狄拉克符号
delat函数
delat函数在数学和计算机科学中，"delta" 函数通常指的是克罗内克（Kronecker）delta 函数或者狄拉克（Dirac）delta 函数。
1. 克罗内克（Kronecker）delta 函数：克罗内克delta 函数通常用符号δ(i, j) 表示，其中
i 和j 是整数。
其定义如下：
-当i = j 时，δ(i, j) = 1
-当i ≠j 时，δ(i, j) = 0
在数学和计算机科学中，克罗内克delta 函数通常用于表示矩阵和张量中的特定元素或者进行符号操作。
2. 狄拉克（Dirac）delta 函数：狄拉克delta 函数通常用符号δ(x) 或者δ(t) 表示，其中x 或t 是自变量。
其定义如下：
-当x 或t = 0 时，δ(x) 或者δ(t) = +∞
-当x 或t ≠0 时，δ(x) 或者δ(t) = 0
狄拉克delta 函数在物理学和信号处理中经常用于描述脉冲信号、冲激响应等。
如果你能提供更多上下文或者具体的问题，我可以给出更精确的解释。
22狄拉克符号
ˆ nHψ =E nψ
∑
m
ˆ n H m mψ =E nψ
即
∑H
m
nm
a m = Ea n
七、平均值公式的狄拉克符号表示
在 Q 表象下
* ˆ ˆ F = ψ F ψ = ∑ ψ m m F n n ψ = ∑ am Fmn an
mn
mn
八、表象变换的狄拉克符号表示
表象、 设 A 表象、 B 表象的基矢分别为 m 、α ，则 α = ∑ m m α = ∑ Smα m
m m
其中， 其中，Smα = m α 。 ψ 在 A 表象、 B 表象的表示 表象、
am = m ψ
有
m
bα = α ψ
m
bα = α ψ = ∑ α m m ψ = ∑ Sα m am
其中， 其中，Sα m = α m 。
一般表示与狄拉克符号表示对照表
ψ ψ
xψ ˆ Fψ = φ
ψ ( x)
ˆ Fψ ( x) = φ ( x)
§4-4 狄拉克符号
一个量子态相当于一个态矢量。 一个量子态相当于一个态矢量。在希尔伯特空间中选定一组基 即选定表象后，态矢量可以用在这组基矢上的投影（ 矢，即选定表象后，态矢量可以用在这组基矢上的投影（即矢量的 分量）表示，这就是波函数。 分量）表示，这就是波函数。与数学中表示一个矢量可以不引入坐 标系不用它的分量而直接用矢量表示相似， 标系不用它的分量而直接用矢量表示相似，在量子力学中表示一个 量子态也可以不引进具体的表象，直接用矢量符号表示。 量子态也可以不引进具体的表象，直接用矢量符号表示。这就是狄 拉克符号。 拉克符号。
一、右矢和左矢
量子力学体系的一切可能状态构成一个希尔伯特空间 希尔伯特空间即 1 ． 量子力学体系的一切可能状态构成一个 希尔伯特空间 即 态 空间，态空间包括一个右矢空间和一个相应的左矢空间 右矢空间和一个相应的左矢空间。 空间，态空间包括一个右矢空间和一个相应的左矢空间。 右矢空间中矢量 A 写成 A ，左矢空间的矢量 B 写成 B 。 表示坐标的本征态， 如： x ′ 表示坐标的本征态，对应的本征值为 x′ ； p′ 表示动量的本征态，对应的本征值为 p ′ ； 表示动量的本征态，
P(四章第四讲)狄拉克符号课件
n
n
n
( na*nbn n )* *
n
P(四章第四讲)狄拉克符号
波函数归一化
(,)2d3r*d3r1
本征矢的正交归一化
x | x
x|x' (x',x)(xx') ' （-'）
p |p ') (p ',p )(p ' p ) qq' （q-q'）
n | n
mn(um,un)m n lm |l'm ')(Y l'm ',Y lm )ll' m m '
t
P(四章第四讲)狄拉克符号
定义波函数演化算符：
U ˆ(t,t0)(t0)(t) (1 )
作用于 t 0 时刻的态 (t0 ) 得到t时刻的态 (t )
分析：
（1） Uˆ(t0,t0)I
U ˆ(t0,t0)(t0) (t0),
（2）求它的具体形式
i (t) H ˆ(t)
t
i tU ˆ(t,t0 ) (t0 ) H ˆU ˆ(t,t0 ) (t0 ) P(四章第四讲)狄拉克符号
算符的矩阵
设态矢 经算符 F ˆ 的作用后变成态矢 ,即
Fˆ
|1|nn n
F ˆ n n n
mmF ˆnn n
Fmn mFˆ n
bm Fmnan n
b1 F11 F12
b2
F21
F22
P(四章第四讲)狄拉克符号源自a1 a2Schrödinger方程的矩阵形式
P(四章第四讲)狄拉克符号
态矢量在具体表象中的表示 (x) x (p) p
