等比数列前n项和公式ppt课件
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等比数列的前n项和ppt课件
S15 210
例1 ： 求通项为 an = 2n + 2n -1 的数列的前n项和
解：设 bn = 2n , 且对应的前n项和为 S′ n
cn=2n-1 , 对应的前n项和为 S″n
则 an = bn ＋cn ，Sn = S′ n+ S″n
∴ S′ n = ∴ S″n =
2 ( 1–2n) 1–2
解：
（1） Sn = ( x + x2 + … + xn ) + (
1 y
+
1 y2
+
…
+
1 yn
)
当x=1时
Sn = n +
当x≠1时
1 y
(1-
1 yn
1-
1 y
Sn = x ( 1 - xn ) + 1-x
)
yn - 1
= n + yn+1 - yn
1 y
(1-
1 yn
)
1-
1 y
x ( 1 - xn )
这首古诗的答案是什么？
分析：这首古诗前三句给大家展现了一幅美丽的夜景，最后一句把
它变成了一个数学问题？你能用今天的知识求出这首古诗的答案吗？
数学建模：已知等比数列an ，公比q=2 n=7，S7=381求a1
解：设尖头有灯a1盏，则由题意得：
S7=
a1 a1q7 即 a1 a1 27 381
先求通项，再 分组求和法
∴ Sn a1 a2 …… an
(2 1) (22 1) …… (2n 1)
2 22 …… 2n n
2(12n ) 12
n
2n1 n 2
练习
例1 ： 求通项为 an = 2n + 2n -1 的数列的前n项和
解：设 bn = 2n , 且对应的前n项和为 S′ n
cn=2n-1 , 对应的前n项和为 S″n
则 an = bn ＋cn ，Sn = S′ n+ S″n
∴ S′ n = ∴ S″n =
2 ( 1–2n) 1–2
解：
（1） Sn = ( x + x2 + … + xn ) + (
1 y
+
1 y2
+
…
+
1 yn
)
当x=1时
Sn = n +
当x≠1时
1 y
(1-
1 yn
1-
1 y
Sn = x ( 1 - xn ) + 1-x
)
yn - 1
= n + yn+1 - yn
1 y
(1-
1 yn
)
1-
1 y
x ( 1 - xn )
这首古诗的答案是什么？
分析：这首古诗前三句给大家展现了一幅美丽的夜景，最后一句把
它变成了一个数学问题？你能用今天的知识求出这首古诗的答案吗？
数学建模：已知等比数列an ，公比q=2 n=7，S7=381求a1
解：设尖头有灯a1盏，则由题意得：
S7=
a1 a1q7 即 a1 a1 27 381
先求通项，再 分组求和法
∴ Sn a1 a2 …… an
(2 1) (22 1) …… (2n 1)
2 22 …… 2n n
2(12n ) 12
n
2n1 n 2
练习
等比数列的前n项和PPT课件
讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
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讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
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讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
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等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时，
①
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )
等比数列的前n项和公式课件
5 10
5
10
a1 an q Sn 1 q
'
所以
课堂小结
(1)等比数列的前n项和公式
a1 1 q n a1 an q Sn , q 1 1 q 1 q Sn na1 q 1
若m+n=p+q, 则aman=apaq
Sn
？
引入新课
张明和王勇是中学同学，张明学习成绩优异，考上 了重点大学。王勇虽然很聪明，但对学习无兴趣，中学 毕业后做起了生意，凭着机遇和才智，几年后成了大款。 一天，已在读博士的张明遇到了王勇，寒暄后王勇流露 出对张明清苦的不屑。表示要资助张明，张明说：“好 吧，你只要在一个月30天内，第一天给我1分钱，第二 天给我2分钱，第三天给我4分钱，第四天给我8分钱， 依此类推，每天给我的钱都是前一天的2倍，直到第30 天。”王勇听了，立刻答应下来心想:这太简单了。没 想到不到30天，王勇就后悔不迭，不该夸下海口。同学 们，你们知道王勇一共应送给张明多少钱吗？
1 4 1 2
的前8项的和．
解 由题意知,
Sn a1 1 q n 1 q
1 a1 , q 2
1 , n8 2
代入公式
8 1 1 1 2 2 255 S8 1 256 1 2
a1 , q, n, Sn
练习 紧接例1,补充两个小问 (1) 因为
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1
③
两边同时乘以 q 为
qSn a1q a1q a1q
2 3
a1q
n1
a1q
n
错 位 4 相 减
由③- 4 得
