黎曼积分概念及性质
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D
当被积函数 f ( x , y ) 0时，
二重积分是曲顶柱体的体积的负值.
D 2018年11月13日星期二
f ( x, y )d V
华北科技学院基础部
18
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
3.黎曼积分的性质
多元积分的存在性与定积分类似：
若函数 f 在有界闭集G上连续，
＝lim f i xi x) dx d a ff(M 0 i 1
b
2018年11月13日星期二
n
华北科技学院基础部
12
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
（2）当Ω为平面有界闭区域（常记为D）时， f ( M ) f ( x, y ),( x, y ) D , 称为二重积分 n f ( x , y ) d lim f ( , ) f ( M ) d i i i
Ch19
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黎曼积分的概念和性质
mi f ( Mi ) i
n i 1
D
y
m mi f ( M i ) i
o
i的 直 径 为其上任
max 的直径 【取极限】 意两点间距 i n m lim f ( M i ) i 离的最大者 . 0
(黎曼和)
积分号
被积函数
f ( M )d
元素
积分域
2018年11月13日星期二
被积式或 积分微元
华北科技学院基础部
11
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
n
f ( M )d lim f ( M i ) i
0
i 1
当Ω为不同的几何形体时，对应的积 分有不同的名称和表达式： （1）当Ω是 x 轴上的闭区间[a,b], f ( M ) f ( x ), x [a, b], 称为定积分
华北科技学院基础部
23
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
性质5 (估值性） 若M，m分别是 f ( M )在上的最大值
和最小值，则
m f ( M )d M
利用性质3和性质4推出.
定积分 m(b a ) f x dx M (b a )
n
f ( i ,i ) i V f ( x , y )d lim 0 i 1
D
z
f i ,i
小柱体体积无限累加 得到以曲面为顶，
y
z f ( x, y )
区域D为底的曲顶
o x
D
柱体的体积 V. ( , )
i i
2018年11月13日星期二
i
2018年11月13日星期二
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
（5）当Ω为空间有限曲面片（常记为S）时，
f ( M ) f ( x, y，z ), ( x, y, z ) S ,
称为第一类（对面积的）曲面积分
f (x , z)) dS f ,( y M d lim f ( i ,i , i )Si 0 i 1
S
n
S称为积分曲面，dS称为曲面面积元素.
2018年11月13日星期二
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15
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
例1 设z f ( x , y )在有界闭区域D连续， 讨论二重积分 f ( x , y )d 的几何意义. 解
z
f ( i ,i ) i f ( x , y )d lim 0 i 1
是点M的函数 f ( M ). 如果函数 f 已知，怎样求物体的质量呢？
2018年11月13日星期二
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3
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
在定积分中，一根线密度为
f ( M ) f ( x)
的细直棒AB， 它的质量可通过分割、近似、
求和、取极限 四个步骤化为定积分
m = lim f i xi
0
i 1 n
A
i
x i 1
f x dx
b a
B
o a x 0
2018年11月13日星期二
xi
b xn
x
4
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《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
平面薄板的质量 设它所占的平面区域为D，其密度为
f ( M ) f ( x. y ) 在D上连续，
n n
【取极限】 max{ i的直径 }
m lim f ( M i ) i
0
i 1 n
2018年11月13日星期二
i 1
i 1
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8
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
2. 黎曼积分的概念
n个 函数f ( M )在上有界 . 将任意划分为
b
a
f x dx f x dx f x dx
c b a c
D1
二重积分
D D1 2018年11月13日星期二 D2
D2
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y )d
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21
《数学分析》(2)
Ch19
9
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
不论怎样划分，点 Mi 在i中怎样选取 , 当所有 i的直径的最大值 0时，和式
f (M ) 都趋于同一常数，
那么，称函数 f 在 上可积 , 且此常数 为函数 f 在上的黎曼积分 . 记作
n
i 1 i i
n
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
第四部分 多变量积分学
CH19 黎曼积分的定义和性质
§1. 黎曼积分的概念 §2. 黎曼积分的性质
2018年11月13日星期二
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1
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
在一元函数积分学中, 我们知道定积 分是某种确定形式的和的极限. 这种和的
极限的概念推广到定义在区域、曲线及
曲面上多元函数的情形，便得到重积分、
曲线积分及曲面积分的概念.