本征态上的展开系数（投影）
n | n
狄拉克符号
= b*j j k k b*j jk ak
jk
jk
= bk*ak
k
（4.5.15）
4.5 狄拉克符号
③ 算符的狄拉克符号表示
算符 Fµ作用在态矢量 中，得出另一个态矢量
Fµ
（4.5.16）
现在在 Q 表象中将算符 Fµ用狄拉克符号表示，由
bk k k Fµ k Fµ j j Fkja j （4.5.17）
B A anbn*
n
（4.5.1）
显然，标积满足： B A * A B
（4.5.2）
若 B A 0，则称态矢量 A 和 B 正交。归一条件为
A A 1
（4.5.3）
4.5 狄拉克符号
若 A 、 B 为某一线性厄米算符Fµ对应于本征值 i和 j的
本征态，将 A 和 B 分别记为 i 和 j ，则其正交归一条
ak k
k
展开系数 ak 为 ak k
代入（4.5.7）式得： k k
k
（4.5.7） （4.5.8） （4.5.9）
定义算符 Pk 为 Pk k k
（4.5.10）
4.5 狄拉克符号
它对任何矢量的运算，相当于把这个矢量投影到基矢 k 上 去，使它变成在基矢 k 方向上的分量，即
Fµ
薛定谔方程
一般表示
(x)
Fµ(x, ih ) (x) (x)
x
狄拉克符号表示
x
Fµ x Fµ x
ih (x) Hµ (x)
t
ih
Hµ
t
ih x x Hµ
mathtype狄拉克符号
Mathtype狄拉克符号1. 简介Mathtype是一款常用的数学公式编辑器，可以在Microsoft Office等文档中插入各种数学公式。
其中，狄拉克符号（Dirac notation）是一种特殊的数学表示方法，常用于量子力学和量子信息领域。
本文将详细介绍Mathtype中如何使用狄拉克符号。
2. 狄拉克符号的基本表示狄拉克符号由英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）于20世纪提出，用于描述量子力学中的态和算符。
它采用了右尖括号和左尖括号来表示态矢量和其对应的共轭转置，形如|ψ>和<ψ|。
在Mathtype中，可以通过以下步骤插入狄拉克符号： 1. 打开Mathtype编辑器；2. 在编辑器中选择”Insert”（插入）选项；3. 在弹出菜单中选择”Brackets & Delimiters”（括号与分隔符）；4. 在下拉菜单中选择”Angle Brackets”（尖括号）；5. 选择右尖括号”<“，并输入需要表示的态矢量或共轭转置；6. 选择左尖括号”>“，并输入需要表示的态矢量或共轭转置。
例如，表示一个态矢量|ψ>，可以使用以下代码：< | ψ >表示其共轭转置<ψ|，可以使用以下代码：< ψ | >3. 狄拉克符号的运算狄拉克符号不仅可以用于表示态矢量和共轭转置，还可以进行运算。
下面介绍几种常见的运算方法。
3.1 内积（Inner Product）内积是狄拉克符号中常用的一种运算，用于计算两个态矢量之间的相似度。
在Mathtype中，可以通过以下步骤插入内积表达式： 1. 打开Mathtype编辑器； 2. 在编辑器中选择”Insert”（插入）选项； 3. 在弹出菜单中选择”Brackets & Delimiters”（括号与分隔符）； 4. 在下拉菜单中选择”Angle Brackets”（尖括号）； 5. 选择右尖括号”<“，并输入第一个态矢量； 6. 输入一个竖线”|“，用于分隔两个态矢量； 7. 选择左尖括号”>“，并输入第二个态矢量。
用狄拉克符号得到布洛赫定理
用狄拉克符号得到布洛赫定理用狄拉克符号得到布洛赫定理布洛赫定理，即布洛赫-费米定理，是固体物理中一则重要的定理，它给出了晶体中电子波函数的形式。
布洛赫定理是把电子在晶格中的运动看做是在一个周期性势场中自由运动的结果，是一个重要的量子物理学理论基础。
本文通过运用狄拉克符号，来构建布洛赫定理的数学模型。
一、狄拉克符号的介绍狄拉克符号，又称矢量符号，是物理学中常用的一种符号表示法。
它把矢量看成是矢量空间中的一个元素，用一个竖着的线来代替矢量，比如：|V⟩。
此外，狄拉克符号也可以表示矩阵。
比如，一个二维矩阵A，就可以表示为|A⟩。
二、量子力学的基本原理量子力学中，所有的物理量都可以用算符表示。
一个物理量的算符作用在一个态矢上，会得到一个新的态矢，表示测量这个物理量得到的结果。
例如，测量位置的算符是x，它作用在一维的波函数ψ(x)上，得到一个新的波函数xψ(x)，表示测量位置得到的结果。
