狄拉克符号
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j j
Fkj k F j * 就是公式 Fkj k F j dx 的狄拉克符号表示。 F 的本征方程 F
所以
（4.5.18）
（4.5.19）
4.5 狄拉克符号
在 Q 表象中的表示是 即 或写成
k F k
（4.5.20） （4.5.21） （4.5.22）
m m
（4.5.26） （4.5.27）
⑤ 对于狄拉克符号，我们列出一个它和普通 x 表象中的 对照表。
4.5 狄拉克符号
一般表示 量子态 波函数
F
狄拉克符号表示
Hale Waihona Puke Baidu
( x)
F ( x, i ) ( x) ( x) x
x
F x F x
Pk 称为投影算符。由（4.5.9） 式可以看出，由于 任意， 有 （4.5.12） k k 1
k
这就是本征函数的完备性。如果在坐标表象下，上式可 写为 （4.5.13） dx x x 1
如果在动量表象下，可写为
dp
p p 1
（4.5.14）
4.5 狄拉克符号
如果在某一本征函数系既有分离谱又有连续谱，完备 性为：
若能谱为连续谱，比方坐标算符 x 的本征矢的正交归一 ˆ 条件是 （4.5.5） x x ( x x)
ˆ 在 动量算符 p的本征矢正交归一条件是
p p ( p p)
（4.5.6）
4.5 狄拉克符号
② 完备系和态矢量的狄拉克符号表示 由于厄米算符 Q 的本征函数组成完备系，因而表示这 些本征函数的刃矢（或刁矢）也组成完备系，记作 { k } （或 { k }）。态矢量 可用这套刃矢展开：
i t H
薛定谔方程
i
( x) H ( x) t
i
x x H t
4.5 狄拉克符号
一般表示
本征方程
狄拉克符号表示
F n n F x n x n
(F
j
F n ( x) n ( x)
kj
kj )a j 0
4.5 狄拉克符号
前面曾经指出，一个量子态相当于一个态矢量。在希尔 伯特空间中选定一组基矢，即选定表象后，它可以用在这组 基矢上的投影即矢量的分量表示，这就是波函数。与高等数 学中表示一个矢量，可以不引入坐标系不用它的分量而直接 用矢量表示相似，在量子力学中表示一个量子态也可以不用 引进具体表象，不用波函数，直接用矢量的符号表示。而且， 还可以直接引进矢量运算，例如标量积等。这就是狄拉克符 号。
jk
（4.5.15）
4.5 狄拉克符号
③ 算符的狄拉克符号表示 算符 F 作用在态矢量 中，得出另一个态矢量
F
（4.5.16）
现在在 Q 表象中将算符 F 用狄拉克符号表示，由 bk k k F k F j j Fkj a j （4.5.17）
以符号 表示一个态矢量，称为刃矢，或简称刃 (ket ) ， 为表示某一个确定的刃矢 A ，常将 A 写在 中 即 A 。由于 量子力学中的波函数可以是复数，或者说，希尔伯特空间是 复空间，因此相应的态矢量是个复矢量。故而除了刃矢
4.5 狄拉克符号
外，还有它的共轭复式，记作 ，称为刁矢，或简称 刁 (bra) 。表示一个确定刁矢 B 的狄拉克符号是 B 。如同 一个复数的实部和虚部是两个独立的部分一样，刃矢和 刁矢也是性质不同的相互独立的矢量。选定表象后，它 们在不同表象中的相应分量互为共轭复数，例如选定 Q 表象，A 在 Q 表象中的分量为 (a1 , a2 , , an ,) ，可将他 们排列成一个列矩阵 a1
ak k
k
（4.5.7） （4.5.8） （4.5.9） （4.5.10）
展开系数 a k 为
ak k
k k
k
代入（4.5.7）式得：
定义算符 Pk 为
Pk k k
4.5 狄拉克符号
它对任何矢量的运算，相当于把这个矢量投影到基矢 k 上 去，使它变成在基矢 k 方向上的分量，即 Pk k k ak k （4.5.11）