5
10
a1 an q Sn 1 q
'
所以
课堂小结
(1)等比数列的前n项和公式
a1 1 q n a1 an q Sn , q 1 1 q 1 q Sn na1 q 1
若m+n=p+q, 则aman=apaq
Sn
？
引入新课
张明和王勇是中学同学，张明学习成绩优异，考上 了重点大学。王勇虽然很聪明，但对学习无兴趣，中学 毕业后做起了生意，凭着机遇和才智，几年后成了大款。 一天，已在读博士的张明遇到了王勇，寒暄后王勇流露 出对张明清苦的不屑。表示要资助张明，张明说：“好 吧，你只要在一个月30天内，第一天给我1分钱，第二 天给我2分钱，第三天给我4分钱，第四天给我8分钱， 依此类推，每天给我的钱都是前一天的2倍，直到第30 天。”王勇听了，立刻答应下来心想:这太简单了。没 想到不到30天，王勇就后悔不迭，不该夸下海口。同学 们，你们知道王勇一共应送给张明多少钱吗？
1 4 1 2
的前8项的和．
解 由题意知,
Sn a1 1 q n 1 q
1 a1 , q 2
1 , n8 2
代入公式
8 1 1 1 2 2 255 S8 1 256 1 2
a1 , q, n, Sn
练习 紧接例1,补充两个小问 (1) 因为
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1
③
两边同时乘以 q 为
qSn a1q a1q a1q
2 3
a1q
n1
a1q
n
错 位 4 相 减
由③- 4 得
2.5等比数列前n项和公式的推导 PPT课件
• C．6
D．7
解析：an＝a1·qn－1＝96＝3·qn－1，∴qn－1＝32，Sn＝
a1－anq 1－q
＝31－－9q6q＝189，1－1－32qq＝63.解得q＝2.∴n＝6.
答案：C
• 3．已知等比数列{an}中，an>0，n＝1,2,3， …，a2＝2，a4＝8，则前5项和S5的值为 ________．
5, a1
1 2
.求an和s
n
(3)a1 1,an 512 ,sn 341 .求q和n
当q 1时，S 1 (1) 说明： 解 (3： ) (当将 代 12as因 解 )qq55入 a3为 2得 14aq11aa时a1： 2n1１1２n11q，即 1.n,21.并作 在 在4a1a,数an1a且 qn五 为 利2q311(列12q1要2个0n第 用n5为 n551根 变一 公 1q,,212常 25a1s据量 ,要 式14an所 1)1数12q具(a2素 ， 111以 .列 ,解 体,q81来 q2一Saqn2,1题2)n得 考 定n15，1,52意a虑 要 ， ： 12n22q，1，q,。 注 [11qS3nn选((中 ， 4意1得 311择12，))所 q1n代 2： 的 适(]只以 当 取 入 2知S)的值nn三S公， 1n可n式应 求a1。把二a1n1它，2aqnnq 可得
• 1．数列{2n－1}的前99项和为( )
• A．2100－1
B．1－2100
• C．299－1
D．1－299
解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×11－－2299＝299－1. 答案：C
• 2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96 ，Sn＝189，则n的值为( )
高中数学《等比数列前n项和公式》课件
反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列 的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计 算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n， 其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一 分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热 气球上升的高度能超过125 m吗？
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
a111－－qq2＝30，
①
所以a111－－qq3＝155，
②
两式作比，得1＋1＋q＋q q2＝361，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－65，
达标检测
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
1－xn
√
C.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n； 1－xn
当 x≠1 时，Sn＝ 1－x .
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
1234
2.设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于
A.2 解析
B.4
√C.125
17 D. 2
方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝aq2＋a2＋a2q＋
a2q2，得Sa42＝1q＋1＋q＋q2＝125. 方法二 ∵S4＝a111－－qq4，a2＝a1q，∴Sa42＝11－－qq4q＝125.