将函数在这些区域、曲线及曲面上 的积分统称为黎曼积分.
2018年11月13日星期二
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2
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
1. 物体质量的计算
设有一质量非均匀分布的物体，其密度
V
n
V就是积分区域， dv为体积元素 .
2018年11月13日星期二
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13
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
（4）当Ω为平面有限曲线段（常记为L） 或空间有限曲线段（常记为 ）时，
f ( M ) f ( x, y ), ( x, y ) L
或f ( M ) f ( x, y，z ),( x, y, z ) , 称为第一类（对弧长的）的曲线积分
黎曼积分的概念和性质
d 的 度 量（比如面积，体积，弧长等）
性质3
定积分
b
a
（积分区间的长度） dx b a
对于二重积分来说
若在D上f ( x , y ) 1，则有
D 2018年11月13日星期二
d＝D的面积
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《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
类似于对直棒的处理 ------“化整为零”
D
可按如下步骤计算它的质量.
2018年11月13日星期二
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5
《数学分析》(2)
【分割】把D任意划分为n个子域 （也表 i 示面积）i 1,2, n, x M i i 【近似】M i i , 【求和】 n
i 1
则 f 在G上可积.
当函数 f ( M ), g( M )可积时，多元函数
积分有与定积分类似的性质.
2018年11月13日星期二
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19
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
性质1 （线性性质）
(1) kf ( M )d k f ( M )d
k为常数
定义 设Ω表示一个有界的可度量几何形体，
小部分 i , i 1,2,, n. i也表示其度量 . 任取M i i , 作乘积 f ( M i ) i , i 1,2, n.
作和式 f ( M i ) i .
i 1
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n
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D
D
n
z f ( x, y )
曲顶柱体
o
x
D
D任意划分为n个子域 i ( i ,i ) i y 点( i ,i ) i
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2018年11月13日星期二
《数学分析》(2)
小平顶柱体体积 =f i ,i i 高×底面积
Ch19
黎曼积分的概念和性质
i 1 2018年11月13日星期二
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《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
n
细棒的质量 m = lim f i xi
0
f ( M i ) i 薄板的质量 m lim 0
i 1
i 1 n
均可由相同形式的和式极限来确定. 一般地，设有一质量非均匀分布在某一 几何形体Ω上的物体 (Ω可以是直线段、 平面或空间区域、一片曲面或一段曲线), 其质量可以按照以上四个步骤来计算：
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《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
二重积分的几何意义 z z f ( x, y ) 当被积函数 f ( x, y ) 0时， 二重积分是曲面 z f ( x , y )为顶， V 其投影D为底曲顶柱体的体积. o D y x f ( x, y )d V
2018年11月13日星期二
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《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
（也表 【分割】 把Ω任意划分为n个子域 i
示度量）i 1,2,
n,
【近似】 上质量分布近似看作均匀 i Mi i , mi f ( Mi ) i 【求和】 m mi f ( M i ) i
f ( M )d lim f ( M i ) i
0
i 1
2018年11月13日星期二
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10
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
n
函数f ( M )在几何体 上的积分
f ( M )d lim f ( M i ) i
0
i 1
积分和
D
0
D就是积分域，d 称为面积元素. （3）当Ω为空间有界闭区域（常记为V）时， f ( M ) f ( x, y, z ), ( x, y, z ) V , 称为三重积分
i 1
y ,)z dv lim f ( i ,i , i )vi d) f (fx(,M 0 i 1
d , y)) ds f f( (xM
L
lim f ( i ,i )si
0
i 1 n i 1
n
f ( i ,i , i )si f ( x , y , z )ds lim 0
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L(或) 称为积分路径，ds称为弧长元素.
( 2) [ f ( M ) g( M )]d
f ( M )d g( M )d
[ f ( x) g( x)]dx f x dx g x dx
b b b a a a
[ f ( x, y) g( x, y)]d f ( x, y)d g( x, y )d
D D D
2018年11月13日星期二
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《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
性质2（区域可加性） 若分为两部分， 1 2，1 2 ,
则 f ( M )d f ( M )d f ( M )d
1 2
定积分
性质4（比较性）
如果在 上，f ( M ) h( M )，则有
f ( M )d h( M )d
特别地，有
b a
f ( M )d f ( M ) d
定积分
f x dx h x dx
b a
D
D 2018年11月13日星期二
二重积分： f ( x, y )d h( x, y)d
当被积函数 f ( x , y ) 0时，
二重积分是曲顶柱体的体积的负值.