a2 a n
* (a1 , a* ,, a* ,) ， 这就是波函数。A 在 Q 表象中的分量 2 n 可将他们排成一个行矩阵。A 是 A 的共轭矢量。
4.5 狄拉克符号
现在讨论如何用狄拉克符号对表示态矢和算符，以 及进行态矢量运算： ① 标量积
在同一表象中，A 和 B 相应的分量的乘积之和称为 A 与 B 的标量积，简称标积。记作
* Sm m ( x) ( x)dx
n n x x dx
Sm m m x dx x
* B A an bn n
（4.5.1） （4.5.2）
显然，标积满足： B A A B
*
若 B A 0，则称态矢量 A 和 B 正交。归一条件为
A A 1
（4.5.3）
4.5 狄拉克符号
若 A 、 B 为某一线性厄米算符 F 对应于本征值 i 和 j 的 本征态，将 A 和 B 分别记为 i 和 j ，则其正交归一条 件为 i j ij （4.5.4）
k
k
k dq q q 1
（4.5.15）
在 Q 表象中，态 和 的标积可写成：
k k ak k
（4.5.14）
k k bk k
k k
k
k
j
jk jk * = bk ak k
j k k
= b* j k k b* jk ak j j
[ k
j
F j k j ] j 0
正交归 一条件
* n ( x)m ( x)dx nm
n m nm
n x x m dx nm
n
( x) an n ( x)
波函数 展开式 幺正变换
n
x x n n
* an n ( x) ( x)dx
k
j
j
F j
j Fkj a j ak
j
[ k
F j k j ] j 0
平均值公式
F F
（4.5.23）
在 Q 表象中，上式写为
F k k F j
j
j
（4.5.24）
4.5 狄拉克符号
④ 表象变换的狄拉克符号表示 设 A 表象的基矢为 m ， 表象的基矢为 ， 在 A 表 B 象中的表示为 （4.5.25） am m 在 B 表象中的表示为 b 虽然有
Fkj k F j * 就是公式 Fkj k F j dx 的狄拉克符号表示。 F 的本征方程 F
所以
（4.5.18）
（4.5.19）
4.5 狄拉克符号
在 Q 表象中的表示是 即 或写成
k F k
（4.5.20） （4.5.21） （4.5.22）
m m
（4.5.26） （4.5.27）
⑤ 对于狄拉克符号，我们列出一个它和普通 x 表象中的 对照表。
4.5 狄拉克符号
一般表示 量子态 波函数
F
狄拉克符号表示
Hale Waihona Puke Baidu
( x)
F ( x, i ) ( x) ( x) x
x
F x F x
Pk 称为投影算符。由（4.5.9） 式可以看出，由于 任意， 有 （4.5.12） k k 1
k
这就是本征函数的完备性。如果在坐标表象下，上式可 写为 （4.5.13） dx x x 1
如果在动量表象下，可写为
dp
p p 1
（4.5.14）
4.5 狄拉克符号
如果在某一本征函数系既有分离谱又有连续谱，完备 性为：
若能谱为连续谱，比方坐标算符 x 的本征矢的正交归一 ˆ 条件是 （4.5.5） x x ( x x)
ˆ 在 动量算符 p的本征矢正交归一条件是
p p ( p p)
（4.5.6）
4.5 狄拉克符号
② 完备系和态矢量的狄拉克符号表示 由于厄米算符 Q 的本征函数组成完备系，因而表示这 些本征函数的刃矢（或刁矢）也组成完备系，记作 { k } （或 { k }）。态矢量 可用这套刃矢展开：
i t H
薛定谔方程
i
( x) H ( x) t
i
x x H t
4.5 狄拉克符号
一般表示
本征方程
狄拉克符号表示
F n n F x n x n
(F
j
F n ( x) n ( x)
kj
kj )a j 0
4.5 狄拉克符号
