第一讲 整数解问题

第一讲整数解问题

本讲主要涉及：整除性分析法、局部分解法、△完全平方数分析法、反客为主法、韦达定理消元法、穷举法等。

1.整数——整数（前一个指系数，后一个指根）

例1.p为自然数且关于x的方程：(k-1)x2-px+k=0有两个正整数解，求p的值。

例2、求x为何整数时，代数式9x2+23x-2可以分解为两个连续正整数的积。

例3、求使方程x2-pqx+p+q=0有整数根的所有正整数p和q。

例4、方程2x2-xy-3x+y+2012=0的正整数解共有几对。

例5、已知t=2-1,若正整数a,b,m,使(at+m)(bt+m)=17m成立，求ab的值。

2、有理数、实数——整数

例6、方程kx2+(k+1)x+k-1=0的根为整数，求实数k的值。

例7、试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0只有整数根。

3、整数——至少一个整数根、有理根

例8、关于x的方程：ax2+2(a-3)x+a-13=0至少有一个整数根，且a为非负整数，求a的值。

例9、当m为整数时，关于x的方程：（2m-1）x2-(2m+1)x+1=0是否有有理数根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由。

例10、已知a是正整数，如果关于x的方程x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0的根都是整数，求a 的值及方程的整数根。