等比数列的前n项和公式课件
Sn an an1 a1
两式相加 而得 Sn
能否找到一 个式子与原 式相减能消 去中间项？
对于式子是否也能用倒序相加法呢？？
S30 1 2 22 228 229
2
22 23 2 29
230
S30 1 2 2 2 2
2 28
29
所以
1 2
n 1 1 2 63 , 1 64 1 2
即
n 6.
63 则此数列的前6项之和等于 64 .
1 1 1 （2）求等比数列 , , ,…第5项到第10项之和? 2 4 8
方法一:
因为
a1
1 ,q 2
1 4 1 2
1 , 2
§ 2.5 等比数列的前n项和
班级：数信07级1班
姓名：廖敏
学号：20070241101
古罗马有这么一句谚语:
The Room is not built one day!
某建筑队,由于资金短缺,向某砖厂赊借红砖盖
房,可砖厂厂长很风趣,提出了这样一个条件:在一个
月（30天）内,砖厂每天向建筑队提供10000块砖,
则
4 1 1 1 2 2 15 , S4 1 16 1 2
10 1 1 1 2 2 1023 S10 . 1 1024 1 2
所以
S10 S 4
1023 15 63 . 1024 16 1024
方法二: (构造新数列)
可将原数列的第5项看做新数列{bn} 的第1项,第10项之 1 和看做第6项,新数列的公比仍为 2 ,则原题的所求的即为 新数列的前6项之和,记作 S '6 .
等比数列前n项和公式和性质PPT课件
(2)a127 ,a9214,3 q0
解： (1 ) 因为
a1
1 2
,
q
1 2
所以n当 8时
1
1
1
8
Sn
2 2 1 1
2 5 5 256
(
2
)
由a1
27,a9
12 ,可得: 1 243 24
3
27
q8
又由q 0,可得： q
1 3
2
71
1
8
于是n当 8时 Sn
2021/5/21
实数m＝____-_1_____.
2021/5/21
16
1 、若 {a n 等 } 的 n 项 比 前 S n 和 数 3 n 1 2 a 列 ， a 的 求
化简S到 n13： 3n2a
1 2a 0 a 1
3
6
2021/5/21
17例1、求下列等比数列前8项和(1) 1 , 1 , 1 , 2 48
5
如何求等比数列的Sn:
错位相减法
S n a 1 a 2 a 3 a n 1 a n
S n a 1 a 1 q a 1 q 2 a 1 q n 2 a 1 q n 1① q n a 1 S q a 1 q 2 a 1 q 3 a 1 q n 1 a 1 q n ②
2021/5/21
29
∵S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30，
30－102 ∴S30－S20＝S30－30＝ 10 ， 即 S30＝70.
2021/5/21
30
2 、等 { a n } 的 比 n 项 前 数 S n 和 ， 列 S m 为 若 1， 0 S 2 m 3， 0 求 S 3 m 的值。
等比数列的前n项和-优秀PPT课件
1
Sn
a1 anq 1 q
,q
1
na1, q 1
na1, q 1
练习1.判断是非
（ 2）n
①1 2 4 8 16 (2)n1 1 (1 2n) 1 (2)
n+1
② 1 2 22 23 2n 1 (1 2nn ) 12
③
c2
c4
c6
c2n
c2[1 (c2 )n ] 1 c2
, 14
,
1 8
,116
,
求前2n项中所有偶数项的和.
练习4
思考
资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达 7.4×108t，每吨占地1m2，环保部门每回收或 处理1t废旧物资，相当于消灭4t工业废弃垃 圾．如果环保部门2002年共回收处理了100t 废旧物资，且以后每年的回收量递增20%． (1)2010年能回收多少吨废旧物资？ (2)从2002年到2010年底，可节约土地多少m2?
小结：
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
q≠1,q=1 分类讨论
数学
源于生活
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
q1
na1
q 1
知三求二
a1 anq
Sn
1q
na1
数学 用于生活
q1
q1
分组求和
方
转
程
化
思
思
想
想
课后作业：
必做：P61 A组 1、4、6题 选做：
思考题(1): 求和 x + 2 x2 + 3 x3 + + nxn .
等比数列的前n项和
选自人教A版必修5第二章第五节
等比数列前n项和的求和公式 PPT课件
当 n 1时，有 a1 2a1 1 , 即 a1 1 ;
当 n 2时，有 a1 a2 2a2 1, 即 a2 2 ;
故
q a2 2 2 ,
a1 1
因此
an
a q n1 1
1 2 n1
2 n 1
.