三、周期性势场中的问题考虑一个周期性势场中的电子，该势场的形式可以表示为V(x+a)=V(x)，其中a是晶格常数。
电子在这个势场中自由运动，它的波函数ψ(x)随着位置的改变而改变。
由于势场的周期性，我们可以把它看做是在无限重复的晶格中运动，而不是在一个单独的晶胞中运动。
这时，波函数可以表示为：ψ(x)=e^(ikx)u(x)其中，u(x)是一个周期性函数，它的形式是以晶格为单位，也就是u(x+a)=u(x)。
k是波矢，它的形式是k=n(2π/a)，其中n是一个整数。
四、狄拉克符号的运用现在，我们使用狄拉克符号来表示这个波函数。
因为波函数是一个矢量，我们可以用竖线来表示它，而波矢k也是一个矢量，同样可以用竖线表示，即|k⟩。
那么，上式就可以写成：|ψ⟩=e^(ikx)|u⟩其中|u⟩表示周期性部分的波函数。
此外，我们可以把晶格看做一个群，对这个群进行群表示，那么对于任意一个对称操作，我们都可以用一个矩阵来表示它。
而这个矩阵作用在波函数上，会得到一个新的波函数。
狄拉克(Dirac)符号
< n | F | ψ >=< n | ϕ > < n | ϕ >= ∑ < n | F | m >< m | ψ >= ∑ Fnm < m | ψ >
m m
∧
注意 ： ）式是抽象的算符方程 ， ） ）式是具体表象中的算符方程， 意： （ 24 24） 程， （ 25 25） ， （ 26 26） < m | ψ >, < n | ϕ > 是算符作用前、后的态矢在 {| n >}表象中的分量， Fnm 也是具体表象中 的矩阵元。 1.4.2 连续谱 （1）算符作用在基矢 | λ > 上
（6）
n
这里 < B | A >=< A | B > * 1.2 基矢的狄拉克符号表示 1.2.1 离散谱
| n >, | λ > 仍为抽象的本征矢
力学量完全集的本征函数 {u n } 具有离散的本征值 {Qn }时，对应的本征矢 | 1 >, | 2 >,⋯ | n > 或 | nlm > 等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ | 1 >= ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ | 2 >= ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ | n >= ⎜ 1 ⎟ ← 第 n 行 ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ （8）
∧ ∧
） （29 29） （30 ） 30） ） （31 31）
< λ ′ | ϕ >=< λ ′ | F | ψ >
< λ ′ | ϕ >= ∫ | < λ ′ | F | λ > dλ < λ | ψ >= ∫ Fλ ′λ < λ | ψ > dλ 例如 < x ′ | ϕ >=< x ′ | F | ψ >= ∫ Fx′x < x | ψ > dx 即为 x 表象中方程
量子力学知识：量子力学与狄拉克符号
量子力学知识：量子力学与狄拉克符号这篇文章并不是关于费恩曼讲义书中任何一章的笔记，只是单独的一篇讲狄拉克符号含义和用法的文章。
我在看书的过程中对狄拉克这个简洁又多功能的符号产生过很多疑惑，今天就尝试将这些疑惑和自己找到的答案写出来，希望对其他同学有些许帮助。
如果大家有发现错误也希望可以进行批评指正。
狄拉克符号在量子力学中是一个很神奇的符号，它的外观非常的简洁、洋气，在量子力学中的作用就像路标对开车的作用一样重要，所以受到大量学习量子力学的人的喜爱。
其含义非常简单，最基本的狄拉克符号如下所示<状态2|状态1>狄拉克符号是从右往左看的，<状态2|状态1>表示的是从状态1到状态2的概率幅（关于概率幅的含义可以看我之前的推送量子力学笔记——电子在晶格中的传播）。
状态(state)在量子力学可以用来表示很多信息，比如一个粒子它处于某一位置可以称为处于某一状态，相应的它的特定的动量、角动量等信息都可以描述为状态（因为更多人直接称之为“态”，所以下文会直接简写为态）。
值得注意的是，态是矢量，具有方向性，<态2|为左矢量，|态1>为右矢量。
狄拉克符号还可以有各种“拆卸组装转换”的方法：1、狄拉克符号可以拆分成局部，比如：<态2|，或者|态1>拆分好处一来可以减少字数，二来空缺的那一部分要补充时可以填入任何态，增加使用的灵活性。
2、狄拉克符号还可以连着使用，比如：<态3|态2><态2|态1>表示为态1到态2，然后从态2再到态3的概率幅。
