没关系。数学家必须确定这个数究竟是5还是4这很重要。如果国家分布在一个环面上画地图最多得要七种颜色。

吊起数学家胃口的还有一个原因。乍一看环面似乎更复杂事实上环面的七色定理却比较容易证明希伍德当时就做到了到1968年其他所有复杂曲面的色数均已确定唯有平面或球面的四色问题依然故我。看来平面没有人们想象的那么简单

1913年伯克霍夫引进了一些新的技巧导致1939年弗兰克林证明22国以下的地图都可以用四色着色。1950年温恩将22国提高为35。1968年奥尔又达到了39国。1975年有报道52国以下的地图用四色足够。可见其进展极其缓慢。

计算机帮助人们圆梦

不过情况也不是过分悲观。数学家希奇早在1936年就认为讨论的情况是有限的不过非常之大大到可能有10000种。对于巨大而有限的数最好由谁去对付今天的人都明白计算机。

从1950年起希奇就与其学生丢莱研究怎样用计算机去验证各种类型的图形。这时计算机才刚刚发明。两人的思想可谓十分超前。

1972年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改进。到1976年他们认为问题已经压缩到可以用计算机证明的地步了。于是从1月份起他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查历时1200个小时作了100亿个判断最终证明了四色定理。在当地的信封上盖“Four colorssutfice”四色足够了的邮戳就是他们想到的一种传播这一惊人消息的别致的方法。

人类破天荒运用计算机证明著名数学猜想应该说是十分轰动的。赞赏者有之怀疑者也不少因为真正确性一时不能肯定。后来也的确有人指出其错误。1989年黑肯与阿佩尔发表文章宣称错误已被修改。1998年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依赖于计算机。无论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了许多重要的新思维。

解决历程

四色猜想的诞生：地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie 的英国大学生提出来的。德·摩尔根Augustus De Morgan180618711852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。四色问题又称四色猜想是世界近代三大数学难题之一。