等比数列前n项和公式ppt课件
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2
6.3.3 等比数列的前n项和公式
教学过程
❖ 创设情境、提出问题 ❖ 类比联想、推导公式 ❖ 例题选讲、变式强化 ❖ 拓展训练 、深化认识 ❖ 归纳总结、内化知识 ❖ 作业布置、强化知识
3
创设情境、提出问题
数学小故事
相传，古印度的舍罕王打算重赏国际 象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。 于是，这位宰相跪在国王面前说：
（1）已知
a1
4
,q
1 2
，求S10。
（2）已知 a1 1 , ak 243 , q 3 ，求Sk。
解:（1）
S10
a1(1 q10 ) 1 q
4[1 (1)10 ] 2
1 1
1023 128
2
（2）
Sk
a1 ak q 1 q
1 243 3 13
364
10
拓展训练 、深化认识
求数列1
1 2
,
2
1, 4
3
1, 8
4
1 16
,
的前n项的和.
解:
Sn
11 2
21 4
31 8
4 1 16
(n
1 2n
)
反思
(1
1) 2
(2
1) 4
(3
1) 8
(n
1 2n
)
111
1
(1 2 3
n)
( 2
4
8
2n
)
n(n 1) 2
1 2
[1 (1)n 2
1 1
]
n2 2
n
1
1 2n
2
分组求和
采用变式教学设计题组，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点
这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式， 11
让全体学生都参与教学，以此培养学生的wenku.baidu.com与意识和竞争意识．
选用公式、变用公式、理解内化
变式练习：求和
（1
1) (2 x
1 x2 )
(n
1 xn
)(
n
N
x
0）
该题有助于培养学生对含有参数的问题 进行分类讨论的数学思想． 训练学生注意考察q是否为1的情况，突破易错点。
(1)-(2) Sn qSn a1 anq 整理 (1 q)S n a1 anq
a a q 当q
1时，Sn
a1 anq 1 q
n
n1 1
Sn
a1(1 qn ) 1 q
当q 1时，Sn na1.
错位相减法
7
深化学生对公式的认识和理解：
等比数列的前n项和公
式当q 1时，
Sn
a1 anq 1 q
中职数学基础模块下册
第六章 数列
6.3.3 等比数列的前n项和公式 教学法
1
6.3.3 等比数列的前n项和公式
教学重点、难点
❖ 教学重点：等比数列前n项和公式的推导与应用。
❖ 教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导 所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和
方 法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学 思想，所以既是重点也是难点．
当q 1时， Sn na1.
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(1) a1, an , q, Sn 和各已知 a1, n, q, Sn
三个可求第四个。
(2)注意求和公式是qn，不要和通项公
式中的qn1混淆。
(3)注意q是否等于1，如果不确定，就要
分q 1和q 1两种情况讨论。
8
例题选讲:
针对知识点精选例题，初步掌握公式运用。
作业布置、强化知识：
必做： 课本P17-18 练习6.3.3 1.2题
选做：
等比数列中，S3
7 2
,
S6
623，求an。
必做题，有助学生课后巩固提高， 选作题是注意分层教学和因材施教， 让学有余力的学生有思考的空间
14
15
例1 .写出等比数列 1,-3,9，-27…的前n项和公式并求
出数列的前8项的和。
解：因为a1
1，q
3 1
3，所以等比数列的前
n项和公式为：
Sn
1[1 (3)n ] 1 (3)
1 (3)n 4
故
S8
1 （ 3）8 4
1640
9
变式强化： 深化对公式的理解与灵活运用，巩固强化。
课堂练习 1．求等比数列中，
S64 264 1 ＝18,446,744,073,709,551,615
这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产 的小麦的总和！
让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为
“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思
议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩
陛下，请您在这张棋盘的第一 个小格内，赏给我一粒麦子； 在第二个小格内给两粒，第三 格内给四粒，照这样下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这样摆满棋盘上所 有64格的麦粒，都赏给您的仆 人罢！
4
鼓励学生合作讨论， 通过自己的努力解决问题， 激发进一步深入学习的兴趣和欲望。
第1格： 1
第2格： 2
6
证思维能力的良好契机．
类比联想、 推导公式 一般地，设有等比数列： a1, a2 , a3,, an ,,
它的前n项和是： Sn a1 a2 a3 an. （1）
(1)的两边乘以q qSn a1q a2q a3q an1q anq.
由定义 qSn a2 a3 a4 an anq. （2）
12
归纳总结、内化知识
小结
当q 1时，
1、等比数列前n项和：
Sn
a1 anq 1 q
Sn
a1(1 qn ) 1 q
错
位 相 减
法
当q 1时，Sn na1.
2、注意选择适当的公式，必要是分情况讨论。
3、学会建立等比数列的数学模型，来解决实际问题。
归纳总结：鼓励学生自己总结，使自身的认知结构得以提高和发1展3 。
第3格： 22
第4格： 23
……
第63格： 262
第64格： 263
5
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？
1 2 22 23 262 263 ?
