四色定理是求解最大值问题以及证明

四色定理是求解最大值问题以及证明

摘要：问题一：如果任何一个国家与它邻接区域或说国家的染色都是不同的时候，是不是任何两个邻接区域的颜色就是不同的？

问题二：两个国家的邻接区域还没有什么，但说到三个国家的时候，就有了不同，在其中一个国家看来，另外两个国家都与这个国家是邻接区域，但这两个国家之间有什么关系？一，这两个国家不是相互区域邻接；二，这两个国家是相互区域邻接。四色定理的证明可以从这两个问题出发。

正文：

虽然我们用计算机证明了四色定理，但正如汤米·R·延森和比雅尼·托夫特在《图染色问题》一书中问的：“是否存在四色定理的一个简短证明，……使得一个合格的数学家能在（比如说）两个星期里验证其正确性呢？”【1】

严谨版本的染色问题需要用到拓扑学的概念来定义，那么四色问题的论证是否一定需要拓扑学来证明呢？如果不用拓扑学用其他数学证明，算不算是证明了呢？

什么是四色定理？

四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。【1】

那么不用计算机能不能论证四色定理的成立呢？

先看一个问题，问题一：如果任何一个国家与它邻接区域或说国家的染色都是不同的时候，是不是任何两个邻接区域的颜色就是不同的？【2】答案是肯定的。这样四色问题就变成了：平面地图上，如果任何一个国家的邻接区域颜色都是不一样的，是不是只要四种颜色就可以全部描述？如果能够证明成立，那么四色定理就是

成立的。

证明如下：

问题二：两个国家的邻接区域还没有什么，但说到三个国家的时候，就有了不同，在其中一个国家看来，另外两个国家都与这个国家是邻接区域，但这两个国家之间有什么关系？一，这两个国家不是相互区域邻接；二，这两个国家是相互区域邻接。

这样三个或者三个以上国家的时候，区域邻接有两种关系：一种是，这个国家的所有的邻接区域国家都与这个国家是区域邻接的关系，但这些国家之间不是相互区域邻接的关系；【注：这里的相互区域邻接指的是完全相互区域邻接，有n个国家，就是n个国家之间是相互区域邻接的。其中一个国家与部分国家区域邻接不算。】二就是，这个国家的所有的邻接区域都与这个国家是区域邻接的关系，同时，这些国家之间还是相互区域邻接的关系。

首先，对不是相互区域邻接的关系的证明。

这一点在《四色定理非计算机的简短证明》中已经证明了，这里简单叙述一下。这里四色定理转化成数学就是函数求解最大值的问题。我们用函数可以解出最大值，论证四色定理的成立。证明：

第一，任何一个国家都是与n个国家相连接的，即与

一个国家相连接的国家个数有n个。n可以是

任意整数。任何一个国家都是占据一个颜色的。第二，这个国家与所有连接国家的关系：1，所有连接的国家组成闭合区域，2，所有连接的国家

没有组成闭合区域。

第三，任意选择一个国家，如果国家的邻接国家颜色都是不一样的，那么用于邻接国家的颜色的个

数与邻接国家的个数n有什么关系？a，当与

这个国家所有连接的国家组成闭合区域的时

候，所有连接的国家中任选一个为起点，闭合

的最后两个国家是接壤的。这样我们得出，当

n是1的时候，我们知道颜色只能是1. 当n

大于1是奇数的时候，需要的颜色是3；当n

大于1是偶数的时候，颜色是2.因为是偶数的

时候，n/2整除，两个颜色的话，最后结尾的

两个国家正好不相同；当是奇数的时候，由于，

不能被2整除，剩一，剩下的国家不论选择与

接头的国家相同还是与结尾的国家颜色相同，

都是颜色相同。所以需要第三种颜色。这样，

不论一个国家接壤的国家的个数是多少，与颜

色关系不大，决定颜色个数只与n是奇数还是

偶数有关。这样一个国家的周围接壤的国家的

颜色最多用三个颜色就可以标出来，加上这个

国家本身的颜色，就是四个。{这个国家本身的

颜色不能与任何一个接壤的国家的颜色相同。}

这样我们知道了一个国家与周围国家接壤的时

候，最多用四种颜色。b, 当与这个国家所有连

接的国家没有组成闭合区域的时候，当n是1

的时候，我们知道颜色只能是1。当n大于1

是奇数的时候，需要的颜色是2；当n大于1

是偶数的时候，需要的颜色也是2.此时颜色的

个数与n的个数无关，与n是奇数还是偶数无

关。因为，在所有接壤的国家中，一边的国家

与另一边的国家是不接壤的，所以只要任何两

个接壤的国家的颜色是不同的就可以，即只需

两个颜色。这样，加上这个国家本身的颜色，

就是三个。{这个国家本身的颜色不能与任何一

个接壤的国家的颜色相同。}这样，此时一个国

家与周围国家接壤的时候，最多用三种颜色。第四，通过一个国家与周围国家接壤的时候，周围接壤的国家是否闭合两种情形，我们得出：一个

国家与周围国家接壤的时候，最多用四种颜色，

任何一个国家的邻接区域颜色都是不一样的。第五，这样，无数个国家组成的一定平面内的地图中，

这个地图中任何一个国家都是与其他国家接壤

的，当任何一个国家都与周围接壤国家的颜色

不同的时候，那么这个区域内任何两个邻接区

域的染色都是不同的。

这样由于任何一个国家与它两个邻接区域的染色都是不同的时候，最多需要的染色是4种{周围国家3种，这个国家1种，即4种}，只要四种染色就可以使任何两个邻接区域的颜色是不同的，所以如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；或者说：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色

相同。即四色定理成立。

以上所需的简单数学公式为，任何一个国家与之接壤的国家个数x与需要颜色y的关系，y=f(X),

在a情形中，y=f(X)对应法则为，x=1,y=1;x大于1为奇数的时候，y=3; x大于1为偶数的时候，y=2.x 限域是正整数。y最大值是3.在b情形中，y=f(X)对应法则为，x=1,y=1；x大于1为奇数的时候，y=2; x大于1为偶数的时候，y=2. x限域是正整数。y最大值是2.

四色定理成立的公式为，y定，表示所需的颜色总数，y表示任何一个国家与之接壤的国家个数x与需要颜色y的关系，y定=y+1.y最大值为3，所以y定最大值是4.