.
11
小试牛刀
求下列数列前n项的和. （1） 3, 11, 111,217,
4 8 16 32
了······
这猴子是不是 又在耍我
.
4
算一算
这笔交易
是猪八戒占大便宜， 还是孙悟空有谋略,在欺负他呢
.
5
我们知道：
猪八戒收到的资金：
1003030(0万 0 )元
需返还孙悟空的资金：
？ 1 2 2 2 2 3 2 2 9
.
6
倒序相加法
S n a 1 ( a 1 d ) ( a 1 ( n 2 ) d ) ( a 1 ( n 1 ) d ) (1) S n ( a 1 ( n 1 ) d ) ( a 1 ( n 2 ) d ) ( a 1 d ) a 1 (2)
（2）11, 31, 51,71 , 2 4 8 16
.
12
等差、等比数列对比
ana1(n1)d
ana1qn1 (a1,q0)
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
倒序相加法
n 1a
q 1 ;
S n a 1 ( 1 1 q q n ) a 1 1 a q n q q 1 .
.
1
师兄弟都成亿万富翁啦！ 我也要成立一个“高老
庄集团”
.
2
猴哥， 能不能 帮帮 我······
等比数列前n项和公式ppt名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
1 （1）已知 a1 4 , q 2 ，求S10。
（2）已知 a1 1 , ak 243 , q 3 ，求Sk。
解:（1）
S10
a1(1 q10 ) 1 q
4[1 (1)10 ] 2
1 1
1023 128
2
（2）
Sk
a1 ak q 1 q
1 243 3 13
364
拓展训练 、深化认识
(1)-(2) Sn qSn a1 anq 整顿 (1 q)S n a1 anq
a a q 当q
1时，Sn
a1 anq 1 q
n
n1 1
Sn
a1(1 qn 1 q
)
当q 1时，Sn na1.
错位相减法
深化学生对公式旳认识和了解：
等比数列旳前n项和公
式当q 1时，
Sn
a1 anq 1 q
例。1 .写出等比数列 1,-3,9，-27…旳前n项和公式并求
出数列旳前8项旳和。
解：因为a1
1，q
3 1
3，所以等比数列的前
n项和公式为：
Sn
1[1 (3)n ] 1 (3)
1 (3)n 4
故
S8
1 （ 3）8 4
1640
变式强化： 深化对公式旳了解与灵活利用，巩固强化。
课堂练习 1．求等比数列中，
陛下，请您在这张棋盘旳第一 种小格内，赐给我一粒麦子； 在第二个小格内给两粒，第三 格内给四粒，照这么下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这么摆满棋盘上所 有64格旳麦粒，都赐给您旳仆 人罢！
鼓励学生合作讨论， 经过自己旳努力处理问题， 激发进一步进一步学习旳爱好和欲望。
第1格： 1 第2格： 2
等比数列的前n项和 课件(34张)
等比数列前n项和有关的性质应用
－S2(n1，)等S4比n－数S3列n，{a…n}成的等前比n项数和列S(n其，中满S足n，SnS，2n－S2nS－n，SnS，3n－S3n S2n，…均不为0)，这一性质可直接应用．
(2)等比数列的项数是偶数时，
S偶 S奇
＝q；项数是奇数时
S奇S－偶 a1＝q.
2．(1)等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4可为 ________；
a1q3＋a1q5＝54， 即a1q31＋q2＝54. ②
∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝18，即 q＝12，∴a1＝8.
∴a4＝a1q3＝8×123＝1， S5＝a111－－qq5＝8×11－－12125＝321.
(2)方法一：设首项为a1.∵q＝2，S4＝1， ∴a111－－224＝1，即a1＝115， ∴S8＝a111－－qq8＝11511－－228＝17. 方法二：∵S4＝a111－－qq4＝1，且q＝2， ∴S8＝a111－－qq8＝a111－－qq4(1＋q4) ＝1×(1＋24)＝17.
在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目
的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
1．在等比数列{an}中， (1)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求a4和S5； (2)若q＝2，S4＝1，求S8.