3、狄拉克符号转换前后位置时需要取复数共轭：<态2|态1> = <态1|态2>*（变换的原理会在下文讲到）4、狄拉克符号还可以量化两个状态跳转的过程：<态2|Q|态1>Q的含义为一个算符(operator)，意思是态1经过算符变换到态2，这个算符可以是施加外力、旋转、使粒子穿过一个特殊设备、甚至静置一段时间，等等……对比一下同样表示概率幅的波函数，狄拉克符号没有像指数、复数这些复杂的东西，而且可以任意“拆分组装”，所以显得非常友好。
第四章 狄拉克符号2
n
（16）
| n 表象中的分
a1 1 | a2 2 | | an n |
（17）
相应的左矢
* | a1
2
（36）
e
i p r
pr dr U (r ) (r r )dr e
i
1 ( p p ) r U ( r )e dr U ( p p ) 3 (2) i
（38）
•
x 表象中
x | x u ( x) ( x x)
px 1 p | x u p ( x) e (2)1 / 2 i
• 动量表象中
• 同理
x | n u n ( x)
p | n u n ( p)
x | nlm nlm (r , , )
i
n | n 1
§4-5狄拉克符号
态矢在Q 四、态矢在Q表象中投影 （1）Discrete Spectrum ）
| Ψ >= ∑ a n un >
n
⇔ Ψ ( x,t) =
∑a
n
n
( t )un ( x )
上式左乘<m| 上式左乘
< m Ψ >=
=
∑a
n
n
< m n>
∑
n
a nδ m n
= am
所 以 ， 态 矢 量 |ψ > 在 Q 表 象 中 投 影 为 ： a m＝ < m Ψ > （ 离 散 谱 ）
态矢(波函数） 二、态矢(波函数）的狄拉克表示
本征态矢量（本征函数） ２．本征态矢量（本征函数） 离散谱） （1）Discrete Spectrum （离散谱）{un(x)} ） |un(x)> |n> 例如１ 线性谐振子哈密顿算符的本征函数为 例如１：线性谐振子哈密顿算符的本征函数为ψn(x) 用狄拉克符号可以表示为： 用狄拉克符号可以表示为： |n> 例如２ 氢原子哈密顿算符的本征函数为 例如２：氢原子哈密顿算符的本征函数为:ψnlm 用狄拉克符号可以表示为： 用狄拉克符号可以表示为： |nlm> |200>态 能量为Ｅ 如果氢原子处于 |200>态，能量为Ｅ２；角动 量为： 角动量Ｌ 量为：l(l+1)ħ＝０;角动量Ｌz=mħ＝０
< n n' > = δ nn' ⇔ ∫ u* um dx = δ nm n
本征函数正交归一化方程
例如：线性谐振子哈密顿算符的本征函数为 例如：线性谐振子哈密顿算符的本征函数为ψn(x) 则内积可以写为： 则内积可以写为：
P四章第四讲狄拉克符号
狄拉克：
要这么复杂吗？我认为量子力学的波函数，算符和定律 等与具体表象无关。
1. 狄拉克(Dirac)符号
定义：左矢(bra)、右矢(ket) （源于词：bracket）
A *(rr )Aˆ (rr )drr ( , Aˆ ) Aˆ
t
ih m m Hˆ
t
m Hˆ 1
m Hˆ n n n
ih t am n Hmnan
平均值公式1的矩阵形式
F Fˆ 1 Fˆ 1
m m Fˆ n n mn
am* Fmnan mn
平均值公式2的的矩阵形式
( , ) 2 d 3r * d 3r 1
本征矢的正交归一化
x | x
x | x ' ( x', x ) (x x ') pr | pr ') ( pr ', pr ) ( pr ' pr )
n | n m n (um , un ) mn
量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
光电信息学院 李小飞
第四章：表象与矩阵力学
第四讲：狄拉克(Dirac)符号
引入：一对奇妙的组合
狄拉克：沉默寡 言，追求精确。
剑桥大学同事 定义了“一个小 时说一个字”为 一个“狄拉克” 单位
海森堡：活泼开 朗，喜唱歌跳舞， 是团队中的开心 果。
F | an |2 fn n n Fˆ n
4.5狄喇克符号
∑
n
a n ( t )un ( x )
an (t ) =
∫u
n
n
* ( x ) Ψ ( x . t ) dx
即为
| ψ >= ∑ an | u n >
an = un Ψ
所以
| ψ >= ∑ an | u n >|= ∑ | u n >< u n | ψ >
n n
| ψ >= ∑ an | u n >|= ∑ | u n >< u n | ψ >
n n
所以
∑
n
| un >< un |= 1
上式即为本征矢的封闭性.