D 2018年11月13日星期二
f ( x, y )d V
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《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
3.黎曼积分的性质
多元积分的存在性与定积分类似：
若函数 f 在有界闭集G上连续，
＝lim f i xi x) dx d a ff(M 0 i 1
b
2018年11月13日星期二
n
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《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
（2）当Ω为平面有界闭区域（常记为D）时， f ( M ) f ( x, y ),( x, y ) D , 称为二重积分 n f ( x , y ) d lim f ( , ) f ( M ) d i i i
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黎曼积分的概念和性质
mi f ( Mi ) i
n i 1
D
y
m mi f ( M i ) i
o
i的 直 径 为其上任
max 的直径 【取极限】 意两点间距 i n m lim f ( M i ) i 离的最大者 . 0
(黎曼和)
积分号
被积函数
f ( M )d
元素
积分域
2018年11月13日星期二
被积式或 积分微元
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《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
n
f ( M )d lim f ( M i ) i
0
i 1
当Ω为不同的几何形体时，对应的积 分有不同的名称和表达式： （1）当Ω是 x 轴上的闭区间[a,b], f ( M ) f ( x ), x [a, b], 称为定积分
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《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
性质5 (估值性） 若M，m分别是 f ( M )在上的最大值
和最小值，则
m f ( M )d M
利用性质3和性质4推出.
定积分 m(b a ) f x dx M (b a )
n
f ( i ,i ) i V f ( x , y )d lim 0 i 1
D
z
f i ,i
小柱体体积无限累加 得到以曲面为顶，
y
z f ( x, y )
区域D为底的曲顶
o x
D
柱体的体积 V. ( , )
i i
2018年11月13日星期二
i
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黎曼积分的概念和性质
（5）当Ω为空间有限曲面片（常记为S）时，
f ( M ) f ( x, y，z ), ( x, y, z ) S ,
称为第一类（对面积的）曲面积分
f (x , z)) dS f ,( y M d lim f ( i ,i , i )Si 0 i 1
S
n
S称为积分曲面，dS称为曲面面积元素.
2018年11月13日星期二
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《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
例1 设z f ( x , y )在有界闭区域D连续， 讨论二重积分 f ( x , y )d 的几何意义. 解
z
f ( i ,i ) i f ( x , y )d lim 0 i 1
是点M的函数 f ( M ). 如果函数 f 已知，怎样求物体的质量呢？
2018年11月13日星期二
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3
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
在定积分中，一根线密度为
f ( M ) f ( x)
的细直棒AB， 它的质量可通过分割、近似、
求和、取极限 四个步骤化为定积分
m = lim f i xi
0
i 1 n
A
i
x i 1
f x dx
b a
B
o a x 0
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xi
b xn
x
4
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《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
平面薄板的质量 设它所占的平面区域为D，其密度为
f ( M ) f ( x. y ) 在D上连续，
n n
【取极限】 max{ i的直径 }
m lim f ( M i ) i
0
i 1 n
2018年11月13日星期二
i 1
i 1
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《数学分析》(2)
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黎曼积分的概念和性质
2. 黎曼积分的概念
n个 函数f ( M )在上有界 . 将任意划分为
b
a
f x dx f x dx f x dx
c b a c
D1
二重积分
D D1 2018年11月13日星期二 D2
D2
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y )d
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21
《数学分析》(2)
Ch19
9
《数学分析》(2)
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黎曼积分的概念和性质
不论怎样划分，点 Mi 在i中怎样选取 , 当所有 i的直径的最大值 0时，和式
f (M ) 都趋于同一常数，
那么，称函数 f 在 上可积 , 且此常数 为函数 f 在上的黎曼积分 . 记作
n
i 1 i i
n
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
第四部分 多变量积分学
CH19 黎曼积分的定义和性质
§1. 黎曼积分的概念 §2. 黎曼积分的性质
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1
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
在一元函数积分学中, 我们知道定积 分是某种确定形式的和的极限. 这种和的
极限的概念推广到定义在区域、曲线及
曲面上多元函数的情形，便得到重积分、
曲线积分及曲面积分的概念.
将函数在这些区域、曲线及曲面上 的积分统称为黎曼积分.
