平面体系的计算自由度

= 3×9-(3×3+2×8+6) = -4
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【例2-2】试求图2-11所示体系的计算自由度。
m1
(1)g (1)h
m4
(1)h (1)g
m2
m6
(2)g (1)h
(2)g
m5
m8
m3
m7
(3)r
(3)r
m=9，g=6，r=9
(1)h
m9 (3)r
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×6+2×4+9) = -8
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三、体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系
a) W=1>0
b) W=0
c) W=-1<0
(2) W=0时，体系具有成为几何不变体系所必须的最 少约束数目，但体系不一定是几何不变的。
(3) W<0时，体系有多余约束，但体系也不一定是几 何不变的。
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2
在应用公式时，应注意以下几点：
（1）地基是参照物，不计入m中。
（2）计入m的刚片，其内部应无多余约束。如果遇到内 部有多余约束的刚片，则应把它变成内部无多余约束的 刚片，而把它的附加约束在计算体系的“全部约束数”d 时考虑进去。
图a是内部没有多余约束的 刚片，而图b、c、d则是内
部分别有1、2、3个多余约 a)
束的刚片，它们可以看作 在图a的刚片内部分别附加
了一根链杆或一个铰结或 c)
一个刚结。
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b)
d)
3
在应用公式时，应注意以下几点：
(3)刚片与刚片之间的刚结或铰结数目（复刚结或复 铰结应折算为单刚结或单铰结数目）计入g和h。
(4)刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入g和h， 而应等效代换为三根支杆或两根支杆计入r。
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【例2-3】试求图2-12所示体系的计算自由度。
1
2
3
4
5
解：在该体系中，4、5两处除应算作结点外，同时还 都是固定铰支座。因此，该体系的铰结数j=5，链杆 数b=4，支杆数r=6。故由公式(2-4)，可得
W = 2j-(b+r) = 2×5-(4+6) = 0
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2、铰接链杆体系的计算自由度
W=2j-(b+r)
其中：
j为体系的铰结数；
b为链杆数为；
r为支杆数
注意：在计算j时，凡是链杆的端点，都应当算作结点， 而且无论一个铰结点上连接几根链杆，都只以1计入j中； 在计算b和r时，链杆与支杆应当区别开来，因为链杆是 内部约束，而支杆则是外部约束，二者不可混淆。
2.3 平面体系的计算自由度
一、体系的实际自由度S与计算自由度W的定义
1、体系的实际自由度S
令体系的实际自由度为S，各对象的自由度总和为a， 必要约束数为c，则
S＝a – c
2、体系的计算自由度W 将上式中的必要约束数c改为全部约束数d，则
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W＝a – d
只有当体系的全部约束中没有多余约束时，体系的
计算自由度W才等于实际自由度S。
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1
二、平面体系的计算自由度
1、刚片体系的计算自由度 以刚片为对象，以地基为参照物，其刚片体系的计 算自由度为
W＝3m-(3g+2h+r)
其中：m为个刚片个数；g为单刚结个数，h为单铰结个数，
r为与地基之间加入的支杆数。
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三、体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系 先求出图示各体系的W。
a) W=1>0
b) W=0
c) W=-1<0
可看出存在以下三种情况：
(1) W>0时，体系缺少必要的约束，具有运动自由度， 为几何可变体系。
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三、体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系
a) W=1>0 由此可知：
b) W=0
c) W=-1<0
(1) 若W＞0，体系一定是几何可变的。
(2) 若W≤0，只表明具有几何不变的必要条件，但不 是充分条件。因为体系是否几何不变还取决于约束的 布置是否合理。
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【例2-1】试求图示体系的计算自由度W。
(1)h m1 (3)h m2 (1)h
m3
m4
m5
m6
(3)h
m7
(3)g
m8 (3)r
m9 (3)r
m=9，g=3，h=8, r=6
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W = 3m-(3g+2h+r)