无穷级数知识点介绍整理人王浩
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专转本专题知识点----------无穷级数
数项级数
定义1 设给定一个数列,...,,...,,,321n u u u u 则和式
......321+++++n u u u u （11.1）
称为数项级数，简称为级数，简记为
∑∞
=1
n n
u
,即
∑∞
=1
n n
u
=......321+++++n u u u u
其中，第n 项n u 称为级数的一般项或者通项。式（11.1）的前n 项和
∑==++++=n
k k n n u u u u u S 1
321...
称为式（11.1）的前n 项部分和。当n 依次取1，2，3，...时，部分和
...,..,,,321n S S S S
构成一个新的数列{}n S ，数列{}n S 也称为部分和数列
定义2 若级数
∑∞
=1
n n
u
的部分和数列{}n S 有极限S
S S n n =∞
→lim ，
则称级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，称S 是级数
∑∞
=1
n n
u
的和，即
(3211)
+++++==
∑∞
=n n n
u u u u u
S
如果部分和数列{}n S 没有极限，则称为级数∑∞
=1
n n
u
发散
数项级数的性质 （1）若级数
∑∞
=1
n n
u
和级数
∑∞
=1
n n
v
都收敛，它们的和分别为S 和σ，则级数
∑∞
=±1
)(n n n
v u
也
收敛，且其和为±S σ
（2）若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，且其和为S ，则它的每一项都乘以一个不为零的常数k,所得到的
级数
∑∞
=1
n n
ku
也收敛，且其和为kS
（3）在一个级数前面加上（或去掉）有限项，级数的敛散性不变 （4）若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，则将这个级数的项任意加括号后，所成的级数
...)...(...)...()...(1211121+++++++++++-+k k n n n n n u u u u u u u 也收敛，且与原级数有相同的和
（5）（级数收敛的必要条件）若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，则0lim =∞
→n n u
综上所述，几何级数∑∞
=-11
n n aq 的敛散性⎪⎩
⎪⎨⎧
≥，发散。。。。。。
收敛，其和为1q -1a ,1q q π
调和级数
∑∞
=1
1
n n 的敛散性 发散 数项级数的敛散性
研究对象：正项级数、交错级数、任意项级数 一．正项级数
正项级数：若级数∑∞
=1
n n
u
=......321+++++n u u u u 满足条件,...)3,2,1(0=≥n u n ，则称此
级数为正项级数
定理1 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列{}n S 有界
定理2 （比较判别法）若级数∑∞
=1
n n
u
和级数
∑∞
=1
n n
v
为两个正项级数，且,...)3,2,1(=≤n v u n n ，
那么： （1）若级数
∑∞
=1
n n
v
收敛时，级数
∑∞
=1
n n
u
也收敛
（2）若级数
∑∞
=1
n n
u
发散时，级数
∑∞=1
n n
v
也发散
那么∑∞
=-1n p n 1
级数p 的敛散性是⎩
⎨⎧>≤，收敛发散1,1p p
定理3（达朗贝尔比值判别法）若正项级数
∑∞
=1
n n
u
（,...3,2,1,0=>n u n ）满足条件
l u u n
n n =+∞→1
lim
则
（1）当1
（3）当1=l 时，无法判断此级数的敛散性
二．交错级数
级数
∑∞
=-1)1(n n n u （,...3,2,1,0=>n u n ）称为交错级数
定理4（莱布尼兹判别法）若交错级数∑∞
=-1
)
1(n n
n
u （,...3,2,1,0=>n u n ）满足下列条件
（1）1+≥n n u u （2）0lim =∞
→n n u
则交错级数
∑∞
=-1
)
1(n n
n
u 收敛，其和,1u S ≤其余项的绝对值1+≤n n u r
三．绝对收敛和条件收敛
若级数
∑∞
=-1
)
1(n n
n
u 的各项为任意实数，则称级数
∑∞
=1
n n
u
为任意项级数
定义 如果任意项级数
∑∞
=1
n n
u
的各项绝对值组成的级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，则称级数
∑∞
=1
n n
u
绝对收
敛；如果
∑∞
=1
n n
u
发散，而
∑∞
=1
n n
u
收敛，则称级数
∑∞
=1
n n
u
条件收敛
定理5 如果级数
∑∞
=1
n n
u
绝对收敛，则级数
∑∞
=1
n n
u
必收敛