2018年11月13日星期二
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2
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
1. 物体质量的计算
设有一质量非均匀分布的物体，其密度
V
n
V就是积分区域， dv为体积元素 .
2018年11月13日星期二
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13
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
（4）当Ω为平面有限曲线段（常记为L） 或空间有限曲线段（常记为 ）时，
f ( M ) f ( x, y ), ( x, y ) L
或f ( M ) f ( x, y，z ),( x, y, z ) , 称为第一类（对弧长的）的曲线积分
黎曼积分的概念和性质
d 的 度 量（比如面积，体积，弧长等）
性质3
定积分
b
a
（积分区间的长度） dx b a
对于二重积分来说
若在D上f ( x , y ) 1，则有
D 2018年11月13日星期二
d＝D的面积
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黎曼积分的概念和性质
类似于对直棒的处理 ------“化整为零”
D
可按如下步骤计算它的质量.
2018年11月13日星期二
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5
《数学分析》(2)
【分割】把D任意划分为n个子域 （也表 i 示面积）i 1,2, n, x M i i 【近似】M i i , 【求和】 n
i 1
则 f 在G上可积.
当函数 f ( M ), g( M )可积时，多元函数
积分有与定积分类似的性质.
2018年11月13日星期二
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黎曼积分的概念和性质
性质1 （线性性质）
(1) kf ( M )d k f ( M )d
k为常数
定义 设Ω表示一个有界的可度量几何形体，
小部分 i , i 1,2,, n. i也表示其度量 . 任取M i i , 作乘积 f ( M i ) i , i 1,2, n.
作和式 f ( M i ) i .
i 1
2018年11月13日星期二
n
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D
D
n
z f ( x, y )
曲顶柱体
o
x
D
D任意划分为n个子域 i ( i ,i ) i y 点( i ,i ) i
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小平顶柱体体积 =f i ,i i 高×底面积
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i 1 2018年11月13日星期二
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黎曼积分的概念和性质
n
细棒的质量 m = lim f i xi
0
f ( M i ) i 薄板的质量 m lim 0
i 1
i 1 n
均可由相同形式的和式极限来确定. 一般地，设有一质量非均匀分布在某一 几何形体Ω上的物体 (Ω可以是直线段、 平面或空间区域、一片曲面或一段曲线), 其质量可以按照以上四个步骤来计算：
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黎曼积分的概念和性质
二重积分的几何意义 z z f ( x, y ) 当被积函数 f ( x, y ) 0时， 二重积分是曲面 z f ( x , y )为顶， V 其投影D为底曲顶柱体的体积. o D y x f ( x, y )d V
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黎曼积分的概念和性质
（也表 【分割】 把Ω任意划分为n个子域 i
示度量）i 1,2,
n,
【近似】 上质量分布近似看作均匀 i Mi i , mi f ( Mi ) i 【求和】 m mi f ( M i ) i
f ( M )d lim f ( M i ) i
0
i 1
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黎曼积分的概念和性质
n
函数f ( M )在几何体 上的积分
f ( M )d lim f ( M i ) i
0
i 1
积分和
D
0
D就是积分域，d 称为面积元素. （3）当Ω为空间有界闭区域（常记为V）时， f ( M ) f ( x, y, z ), ( x, y, z ) V , 称为三重积分
i 1
y ,)z dv lim f ( i ,i , i )vi d) f (fx(,M 0 i 1
d , y)) ds f f( (xM
L
lim f ( i ,i )si
0
i 1 n i 1
n
f ( i ,i , i )si f ( x , y , z )ds lim 0
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L(或) 称为积分路径，ds称为弧长元素.
( 2) [ f ( M ) g( M )]d
f ( M )d g( M )d
[ f ( x) g( x)]dx f x dx g x dx
b b b a a a
[ f ( x, y) g( x, y)]d f ( x, y)d g( x, y )d
D D D
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黎曼积分的概念和性质
性质2（区域可加性） 若分为两部分， 1 2，1 2 ,
则 f ( M )d f ( M )d f ( M )d
1 2
定积分
性质4（比较性）
如果在 上，f ( M ) h( M )，则有
f ( M )d h( M )d
特别地，有
b a
f ( M )d f ( M ) d
定积分
f x dx h x dx
b a
D
D 2018年11月13日星期二
二重积分： f ( x, y )d h( x, y)d