B | 。刃和
刁是两种性质不同的矢量，两者不能相加， 刁是两种性质不同的矢量，两者不能相加，它们在同一种
态矢量在Q表象中的分解是 态矢量在 表象中的分解是
ψ = ∑ cnun
n
ψ = ∑ cn n ,
n
基δ mn
*
m n = δ mn ,
平均值公式是: 平均值公式是:
|
微观体系的状态可以用一种矢量来表示， 微观体系的状态可以用一种矢量来表示，它的符号是 称为刃矢 右矢） 简称为刃 刃矢（ ，称为刃矢（右矢），简称为刃，表示某一确定的刃 称为刁矢 左矢） 刁矢（ | ，称为刁矢（左矢），
矢A，可以用符号 | A 。微观体系的状态也可以用另一种 ， 矢量来表示， 矢量来表示，这种矢量符号是 简称为刁 表示某一确定的刁矢 可以用符号 简称为刁。表示某一确定的刁矢B可以用符号 表象中的相应分量互为共厄复数。 表象中的相应分量互为共厄复数。
§4.4 狄喇克(Dirac)符号
量子力学教程 第二版 4.5 狄拉克符号
ˆ H n E n n ；没表象
ˆ x , x , t dx ；基本公式的通常写法 4 F x, t F i x ˆ x F x F x dx ； 表象的 Dirac 表示
ˆ F F ； 没表象
5 u m x u n x dx mn ；基本公式的通常写法
表示为 m ，其正交归一性为： , m ' , m ' ' mm'
4.封闭性 (a)连续谱情况：任何一态矢 A 在坐标表象中用波函数 x ' , t
描写， x ' , t x ' A 就是刃 A 在 x 表象中的分量。
ˆ 由于 x 在自身表象中的基矢 x ' x x ' 组成完全系，则 A
ˆ B m m B mFA
n
n
ˆ mFn
nA
ˆn nA m F n
ˆ ˆ A n n F m A F m
F
nm
Fmn
而 m 是任意的
ˆ 所以 B A F ˆ 此即为 B F A 的共轭式。
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 注：当F 为厄米算符，即F F 时， B A F 写为 B A F 。
n n
解释：将刁矢 x 左乘、刃矢x '
右乘 n n 1 两边得：
n
n
x n n x' x x' x x'
即： u x ' u n x x x ' n
n
量子力学12
∫u (x)u (x)dx = δ → n | m = δ ψ(x) = ∑a u (x) → ψ = ∑ n n |ψ
* n m nm nm
n n n n
* an = ∫ un (x) (x)dx → n |ψ = ∫ n | x dx x |ψ ψ
二、线性谐振子与占有数表象
线性谐振子的能量本征方程， 线性谐振子的能量本征方程，求得它的能级为
∧
F | Fj = δij i
F的本征值组成连续谱 F ，则 λ
F | F ' = δ (λ − λ' ) λ λ
∧
为表示某一状态的右矢， 设 Α 为表示某一状态的右矢，这个态在 x表象中 描写， 以波函数 Ψ(x, t) 描写，Ψ(x, t)就是右矢 Α 在 x 表象 ' Α 可以按 x 展开： 中的分量， 展开： 中的分量，
0 0 N = 0 0 L
不用具体表象，上两式写为 不用具体表象，
∧
+
a n = n n −1 a n = n +1 n +1
∧ +
∧
n ，n−1和 n+1都是谐振子哈密顿算符 H的本征矢， 1 En = 可知+ ) hω(n 分别对应于本征值 ， En和 n−1 。由 En+1 E 2 1 hω h 倍加零点能 能量 等于 的 ω n 。谐振子的能量 En 2 hω hω 只能以 为单位改变，这个能量单位 可以看作一 n 表示体系在这个态中有几个粒子。 个粒子。本征态 ∧ n n− 经算符 作用后，体系由状态 变到状态 即粒子 1 a ∧ 数减少一个，所以 称为粒子的湮灭算符，同理 a ∧ + 称为粒子的产生算符。 a
P(四章第四讲)狄拉克符号
ˆ (t ), H ˆ ˆ (t )] A 则 d A(t ) 1 [ A dt i t
(4)
上式称为Heisenberg方程。
3）狄拉克（Dirac）绘景与狄拉克方程 也称相互作用绘景（I绘景），他把哈密顿量 分解成两部分（比如：能精确求解的和含微扰的 哈密顿量；也称不含时的和含时的哈密顿量）
展开系数构成坐标矩阵
3、描述量子力学的波函数、算符和定律等在不同表象中虽具有 不同的矩阵形式，却可相互转换（幺正变换）
狄拉克：
要这么复杂吗？我认为量子力学的波函数，算符和定律 等与具体表象无关。
1. 狄拉克(Dirac)符号 定义： 左矢(bra)、右矢(ket) （源于词：bracket）
ˆ (r )dr ( , A ˆ) A ˆ A (r )A
定义波函数演化算符：
ˆ (t , t ) (t ) (t ) U 0 0
分析： ˆ (t , t ) I （1） U 0 0
(1)
作用于 t0 时刻的态 (t0 ) 得到t时刻的态 (t )
ˆ (t , t ) (t ) (t ), U 0 0 0 0
（2）求它的具体形式 ˆ (t ) i (t ) H t ˆ ˆ ˆ (t , t ) (t ) i U (t , t0 ) (t0 ) HU 0 0 t
*量子力学到经典力学的过渡
在海森堡绘景中，只是算符随时间深化，现考察自由粒子的位 置算符随时间的演化
现令t0=0