前面曾经指出，一个量子态相当于一个态矢量。在希尔 伯特空间中选定一组基矢，即选定表象后，它可以用在这组 基矢上的投影即矢量的分量表示，这就是波函数。与高等数 学中表示一个矢量，可以不引入坐标系不用它的分量而直接 用矢量表示相似，在量子力学中表示一个量子态也可以不用 引进具体表象，不用波函数，直接用矢量的符号表示。而且， 还可以直接引进矢量运算，例如标量积等。这就是狄拉克符 号。
jk
（4.5.15）
4.5 狄拉克符号
③ 算符的狄拉克符号表示 算符 F 作用在态矢量 中，得出另一个态矢量
F
（4.5.16）
现在在 Q 表象中将算符 F 用狄拉克符号表示，由 bk k k F k F j j Fkj a j （4.5.17）
以符号 表示一个态矢量，称为刃矢，或简称刃 (ket ) ， 为表示某一个确定的刃矢 A ，常将 A 写在 中 即 A 。由于 量子力学中的波函数可以是复数，或者说，希尔伯特空间是 复空间，因此相应的态矢量是个复矢量。故而除了刃矢
4.5 狄拉克符号
外，还有它的共轭复式，记作 ，称为刁矢，或简称 刁 (bra) 。表示一个确定刁矢 B 的狄拉克符号是 B 。如同 一个复数的实部和虚部是两个独立的部分一样，刃矢和 刁矢也是性质不同的相互独立的矢量。选定表象后，它 们在不同表象中的相应分量互为共轭复数，例如选定 Q 表象，A 在 Q 表象中的分量为 (a1 , a2 , , an ,) ，可将他 们排列成一个列矩阵 a1
ak k
k
（4.5.7） （4.5.8） （4.5.9） （4.5.10）
展开系数 a k 为
ak k
k k
k
代入（4.5.7）式得：
定义算符 Pk 为
Pk k k
4.5 狄拉克符号
它对任何矢量的运算，相当于把这个矢量投影到基矢 k 上 去，使它变成在基矢 k 方向上的分量，即 Pk k k ak k （4.5.11）
a2 a n
* (a1 , a* ,, a* ,) ， 这就是波函数。A 在 Q 表象中的分量 2 n 可将他们排成一个行矩阵。A 是 A 的共轭矢量。
4.5 狄拉克符号
现在讨论如何用狄拉克符号对表示态矢和算符，以 及进行态矢量运算： ① 标量积
在同一表象中，A 和 B 相应的分量的乘积之和称为 A 与 B 的标量积，简称标积。记作
* Sm m ( x) ( x)dx
n n x x dx
Sm m m x dx x
* B A an bn n
（4.5.1） （4.5.2）
显然，标积满足： B A A B
*
若 B A 0，则称态矢量 A 和 B 正交。归一条件为
A A 1
（4.5.3）
4.5 狄拉克符号
若 A 、 B 为某一线性厄米算符 F 对应于本征值 i 和 j 的 本征态，将 A 和 B 分别记为 i 和 j ，则其正交归一条 件为 i j ij （4.5.4）
k
k
k dq q q 1
（4.5.15）
在 Q 表象中，态 和 的标积可写成：
k k ak k
（4.5.14）
k k bk k
k k
k
k
j
jk jk * = bk ak k
j k k
= b* j k k b* jk ak j j
[ k
j
F j k j ] j 0
正交归 一条件
* n ( x)m ( x)dx nm
n m nm
n x x m dx nm
n
( x) an n ( x)
波函数 展开式 幺正变换
n
x x n n
* an n ( x) ( x)dx
k
j
j
F j
j Fkj a j ak
j
[ k
F j k j ] j 0
平均值公式
F F
（4.5.23）
在 Q 表象中，上式写为
F k k F j
j
j
（4.5.24）
4.5 狄拉克符号
④ 表象变换的狄拉克符号表示 设 A 表象的基矢为 m ， 表象的基矢为 ， 在 A 表 B 象中的表示为 （4.5.25） am m 在 B 表象中的表示为 b 虽然有