高中数学解析几何专题及典型例题

解析几何专题

高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识, 这点值得考生在复课时强化.

例1 已知点T 是半圆O 的直径AB 上一点，AB=2、OT=t (0

(1)写出直线B A ''的方程； （2）计算出点P 、Q 的坐标；

（3）证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q.

讲解: 通过读图, 看出'

'

,B A 点的坐标.

(1 ) 显然()t A -1,1', ()，

，‘

t B +-11 于是 直线B A '' 的方程为1+-=tx y ；

（2）由方程组⎩⎨⎧+-==+,

1,122tx y y x

解出 ),(10P 、),(22

21112t t t t

Q +-+；

（3）t

t k PT 1001-=--=,

t t t t t

t t t t k QT

11112011222

22

=--=-+-+-=)(. 由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q.

需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

例2 已知直线l 与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 有且仅有一个交点Q ，且与x 轴、y 轴分别交于R 、S ，求以

线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程．

讲解：从直线l 所处的位置, 设出直线l 的方程,

由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(≠+=k m kx y 代入椭圆方程，222222b a y a x b =+ 得

.)2(22222222b a m kmx x k a x b =+++ 化简后，得关于x 的一元二次方程

.02)(222222222=-+++b a m a mx ka x b k a

于是其判别式).(4))((4)2(222222222222222m b k a b a b a m a b k a m ka -+=-+-=∆ 由已知，得△=0．即.2222m b k a =+ ①

在直线方程m kx y +=中，分别令y=0，x =0，求得).,0(),0,(m S k

m

R -

令顶点P 的坐标为（x ，y ）， 由已知，得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.,.,y m x y k m y k m x 解得 代入①式并整理，得 12

2

22=+y

b x a , 即为所求顶点P 的轨迹方程．

方程12

2

22

=+y

b x

a 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?

例3已知双曲线12222=-b

y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值. 讲解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-b

y a x 的距离.

3,1.2322==∴==+=a b c ab

b a ab d .

故所求双曲线方程为 .13

22

=-y x

（2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则

.

11,315

5311520020

02210k

x y k k kx y k k x x x BE

-=+=-=+=⋅-=+= ,000=++∴k ky x

即

7,0,0315311522

2=∴≠=+-+-k k k k

k k k 又 故所求k=±7.

为了求出k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构k 的方程.

例4 已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 为椭圆上的一个动点，且∠F 1PF 2的最大值为90°，直线l 过左焦点F 1与椭圆交于A 、B 两点，△ABF 2的面积最大值为12． （1）求椭圆C 的离心率； （2）求椭圆C 的方程．

讲解：（1）设 112212||,||,||2PF r PF r F F c ===对,21F PF ∆ 由余弦定理, 得

1)2

(2441244242)(24cos 2

212

22

12221221221212221121-+-≥--=--+=-+=∠r r c a r r c a r r c r r r r r r c r r PF F

0212=-=e ， 解出 .2

2=e

（2）考虑直线l 的斜率的存在性，可分两种情况：

i) 当k 存在时，设l 的方程为)(c x k y +=………………① 椭圆方程为),(),,(,1221122

22y x B y x A b

y a x =+

由.2

2=e 得 2222,2c b c a ==.

于是椭圆方程可转化为 222

220x y c +-=………………②

将①代入②，消去y 得 02)(22222=-++c c x k x ,

整理为x 的一元二次方程，得 0)1(24)21(22222=-+++k c x ck x k . 则x 1、x 2是上述方程的两根．且

2

21221122||k k c x x ++=

-，

2

2122

21)1(22||1||k k c x x k AB ++=

-+=，

AB 边上的高,1||2sin ||2

2121k k c F BF F F h +⨯

=∠=

c k

k k k c S 21||)211(2221222

+++=

.

2141224412221||12222

42

4

2422

2

22

c k k c k k k k c k k k c

<++

=+++=++=

ii) 当k 不存在时，把直线c x -=代入椭圆方程得

2,||,2y c AB S =±

== 由①②知S 的最大值为22c 由题意得22c =12 所以2226b c == 2122=a

故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为： .12

62122

2=+y x

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：c my x -=…………① （这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）

也可这样求解：