高中数学基础函数极限与导数

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数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法：

(1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法.

归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法.

①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法.

②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法

数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结

论.

(2)数学归纳法步骤:

①验证当n取第一个

n时结论

()

P n成立;

②由假设当n k

=（

,

k N k n

+

∈≥）时,结论()

P k成立，证明当1

n k

=+时,结论(1)

P k+成立;

根据①②对一切自然数

n n

≥时，()

P n都成立.

2.数列的极限

(1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数

a(即

n

a a

-无限地接近于),那么就说数列

{}

n

a以a为极限,或者说a是数列{}

n

a的极限.记为

lim

n

n

a a

→∞

=或当n→∞时，

n

a a

→.

(2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim

n n

n n

a a

b b

→∞→∞

==，

那么lim()

n n

n

a b a b

→∞

±=±；lim();

n n

n

a b a b

→∞

⋅=⋅lim(0)

n

n

n

a a

b

b b

→∞

=≠

特别地，如果C 是常数，那么lim()lim lim

n n

n n n

C a C a Ca

→∞→∞→∞

⋅=⋅=.

⑶几个常用极限: ①lim

n

C C

→∞

=（C为常数）②lim0

n

a

n

→∞

=

k

（,a k均为常数且N*

∈

k）

③

（1)

1

lim0(1)

(1或1)

不存在

n

n

q

q q

q q

④首项为

1

a，公比为q（1

q<）的无穷等比数列的各项和为lim

1

n

n

a

S

q

→∞

=

-

.

注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限.

⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.

数

学

归

纳

法

、数

列

的

极

限

与

运

算

例 1. 某个命题与正整数有关，若当)

(*

N

k

k

n∈

=时该命题成立，那么可推得当

=

n1

+

k时该命题也成立，现已知当5

=

n时该命题不成立，那么可推得（）

(A)当6

=

n时，该命题不成立 (B)当6

=

n时，该命题成立

(C)当4

=

n时，该命题成立 (D)当4

=

n时，该命题不成立

例2. 用数学归纳法证明:“)1

(

1

1

1

2

1

2≠

-

-

=

+

+

+

+

+

+a

a

a

a

a

a

n

n

”在验证1

=

n时，左端

计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a

+

1 (C)2

1a

a+

+ (D)3

2

1a

a

a+

+

+

例3.2

2

21

lim

2

n

n

n

→∞

-

+

等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－

2

1

(D)

2

1

例4. 等差数列中，若

n

n

S

Lim

∞

→

存在，则这样的数列( )

(A)有且仅有一个 (B)有无数多个(C)有一个或无穷多个 (D)不存在

例5. lim(1)

n

n n n

→∞

+-等于( ) (A)

1

3

(B)0 (C)

1

2

(D)不存在

例6. 若2

012

(2)n n

n

x a a x a x a x

+=++++，

12

n n

A a a a

=+++，则2

lim

83

n

n

n

A

A

→∞

-

=

+

( )

(A)

3

1

- (B)

11

1 (C)

4

1 (D)

8

1

-

例7. 在二项式(13)n

x

+和(25)n

x+的展开式中，各项系数之和记为,,

n n

a b n是正整

数，则

2

lim

34

n n

n

n n

a b

a b

→∞

-

-

= .

例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N

a∈

1

，公比为q，且

n

n

a

a

a

S

N

q

+

+

+

=

∈

2

1

,

1，

且3

lim=

∞

→

n

n

S，则=

+

2

1

a

a _____ .

例9. 已知数列{

n

a}前n项和1

1

(1)

n n n

S ba

b

=-+-

+

, 其中b是与n无关的常数，且0

＜b＜1，若lim

n

n

S

→∞

=存在，则lim

n

n

S

→∞

=________．

例10. 若数列{

n

a}的通项21

n

a n

=-，设数列{

n

b}的通项

1

1

n

n

b

a

=+，又记

n

T是数

列{

n

b}的前n项的积．

（Ⅰ）求

1

T，

2

T，

3

T的值；（Ⅱ）试比较

n

T与

1+

n

a的大小，并证明你的结论．

例1.D2.C 例3.A 例4.A例5. C将分子局部有理化，原式=