《导数概念》教学设计

h0
h
h0
h
1
hh
= lim 2 cos(x + ) sin
h0 h
22
=
lim cos(x+
h0
h2)
sin h
h 2
=
cosx

2
2.求导数举例
(C)=0
(1) = 1 x x2
(
x) = 1 2x
(x ) = x1
(sin x)=cos x 同理可得(cos x)=sin x
f (x0)

f
(x0)
=
lim
h0
f (x0 +h) f (x0) h
= lim xx0
f (x) f (x0) x x0

例1 求函数y=x2在点x=2处的导数
解 f (2)= lim f (2+x) f (2) = lim (2+x)2 22
x0
x
Байду номын сангаас
x0
x
= lim (4+x)=4 x0
=ax 1 =ax ln a loga e
2.求导数举例
(C)=0
(1) = 1 x x2
(
x) = 1 2x
= lim xx0
f (x) f (x0) x x0

•导函数的定义
如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值
则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数
简称导数 记作
y f (x)
dy dx

或
df (x) dx

提问: 导函数的定义式如何写? f (x0)与f (x)是什么关系?
•导数的其它定义式
dy 或 df (x)
dx x=x0
dx x=x0
f
(x0)
=
lim
h0
f
(x0 +h) h
f
(x0)

f
(x0)
=
lim
xx0
f (x) f (x0) x x0

导数的定义式:
f
(x0)
=
lim
x0
y x
= lim x0
f
(x0 +x) x
§2.1 导数概念
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系
1.直线运动的速度
一、引例
设动点于时刻在直线上所处的位置为s，于是s=f(t)， 称此函数为位置函数。该如何定义动点在某一时刻的 瞬时速度呢?
2.切线问题
求曲线y=f(x)在点M(x0 y0)处的切线的斜率
1 1 x+h x
h0
h
h0 h
= lim h = lim 1 = 1 h0 h(x + h)x h0 (x + h)x x2
2.求导数举例
(C)=0
(1) = 1 x x2
(
x) = 1 2x
(x ) = x1
例例34 求 f (x)= x 的导数
例5 求函数f(x)=x n (n为正整数)在x=a处的导数
解解 f
(a) = lim
xa
f (x) f (a) xa
= lim xn an xa xa
= lim (xn1+axn2+ +an1) =nan1
xa
把以上结果中的a换成x得f (x)=nxn1 即(xn)=nxn1
x0
x
二、导数的定义
1.函数在一点处的导数与导函数
导数的定义
设函数y=f(x)在点 x0的某个邻域内有定义 如果极限
f
(x0
)
=
lim
x0
y x
= lim x0
f
(x0 +x) x
f (x0)

存在 则称函数f(x)在点x0处可导 并称此极限值为函数
f(x)在点x0处的导数 记为f (x0) 即
解解 f (x)=lim f (x+h) f (x) =lim x+h x
h0
h
h0
h
= lim
h
=lim 1 = 1
h0 h( x+h + x) h0 x+h + x 2 x
2.求导数举例
(C)=0
(1) = 1 x x2
(
x) = 1 2x
(x ) = x1
在曲线上另取一点N(x0+x y0+y) 作割线MN
设其倾角为j 观察切线的形成
当x0时 动点N将沿曲线趋向于定点M 从而割线 MN也将随之变动而趋向于切线MT
此时割线MN的斜率趋向 于切线MT的斜率
tan = lim tanj = lim y
x0
x0 x
= lim f (x0 +x) f (x0)
2.求导数举例 例2 求函数f(x)=C 的导数(C为常数)
解解 f (x) = lim f (x+h) f (x) = lim C C =0
h0
h
h0 h
即 (C)=0
例例23
求 f (x)= 1 的导数 x
解
f (x)=lim
f (x+h) f (x) =lim
或
f (2)=lim f (x) f (2) =lim x2 22 =lim(x+2)=4
x2 x2
x2 x2 x2
导数的定义式:
f
(x0)
=
lim
x0
y x
= lim x0
f
(x0 +x) x
f (x0)

f
(x0)
=
lim
h0
f (x0 +h) f (x0) h
更一般地 有
(x )=x1(其中为常数)
2.求导数举例
(C)=0
(1) = 1 x x2
(
x) = 1 2x
(x ) = x1
例6 求函数f(x)=sin x的导数
解解 f (x) = lim f (x+h) f (x) = lim sin(x+h)sin x
例7 求函数f(x)=ax(a>0 a 1)的导数
解解 f (x) = lim f (x+h) f (x) = lim ax+h ax
h0
h
h0 h
==
aaxx
lliimm
hh00
aahh 11 hh
令 令aahh 11== tt
aaxx lliimm tt 00
tt lloogg aa ((11++ tt))
f
(x0)
=
lim
x0
y x
= lim x0
f (x0 +x) x
f (x0)

如果上述极限不存在 则称函数f(x)在点x0处不可导
导数的定义式:
f
(x0)
=
lim
x0
y x
= lim x0
f
(x0 +x) x
f (x0)

•导数的其它符号 y|x=x0