这实际上是求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和。
S64 1 2 22 23 263 2S64 2 22 23 263 264
6.3.3 等比数列的前n项和公式
教学过程
❖ 创设情境、提出问题 ❖ 类比联想、推导公式 ❖ 例题选讲、变式强化 ❖ 拓展训练 、深化认识 ❖ 归纳总结、内化知识 ❖ 作业布置、强化知识
3
创设情境、提出问题
数学小故事
相传，古印度的舍罕王打算重赏国际 象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。 于是，这位宰相跪在国王面前说：
（1）已知
a1
4
,q
1 2
，求S10。
（2）已知 a1 1 , ak 243 , q 3 ，求Sk。
解:（1）
S10
a1(1 q10 ) 1 q
4[1 (1)10 ] 2
1 1
1023 128
2
（2）
Sk
a1 ak q 1 q
1 243 3 13
364
10
拓展训练 、深化认识
求数列1
1 2
,
2
1, 4
3
1, 8
4
1 16
,
的前n项的和.
解:
Sn
11 2
21 4
31 8
4 1 16
(n
1 2n
)
反思
(1
1) 2
(2
1) 4
(3
1) 8
(n
1 2n
)
111
1
(1 2 3
n)
( 2
4
8
2n
)
n(n 1) 2
1 2
[1 (1)n 2
1 1
]
n2 2
n
1
1 2n
2
分组求和
采用变式教学设计题组，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点
这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式， 11
让全体学生都参与教学，以此培养学生的wenku.baidu.com与意识和竞争意识．
选用公式、变用公式、理解内化
变式练习：求和
（1
1) (2 x
1 x2 )
(n
1 xn
)(
n
N
x
0）
该题有助于培养学生对含有参数的问题 进行分类讨论的数学思想． 训练学生注意考察q是否为1的情况，突破易错点。
(1)-(2) Sn qSn a1 anq 整理 (1 q)S n a1 anq
a a q 当q
1时，Sn
a1 anq 1 q
n
n1 1
Sn
a1(1 qn ) 1 q
当q 1时，Sn na1.
错位相减法
7
深化学生对公式的认识和理解：
等比数列的前n项和公
式当q 1时，
Sn
a1 anq 1 q
中职数学基础模块下册
第六章 数列
6.3.3 等比数列的前n项和公式 教学法
1
6.3.3 等比数列的前n项和公式
教学重点、难点
❖ 教学重点：等比数列前n项和公式的推导与应用。
❖ 教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导 所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和
方 法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学 思想，所以既是重点也是难点．
当q 1时， Sn na1.
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(1) a1, an , q, Sn 和各已知 a1, n, q, Sn
三个可求第四个。
(2)注意求和公式是qn，不要和通项公
式中的qn1混淆。
(3)注意q是否等于1，如果不确定，就要
分q 1和q 1两种情况讨论。
8
例题选讲:
针对知识点精选例题，初步掌握公式运用。
作业布置、强化知识：
必做： 课本P17-18 练习6.3.3 1.2题
选做：
等比数列中，S3
7 2
,
S6
623，求an。
必做题，有助学生课后巩固提高， 选作题是注意分层教学和因材施教， 让学有余力的学生有思考的空间
14
15
例1 .写出等比数列 1,-3,9，-27…的前n项和公式并求
出数列的前8项的和。
解：因为a1
1，q
3 1
3，所以等比数列的前
n项和公式为：
Sn
1[1 (3)n ] 1 (3)
1 (3)n 4
故
S8
1 （ 3）8 4
1640
9
变式强化： 深化对公式的理解与灵活运用，巩固强化。
课堂练习 1．求等比数列中，
S64 264 1 ＝18,446,744,073,709,551,615
这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产 的小麦的总和！
让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为
“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思
议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩
陛下，请您在这张棋盘的第一 个小格内，赏给我一粒麦子； 在第二个小格内给两粒，第三 格内给四粒，照这样下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这样摆满棋盘上所 有64格的麦粒，都赏给您的仆 人罢！
4
鼓励学生合作讨论， 通过自己的努力解决问题， 激发进一步深入学习的兴趣和欲望。
第1格： 1
第2格： 2
6
证思维能力的良好契机．
类比联想、 推导公式 一般地，设有等比数列： a1, a2 , a3,, an ,,
它的前n项和是： Sn a1 a2 a3 an. （1）
(1)的两边乘以q qSn a1q a2q a3q an1q anq.
由定义 qSn a2 a3 a4 an anq. （2）
12
归纳总结、内化知识
小结
当q 1时，
1、等比数列前n项和：
Sn
a1 anq 1 q
Sn
a1(1 qn ) 1 q
错
位 相 减
法
当q 1时，Sn na1.
2、注意选择适当的公式，必要是分情况讨论。
3、学会建立等比数列的数学模型，来解决实际问题。
归纳总结：鼓励学生自己总结，使自身的认知结构得以提高和发1展3 。
第3格： 22
第4格： 23
……
第63格： 262
第64格： 263
5
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？
1 2 22 23 262 263 ?
这实际上是求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和。
S64 1 2 22 23 263 2S64 2 22 23 263 264