d 1 1 iHt / 2 iHt / r (t ) [ r (t ), H ] e [ r , p / 2 m]e dt i i p iHt / p iHt / e e m m
量子力学课件：4.5 狄拉克符号
*(x)F (x,
i
) (x
x
x) (x)dxdx
*(x)Fˆ (x)dx
四、表象变换
设 A表象：基矢为 n, 任一量子态 an n
n
B表象：基矢为 , 同一量子态 b
n
A表象 → B表象
量子态 an n
b
因为 b n n Snan
n
n
故 b Sa
n
封闭性
uq* ( x)uq ( x)dq ( x x)
公式
( x, t ) Fˆ ( x, pˆ x )( x, t )
本征方程
Fˆ
(r ,
pˆ )
(r )
(r )
平均值
F *Fˆdx
矩阵元 S 方程
Fmn
* m
Fˆ
n
dx
i
(r , t)
Hˆ (r,i)(r, t )
t
Dirac 符号
（1）F^算符
设 B Fˆ A 取 Q 表象：
①设Q具有分立本征谱,则基矢 Qn 或 n
B n n B bn n
n
n
A n n A an n
n
n
n n B Fˆ n n A
n
n
以 m左乘上式 ，再利用 m n mn
m n n B m Fˆ n n A
n
n
m B m Fˆ n n A
具体的态矢量： A , , En
③ 左矢与右矢的关系
是A 的A共轭矢量，即它们在同一表象中的 相应分量互为共轭复数
是 的共轭矢量
En 是 En的共轭矢量
2．左矢与右矢的标积
①定义： B A a1b1 a2b2 anbn anbn
9第4章概念1-狄拉克符号、矩阵表示、表象变换
则 因此
ˆ ψ 1 F ψ 2 = λ2 ψ 1 ψ 2
ˆ ψ 1 F ψ 2 = λ1 ψ 1 ψ 2
ψ1 ψ 2 = 0
7.基矢组
1 、 、 、 、 为态矢空间中一组正交归一完备基矢组，则 2 ⋯ n ⋯ 为态矢空间中一组正交归一完备基矢组，
k n = δ kn
ψ = ∑ an n
n
n
ˆ A∑ cn ψ n
ˆ ˆ 都没有意义。 A ψ 和 ψ A都没有意义。
n
ˆ ψ B= Ψ ˆ = ∑ cn A ψ n
n
4.左矢和右矢互为共轭 + ψ = ψ
+
ψ
+
=ψ
* cn ψ n = ∑ cn ψ n ∑ n n
因为 又 所以
(
ˆˆ BA ψ
) ( ) ˆˆ ( BA ψ ) = ψ
n n
ˆ Lkn = k L n
ˆ 表象中的矩阵元。 即 L 在F表象中的矩阵元。 表象中的矩阵元 表象中， 在F表象中，对任意态矢 ψ ，有 表象中
ak Lkn an L= ψ L
k ,n
k ,n
* = ( a1
* a2
L11 ⋯) L21 ⋯
ˆ Fkn = Fnδ kn = k F n
ˆ 表象中的矩阵表示如何？ 另一力学量算符 L 在F表象中的矩阵表示如何？ 表象中的矩阵表示如何 ˆ ˆ 若 L ψ = Φ 且 F n = Fn n 有
ψ = ∑ an n
n
an = n ψ
bk = k Φ
Φ = ∑ bk k
k
则算符方程的矩阵表示为 L11 L12 ⋯ ⋯ Lk1 Lk 2 ⋯ ⋯ 所以
狄拉克符号(Dirac)
狄拉克符号（Dirac ）1狄拉克符号量子体系状态的描述，前述波动力学和矩阵力学两种方法，其共同特点是：与体系有关的所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合，而展开系数模平方具有力学量概率的含义。
问题：能否不从单一角度描述体系，而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量--态矢，并引进了一套“狄拉克符号”，简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。
1.1狄拉克符号的引入 1.1.1 态空间任何力学量完全集的本征函数系{})(x u n 作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例），微观体系的状态波函数ψ作为该空间的一个态矢，有∑=nn n u a ψ （1）n a 即为态矢ψ在基矢n u 上的分量，态矢ψ在所有基矢{}n u 上的分量{}n a 构成了态矢在{}n u 这个表象中的表示（矩阵）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= n a a a 21ψ () ,,,,**2*1n a a a =+ψ （2） 微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间注意：（1）式中的n u 只是表示某力学量的本征态，而抛开其具体表象；（2）式的右方是ψ的{}n u表象1.1.2 态空间中内积（标积）的定义设态空间中两个任意态矢A ψ与B ψ在同一表象{}n u 中的分量表示各为{}n a 与{}n b ，则两态矢内积的定义为()∑=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n n n n n B A b a b b b a a a *21**2*1,,,, ψψ （3）注意：A B B Aψψψψ++≠ 1.1.3狄拉克符号的引入态空间中的ψ与+ψ在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间⇒伴随空间 