郭锐-等比数列的前n项求和公式

自选课题：等比数列的前n项和

宜昌市夷陵中学郭锐

一、教学设计

1．教学内容解析

本节内容为现行人教A版《必修5》的第二章的核心内容，它在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，被纳入“选择性必修课程”的函数主题之中．

数列作为一类特殊的函数，既是高中函数知识体系中的重要内容，又是用来刻画现实世界中一类具有递推规律的数学模型．在现行教材的编排中，等比数列的前n项和处于等比数列的单元内容之中，是等比数列的概念与通项公式的后继学习内容，它在完善数列单元的知识结构体系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性等方面都是不可或缺，在提升学生探究、应用和实践能力等方面，有着不可替代的作用和价值．

课标要求：学生经历等比数列前n项和公式的探索过程，掌握等比数列前n项和公式及推导方法，并能进行简单应用．

等比数列前n项和公式的知识内容之所以被列为掌握层次，主要是因为它与函数、等差数列的内在联系，尤其是它在数学史上的历史印迹，以及探索过程中所蕴含的丰富的数学思想（如特殊到一般、类比、基本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等），所需要的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算素养，都能充分发挥数学的育人功能。

基于以上分析，本节课的教学重点为：等比数列前n项和公式的导出及其应用。

2.学生学情分析

本节课的授课对象为宜昌市夷陵中学高一年级实验班，夷陵中学是湖北省重点中学、省级示范高中，学生有较好的数学学科基础．从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的发现、特点等方面进行类比，这是积极因素，可因势利导．然而，本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，对学生的思维能力提出很高的要求．另外，对于q = 1这一特殊情况，运用公式计算时学生往往容易忽视．教学对象刚进入高一不久，虽然逻辑思维能也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，缺乏深刻的理性思考。

基于以上分析，本节课的教学难点为：等比数列前n项和公式的探究及其推导。

3. 教学目标设置

（1）学生通过课前自主查阅数学史料，课堂演绎历史短剧，了解等比数列前n项和公式的来龙去脉，感受前人严谨的治学精神，体验数学的魅力和数学文化的熏陶。

（2）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，掌握等比数列前n项和公式的不同推导方法，领悟公式的本质，并能运用公式解决简单问题。

（3）学生在经历等比数列前n 项和公式的发生、发展、推导和证明的过程中，感悟特殊到一般、方程与函数、划归与转化等数学思想，形成基本活动经验，重点提升数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养。

4. 教学策略分析

等比数列前n 项和公式是高中数学的重要内容，普遍采用的推导方法是带有技巧性的“错位相减法”，求和公式及其推导方法都是教材和教师直接“告知”，并非自然产生。有鉴于此，本节课追寻历史足迹，借鉴历史规律，揭示知识之谐，展现方法之美，引发情感之悦，营造不一样的课堂．“让学习真正发生”，首先在于教师有“让”的意识，本节课为了做到 “教师在后、学生在前”，教师先给充分的资料和空间让学生自学和互学，营造积极的探究氛围，在课堂上展开小组谈论和交流，碰撞出思想与智慧的火花。

教学流程：

5．教学过程设计

环节一：演史剧，发现等比数列提出问题

学生表演国际象棋的传说（棋盘丢麦粒问题）并设计如下问题串：

问题1：故事里每格棋盘上的麦粒依次构成一个什么数列？

生1：首项为1，公比为2的等比数列

问题2：铺满这64格棋盘需要的麦粒总数是多少？

生1：可以看成是首项为1，公比为2的等比数列的前64项和即2631222++++

师：2631222++++等于多少，逐项相加吗？ 生2：项数多，不太现实，我觉得可以和等差数列求和一样，从特殊到一般，找规律 师：如何找规律？请大家尝试一下.

生3：我是这么想的，计算出123451371531S S S S S =====，，，，，发现它们都是21n -的形式，因而我猜想646421S =-.

【设计意图】通过学生表演国际象棋的传说激发学生的兴趣和探究欲望，通过一系列的问题将故事情节与相关知识点联系起来，从情景中看到数学问题.通过结论的探求让学生学会研究陌生问题，可采用特殊到一般的方法入手。

情境性“问题串”设计要体现情景性，一般来说要具备三个要素：（1）涉及未知领域，能启动学生思维；（2）具有真实性，让学生觉得亲切、自然；（3）基于学生已有的知识水等比数列前n 项求和公式 猜公式 证公式 用公式

平.这样的问题情境能激发学生学习新知识的好奇心和求知欲，引发学生自主探究，让学生在解决问题中顿悟，提高学习新知的能力.

环节二：试猜想，提炼等比求和公式

师：若将公比变为q ，项数变为n ，你觉得211n q q q -++++的结果是？

生4：1n q -

生5：我觉得生4不对，很明显如果3q =，2n =时，结果就不对．

师：说明我们仅由2q =的猜想太过片面，为了使得结果具有更加说服性，请大家完成以下表格？

211333n X -=++++ 4 4 师：根据大家所填的表格，你能够猜想出结论吗？

生6：21111

n n q q q q q --++++=-L 师：大家都同意上述结果吗？有没有需要注意的地方？

生7：我觉得不能代表1q =时的求和公式，当1q =时，由于相同数的累加即为乘法，很容易得出结果为n .

师：若将首项改为1a ，你能计算出112111-++++=n n q a q a q a a S 的结果吗？

生8:可以观察发现每项都有1a 提取公因式1a 变为)1(121-++++=n n q q q a S 即可转化为刚刚的问题.

师：那么等比数列求和公式是什么？ 生9：：1=q 时数列的每一项都相等，11111na a a a a S n =++++= ，当1≠q 时， 112111-++++=n n q a q a q a a S 1)1()1(11

21--=++++=-q q a q q q a n n 师：我们可以将这两种情况写成什么样的形式？

生10：分段函数，即⎪⎩

⎪⎨⎧≠--==1,1)1(1,11q q q a q na S n n