201x届高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第5讲 椭圆 文 新人教版

对称轴： 坐标 轴 对称中心： 原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
性
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0)
质
轴
长轴 A1A2 的长为 2a ；短轴 B1B2 的长为 2b
焦距
|F1F2|＝ 2c
离心率
e＝ac∈(0,1)
a，b，c 的关系
[解析] 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，
由题意知当焦点在 x 轴上时，c＝2，b＝1， ∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为x52＋y2＝1. 当焦点在 y 轴上时，b＝2，c＝1， ∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为y52＋x42＝1. [答案] C
(2)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3)是
椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程
为( )
A.x82＋y62＝1
B.1x62 ＋y62＝1
C.x42＋y22＝1
D.x82＋y42＝1
[解析] 设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)． 由点 P(2， 3)在椭圆上知a42＋b32＝1. 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
(1)若 a＞c ，则集合 P 为椭圆； (2)若 a＝c ，则集合 P 为线段； (3)若 a＜c ，则集合 P 为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
ay22＋bx22＝1(a＞b＞ 0)
图形
范围
－a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a
对称性
)
A．2
B．3
C．4
D．9
[解析] 由题意知 25－m2＝16，解得 m2＝9，
又 m>0，所以 m＝3.
[答案] B
3．已知椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方 程为________．
[解析] 设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)． 因为椭圆的一个焦点为 F(1,0)，
c＝1， 离心率 e＝12，所以aac＝ 2＝21b，2＋c2，
解得ab＝2＝23c，＝2，
故椭圆的标准方程为x42＋y32＝1. [答案] x42＋y32＝1
题型一 椭圆的标准方程(基础拿分题，自主练透) 例 1 (1)若直线 x－2y＋2＝0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点， 则该椭圆的标准方程为( ) A.x52＋y2＝1 B.x42＋y52＝1 C.x52＋y2＝1 或x42＋y52＝1 D．以上答案都不对
(5)ay22＋bx22＝1(a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆．(
)
(6)ax22＋by22＝1(a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相等．(
)
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√
2．已知椭圆2x52 ＋my22＝1(m>0)的左焦点为 F1(－4,0)，则 m＝(
a2＝b2＋c2
[知识感悟] 1．椭圆的定义中易忽视 2a＞|F1F2|这一条件，当 2a＝|F1F2|其轨 迹为线段 F1F2，当 2a＜|F1F2|不存在轨迹． 2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程 为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)． 3．注意椭圆的范围，在设椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)上点的坐标为 P(x，y)时，|x|≤a，这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别有用， 也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
待定系 已知条件求出 a，b；若焦点位置不明确，则需要
数法
分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，也可设椭 圆的方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)
【针对补偿】
1．(2018·奉贤调研)设椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别
为 F1，F2，上顶点为 B，若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为( )
第八章 解析几何
•第5讲 椭 圆
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最新考纲
常见题型
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程 高考对性质的考查多以
及简单几何性质(范围、对称性、顶点、 选择、填空为主、难度较
离心率)．
Байду номын сангаас
大，综合问题以大题为
2.了解椭圆的简单应用．
主、中、高档题型．占 5～
3.理解数形结合的思想.
13 分
[知识自测] 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是 椭圆．( ) (2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成△PF1F2 的周长为 2a＋ 2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．( ) (4)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
即
2a＝2×2c，ac＝12，又
c2＝a2－b2，联立ac422＝＋ab322－＝b12，， ac＝12
即 a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为x82＋y62＝1. [答案] A
方法感悟
求椭圆标准方程的 2 种常用方法
根据椭圆的定义，确定 a2，b2 的值，结合焦点位置 定义法
可写出椭圆方程
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合
A.x42＋y32＝1
B.x32＋y2＝1
C.x22＋y2＝1
D.x42＋y2＝1
[解析] 由|BF2|＝|F1F2|＝2，得 a＝2,2c＝2，即 c＝1，所以 b2＝
a2－c2＝4－1＝3，所以该椭圆方程为x42＋y32＝1.
[答案] A
2．椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，若椭圆 C 的离心率等 于12，且它的一个顶点恰好是抛物线 x2＝8 3y 的焦点，则椭圆 C 的 标准方程为________．
[知识梳理] 1．椭圆的概念 平面内到两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点 的集合叫作 椭圆 .这两个定点 F1，F2 叫作椭圆的 焦点 ，两焦 点 F1，F2 的距离叫作椭圆的 焦距 .
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c＞0， 且 a，c 为常数：