引入符号>，称为右矢 [Ket 矢，Bra 矢（Bracket 括号><）]微观体系的一个量子态ψ用>ψ表示，>ψ的集合构成右矢空间，>ψ在右矢空间中的分量表示可记为矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=> n a a a 21ψ （4）约定：右矢空间的态矢 ,,,B A ψψψ一律用字母 ,,,>>>B A ψψψ表示力学量的本征态矢一律用量子数 ,,,2,1>>>>nlm n ，或连续本征值>λ表示 引入符号 <，称为左矢 微观体系的一个量子态ψ也可用ψ<表示，但在同一表象中>ψ与ψ<的分量互为共轭复数(),,,,**2*1n a a a =<ψ （5）ψ<的集合构成左矢空间引入狄拉克符号后，任意两个态矢>>B A ,的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分量之积的和∑=++>=<nn n n n b a b a b a A B ***11| （6）这里*||>>=<<B A A B >>λ|,|n 仍为抽象的本征矢1.2 基矢的狄拉克符号表示 1.2.1 离散谱力学量完全集的本征函数{}n u 具有离散的本征值{}n Q 时，对应的本征矢>>>n |,2|,1| 或>nlm |等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= 0011| ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛>= 0102| …… ←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= 010|n 第n 行 （7）（1）基矢具有正交归一性 mn n m δ>=<| （8） （2）展开定理 ∑>>=nn n a ||ψ （9）两边同时左乘|m <得∑∑==><>=<nm mn n nn a a n m a m δψ|| （10）说明展开系数是态矢在基矢上的分量 （3）封闭性 把>=<ψ|n a n 代入>ψ|中得，><>>=∑ψψ|||n n n所以1||=<>∑n n n（11）称为基矢的封闭性 ※狄拉克符号运算中非常重要的关系式 1.2.2 连续谱当力学量本征值构成连续谱λ时，对应的基矢记为{}>λ|（1）正交归一性 )(|λλδλλ'->='< （12） （2）展开定理 ⎰'>'>=λλψλd a || （13） >=<ψλλ|a （14） （3）封闭性 1||=<>⎰λλλd （15）注意： >>>λ|,|,|nlm n 只表示某力学量抽象的本征矢，例如>'x |只表示本征值为x '的力学量x 的本征矢，而具体的基矢形式为：x 表象中)()(|x x x u x x '-=>='<δ，动量表象中px ip e x u x p-=>=<2/1)2(1)(|π，同理 )(|x u n x n >=< )(|p u n p n >=< 1|>=<n n ),,(|ϕθψr nlm x nlm >=< px ie p x2/1)2(1|π>=<1.3 态矢在基矢下的形式 1.3.1 离散谱基矢为{}>n |，态矢记为>ψ|或 ,|,|>>B A ，用基矢展开><>>=⋅>=∑ψψψ|||1|n n n（16）展开系数>=<ψ|n a n 构成>ψ|在>n |表象中的分量，也可写成⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛><><><=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>=ψψψψ||2|1|21n a a a n （17） 相应的左矢 ∑><<=<nn n |||ψψ （18）()()><><><==<n a a a n |2|1||**2*1ψψψψ （19）1.3.2 连续谱⎰><>>=ψλλλψ|||d （20） 或 ⎰<><=<|||λλλψψd （21）1.3.3 注意：>ψ|只表示一个抽象的态矢，只有),(|t x x ψψ>=<为x 表象的波函数；n a n >=<ψ| 为>n |表象的波函数1.4 线性厄米算符的作用 1.4.1 离散谱（1）算符作用在基矢上∑∑>>=><>=∧∧nnnm n F m F n n m F ||||| （22）算符矩阵元 >=<∧m F n F nm || （23） （2）算符作用在态矢上（算符方程）>>=∧ϕψ||F （24） 即有 >>=<<∧ϕψ|||n F n （25） 或 ∑∑><>=><<>=<∧mmnm m F m m F n n ψψϕ||||| （26）注意：（24）式是抽象的算符方程，（25），（26）式是具体表象中的算符方程，><><ϕψ|,|n m 是算符作用前、后的态矢在{}>n |表象中的分量，nm F 也是具体表象中的矩阵元。
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n n x x dx
Sm m m x dx x
4.5 狄拉克符号
