动点的轨迹问题

动点得轨迹问题

根据动点得运动规律求出动点得轨迹方程，这就是解析几何得一大课题：一方面求轨迹方程得实质就是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程得研究来认识曲线得性质；另一方面求轨迹方程就是培养学生数形转化得思想、方法以及技巧得极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”得教学得全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现与渗透。

轨迹问题就是高考中得一个热点与重点，在历年高考中出现得频率较高，特别就是当今高考得改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生得逻辑思维能力，运算能力，分析问题与解决问题得能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面得掌握程度。

求轨迹方程得得基本步骤：建设现代化（检验）

建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足得条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）求轨迹方程得得基本方法：

1．直接法：如果动点运动得条件就就是一些几何量得等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊得技巧，易于表述成含x,y得等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线得定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

3、代入法：动点所满足得条件不易表述或求出，但形成轨迹得动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)得运动而有规律得运动，且动点Q得轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y得式子，再代入Q得轨迹方程，然而整理得P得轨迹方程，代入法也称相关点法。

4、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点得横坐标、纵坐标之间得关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点得轨迹方程。

5、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线得交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线得联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说就是参数法得一种变种。

6、转移法：如果动点P随着另一动点Q得运动而运动，且Q点在某一已知曲线上运动，那么只需将Q点得坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到P点得轨迹方程。

7、几何法：利用平面几何或解析几何得知识分析图形性质，发现动点运动规律与动点满足得条件，然而得出动点得轨迹方程。

8、待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线得方程常用待定系数法求。

9、点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为),(),,(2211y x B y x A 并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线得轨迹方程。

此部分内容主要考查圆锥曲线，圆锥曲线得定义就是根本，它就是相应标准方程与几何性质得“源”。对于圆锥曲线得有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题得意识，“回归定义”就是一种重要得解题策略。

二、注意事项：

1、 求轨迹方程得关键就是在纷繁复杂得运动变化中，发现动点P 得运动规律，即P 点满足得等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

)()

()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

3、 求出轨迹方程后，应注意检验其就是否符合题意，既要检验就是否增解，（即以该方程得某些解为坐标得点不在轨迹上），又要检验就是否丢解。（即轨迹上得某些点未能用所求得方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中得特殊情形或极端情形。

4．求轨迹方程还有整体法等其她方法。在此不一一缀述。

【典型例题选讲】

一、直接法题型：

例1 已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 得方程为12

2=+y x ，动点M 到圆C 得切线长与MQ 得比等于常数)0(>λλ，求动点M 得轨迹。 解：设MN 切圆C 于N ，则222ON MO MN

-=。 设),(y x M ，则2222)2(1y

x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x

（1）当1=λ时，方程为4

5=x ，表示一条直线。 （2）当1≠λ时，方程化为2

22

2222

)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹就是什么。

变式- - 如图，圆1O 与圆2O 得半径都就是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 得切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=

．试建立适当得坐标系，并求动点P 得轨迹方程． 解：以21O O 得中点O 为原点，21O O

直线为x 轴，建立平面直角坐标系，

则)0,2(),0,2(21O O - 由已知PN PM 2=可得：222PN PM =

因为两圆得半径均为1，所以)1(212221-=-PO PO

设),(y x P ，则]1)2[(21)2(222-+-=-+y x x ，即33)6(2

2=+-y x

所以所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ） 评析：

1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后得证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹就是什么。

二、定义法题型：

运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线得定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 例2 已知A 、B 、C 就是直线l 上得三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O ′

切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 得两切线，设这两切线交于点P ，求点P 得轨迹方程、 【解析】设过B 、C 异于l 得两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点， 两切线交于点P 、由切线得性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，

故由椭圆定义知，点P 得轨迹就是以B 、C 为两焦点得椭圆， 以l 所在得直线为x 轴，以BC 得中点为原点，建立坐标系，

可求得动点P 得轨迹方程为：22

18172

x y += 练习： 已知圆O 得方程为 x 2+y 2

=100,点A 得坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 得垂直平分线交OM 于点P ，求点P 得方程。 解：由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点得轨迹为以A 、O 为焦点得椭圆，中心为（-3，0），故P 点得方程为12516

25)3(2

2=++y x l O 'P E D C B A