解析： (1)设公比为 q，由通项公式及已知条件得 ①
① ②
②÷①得1＋q10＝3，∴q10＝2.
将q10＝2代入①得1－a1 q＝－10，
∴S30＝a111－－qq30＝－10(1－23)＝70.
方法二：∵S10＝a1＋a2＋…＋a10， S20－S10＝a11＋a12＋…＋a20 ＝a1q10＋a2q10＋…＋a10q10＝q10S10. S30－S20＝a21＋a22＋…＋a30 ＝a1q20＋a2q20＋…＋a10q20＝q20S10. ∴S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，公比为q10. ∴(S20－S10)2＝S10(S30－S20)， ∵S10＝10，S20＝30. ∴(30－10)2＝10(S30－30)，∴S30＝70.
等比数列的前N项和公式--课件
前置作业
问题2
传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨•班•达依尔，舍罕王为了表
彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏．
国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，这位聪明的大臣说：
“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内
放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦
Sn
a1(1 qn ) (q 1 q
1).
(6.7)
知道了等比数列an中的a1、n和q(q 1),
利用公式（6.7）可以直接计算Sn．
等比数列的前n项和公式：
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(q
1).
(6.7)
由于 a1qn an1 anq,
因此公式（6.7）还可以写成
Sn
a1 anq 1 q
发现，即使把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏承
诺．
这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？
各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，大臣西萨•班•达
依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和．
等比数列的前n项和公式推导
等比数列an 的前n项和为
Sn a1 a2 a3 an.
(1)
1、老师这一个月要给你多少钱？ 2、你这一个月要返回老师多少钱？
解答：
1、老师这一个月要给你多少钱？
10000×31=310000元
2、你这一个月要返回老师多少钱？
第1天 第2天 第3天 第4天 、、、 第31天
1
2
22
23 、、、 230
等比数列 1，2，22，23，、、、，230
S31= 1+2+22+23+ … +230 = ？ a1=1, q=2 S31=
等比数列前n项和的公式_课件[1]
![等比数列前n项和的公式_课件[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/2ee6e9ec172ded630b1cb62c.png)
33 4
.
( 3 ) a1 8 , q
1 2
; an
1 2
;
Sn
( 4 ) a1 2 .7 , q
1 3
, an
1 90
2 2 31 . 2 1 1 2
1
.
2 .7 1 91 90 3 . 1 45 1 3
知道三个量可求另外两个
例3 、求和
a a
分析： 解：（1）该数列为等比数列，记为 a n ，
其 中 a1 a , q a
当 a 1时 ， S n n a n
2
a
3
a
n 1
a (a 0)
n
当 a 1时 ， S n
a (1 a )
Sn
a 1 (1 q )
n
1 q
注意：此时q≠1
等比数列前n项求和公式
等 比 数 列 an
n a 1 , ( q 1), S n a 1 (1 q n ) , ( q 1). 1 q n a 1 , ( q 1) 所 以 S n a1 a n q , ( q 1). 1 q
解： 由题意可知，这个商场从今年起，平均每年的销售量 （万吨）组成一个等比数列， 记为 a
a1 5000, q 1 10% 1.1, S n 30000
于是得到 5 0 0 0 (1 1 .1 )
n
n
1 1 .1
30000.
Sn
a 1 (1 q )
n
n
1 a
三、小结：
1.等比数列前 n 项和公式推导中蕴含的思想方法以及 公式的应用； 2.灵活运用等比数列求和公式进行求和，求和时注 意公比 q
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这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式， 11
让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识．
选用公式、变用公式、理解内化
变式练习：求和
（1
1) (2 x
1 x2 )
(n
1 xn
)(
n
N
x
0）
该题有助于培养学生对含有参数的问题 进行分类讨论的数学思想． 训练学生注意考察q是否为1的情况，突破易错点。
,
2
1, 4
3
1, 8
4
1 16
,
的前n项的和.