前面曾经指出，一个量子态相当于一个态矢量。在希尔 伯特空间中选定一组基矢，即选定表象后，它可以用在这组 基矢上的投影即矢量的分量表示，这就是波函数。与高等数 学中表示一个矢量，可以不引入坐标系不用它的分量而直接 用矢量表示相似，在量子力学中表示一个量子态也可以不用 引进具体表象，不用波函数，直接用矢量的符号表示。而且， 还可以直接引进矢量运算，例如标量积等。这就是狄拉克符 号。
* B A an bn n
（4.5.1） （4.5.2）
显然，标积满足： B A A B
*
若 B A 0，则称态矢量 A 和 B 正交。归一条件为
A A 1
（4.5.3）
4.5 狄拉克符号
若 A 、 B 为某一线性厄米算符 F 对应于本征值 i 和 j 的 本征态，将 A 和 B 分别记为 i 和 j ，则其正交归一条 件为 i j ij （4.5.4）
i t H
薛定谔方程
i
( x) H ( x) t
i
x x H t
4.5 狄拉克符号
一般表示
本征方程
狄拉克符号表示
F n n F x n x n
(F
j
F n ( x) n ( x)
kj
kj )a j 0
Pk 称为投影算符。由（4.5.9） 式可以看出，由于 任意， 有 （4.5.12） k k 1
k
这就是本征函数的完备性。如果在坐标表象下，上式可 写为 （4.5.13） dx x x 1
如果在动量表象下，可写为
dp
p p 1
（4.5.14）
4.5 狄拉克符号
如果在某一本征函数系既有分离谱又有连续谱，完备 性为：
j j
Fkj k F j * 就是公式 Fkj k F j dx 的狄拉克符号表示。 F 的本征方程 F
所以
（4.5.18）
（4.5.19）
4.5 狄拉克符号
在 Q 表象中的表示是 即 或写成
k F k
（4.5.20） （4.5.21） （4.5.22）
以符号 表示一个态矢量，称为刃矢，或简称刃 (ket ) ， 为表示某一个确定的刃矢 A ，常将 A 写在 中 即 A 。由于 量子力学中的波函数可以是复数，或者说，希尔伯特空间是 复空间，因此相应的态矢量是个复矢量。故而除了刃矢
4.5 狄拉克符号
外，还有它的共轭复式，记作 ，称为刁矢，或简称 刁 (bra) 。表示一个确定刁矢 B 的狄拉克符号是 B 。如同 一个复数的实部和虚部是两个独立的部分一样，刃矢和 刁矢也是性质不同的相互独立的矢量。选定表象后，它 们在不同表象中的相应分量互为共轭复数，例如选定 Q 表象，A 在 Q 表象中的分量为 (a1 , a2 , , an ,) ，可将他 们排列成一个列矩阵 a1
ak k
k
（4.5.7） （4.5.8） （4.5.9） （4.5.10）
展开系数 a k 为
ak k
k k
k
代入（4.5.7）式得：
定义算符 Pk 为
Pk k k
4.5 狄拉克符号
它对任何矢量的运算，相当于把这个矢量投影到基矢 k 上 去，使它变成在基矢 k 方向上的分量，即 Pk k k ak k （4.5.11）
[ k
j
F j k j ] j 0
正交归 一条件
* n ( x)m ( x)dx nm
n m nm
n x x m dx nm
n
( x) an n ( x)
波函数 展开式 幺正变换
n
x x n n
* an n ( x) ( x)dx
若能谱为连续谱，比方坐标算符 x 的本征矢的正交归一 ˆ 条件是 （4.5.5） x x ( x x)
ˆ 在 动量算符 p的本征矢正交归一条件是
p p ( p p)
（4.5.6）
4.5 狄拉克符号
② 完备系和态矢量的狄拉克符号表示 由于厄米算符 Q 的本征函数组成完备系，因而表示这 些本征函数的刃矢（或刁矢）也组成完备系，记作 { k } （或 { k }）。态矢量 可用这套刃矢展开：
m m
（4.5.26） （4.5.27）
⑤ 对于狄拉克符号，我们列出一个它和普通 x 表象中的 对照表。
4.5 狄拉克符号
一般表示 量子态 波函数
FBiblioteka 狄拉克符号表示
( x)
F ( x, i ) ( x) ( x) x
x
F x F x
k
k
k dq q q 1
（4.5.15）
在 Q 表象中，态 和 的标积可写成：
k k ak k
（4.5.14）
k k bk k
k k
k
k
j
jk jk * = bk ak k
j k k
= b* j k k b* jk ak j j
a2 a n
* (a1 , a* ,, a* ,) ， 这就是波函数。A 在 Q 表象中的分量 2 n 可将他们排成一个行矩阵。A 是 A 的共轭矢量。
4.5 狄拉克符号
现在讨论如何用狄拉克符号对表示态矢和算符，以 及进行态矢量运算： ① 标量积
在同一表象中，A 和 B 相应的分量的乘积之和称为 A 与 B 的标量积，简称标积。记作
jk
（4.5.15）
4.5 狄拉克符号
③ 算符的狄拉克符号表示 算符 F 作用在态矢量 中，得出另一个态矢量
F
（4.5.16）
现在在 Q 表象中将算符 F 用狄拉克符号表示，由 bk k k F k F j j Fkj a j （4.5.17）
k
j
j
F j
j Fkj a j ak
j
[ k
F j k j ] j 0
平均值公式
F F
（4.5.23）
在 Q 表象中，上式写为
F k k F j
j
j
（4.5.24）
4.5 狄拉克符号
④ 表象变换的狄拉克符号表示 设 A 表象的基矢为 m ， 表象的基矢为 ， 在 A 表 B 象中的表示为 （4.5.25） am m 在 B 表象中的表示为 b 虽然有