解:
Sn
11 2
21 4
31 8
4 1 16
(n
1 2n
)
反思
(1
1) 2
(2
1) 4
(3
1) 8
(n
1 2n
)
111
1
(1 2 3
n)
( 2
4
8
2n
)
n(n 1) 2
1 2
[1 (1)n 2
1 1
]
n2 2
n
1
1 2n
2
分组求和
采用变式教学设计题组，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点
作业布置、强化知识：
必做： 课本P17-18 练习6.3.3 1.2题
选做：
等比数列中，S3
7 2
,
S6
623，求an。
必做题，有助学生课后巩固提高， 选作题是注意分层教学和因材施教， 让学有余力的学生有思考的空间
14
15
（1）已知
a1
4
,q
1 2
，求S10。
（2）已知 a1 1 , ak 243 , q 3 ，求Sk。
解:（1）
S10
a1(1 q10 ) 1 q
4[1 (1)10 ] 2
1 1
1023 128
2
（2）
Sk
a1 ak q 1 q
1 243 3 13
364
10
拓展训练 、深化认识
求数列1
1 2
当q 1时， Sn na1.
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(1) a1, an , q, Sn 和各已知 a1, n, q, Sn
三个可求第四个。
(2)注意求和公式是qn，不要和通项公
式中的qn1混淆。
(3)注意q是否等于1，如果不确定，就要
分q 1和q 1两种情况讨论。
8
例题选讲:
针对知识点精选例题，初步掌握公式运用。
12
归纳总结、内化知识
小结
当q 1时，
1、等比数列前n项和：
Sn
a1 anq 1 q
Sn
a1(1 qn ) 1 q
错
位 相 减
法
当q 1时，Sn na1.
2、注意选择适当的公式，必要是分情况讨论。
3、学会建立等比数列的数学模型，来解决实际问题。
归纳总结：鼓励学生自己总结，使自身的认知结构得以提高和发1展3 。
6
证思维能力的良好契机．
类比联想、 推导公式 一般地，设有等比数列： a1, a2 , a3,, an ,,
它的前n项和是： Sn a1 a2 a3 an. （1）
(1)的两边乘以q qSn a1q a2q a3q an1q anq.
由定义 qSn a2 a3 a4 an anq. （2）
(1)-(2) Sn qSn a1 anq 整理 (1 q)S n a1 anq
a a q 当q
1时，Sn
a1 anq 1 q
n
n1 1
Sn
a1(1 qn ) 1 q
当q 1时，Sn na1.
错位相减法
7
深化学生对公式的认识和理解：
等比数列的前n项和公
式当q 1时，
Sn
a1 anq 1 q
S64 264 1 ＝18,446,744,073,709,551,615
这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产 的小麦的总和！
让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为
“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思
议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩
中职数学基础模块下册
第六章 数列
6.3.3 等比数列的前n项和公式 教学法
1
6.3.3 等比数列的前n项和公式
教学重点、难点
❖ 教学重点：等比数列前n项和公式的推导与应用。
❖ 教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导 所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和
方 法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学 思想，所以既是重点也是难点．
陛下，请您在这张棋盘的第一 个小格内，赏给我一粒麦子； 在第二个小格内给两粒，第三 格内给四粒，照这样下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这样摆满棋盘上所 有64格的麦粒，都赏给您的仆 人罢！
4
鼓励学生合作讨论， 通过自己的努力解决问题， 激发进一步深入学习的兴趣和欲望。
第1格： 1
第2格： 2
第3格： 22
第4格： 23
……
第63格： 262
第64格： 263
5
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？
1 2 22 23 262 263 ?
这实际上是求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和。
S64 1 2 22 23 263 2S64 2 22 23 263 264
2
6.3.3 等比数列的前n项和公式
教学过程
❖ 创设情境、提出问题 ❖ 类比联想、推导公式 ❖ 例题选讲、变式强化 ❖ 拓展训练 、深化认识 ❖ 归纳总结、内化知识 ❖ 作业布置、强化知识
3
创设情境、提出问题
数学小故事
相传，古印度的舍罕王打算重赏国际 象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。 于是，这位宰相跪在国王面前说：
例1 .写出等比数列 1,-3,9，-27…的前n项和公式并求
出数列的前8项的和。
解：因为a1
1，q
3 1
3，所以等比数列的前
n项和公式为：
Sn
1[1 (3)n ] 1 (3)
1 (3)n 4
故
S8
1 （ 3）8 4
1640
9
变式强化： 深化对公式的理解与灵活运用，巩固强化。
课堂练习 1．求等比数列中，