理论力学3-4 达朗伯-拉格朗日原理

i i i 1
n
光滑曲面约束 无滑动的滚动 不可伸长的绳 子连接的质点 N N B rA P r rB N
N r
F C
-
rC 0
N δrC 0
A
N
N δr 0
N rA + N rB 0
达朗伯-拉格朗日原理
第 3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
-
讨论
第 3章
达朗伯-拉格朗日原理是不包含理想约束力
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
的动力学方程。 用牛顿力学求解时，将会出现理想约束的 约束反力（未知量）。 对非理想约束，可解除该约束，将约束反 力处理成主动力。 直角坐标形式的达朗伯-拉格朗日方程中的 虚位移不是相互独立的。
-
(m1g m1a2 ) r2 (m2 g m2a2 ) r2 0
[(m2 m1 ) g (m1 m2 )a2 ] r2 0
(m1 m2 ) x2 (m2 m1 ) g
o x
m2
y
-
m1
a1
r1
r2
a2
解法2
解析法
第 3章
g sin 0 l
-
解题步骤
第 3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
1. 2. 3. 4.
确定研究对象：整体 受力分析：画出作功的主动力 运动分析：分析加速度 给出虚位移，找出它们之间的关系 几何法：根据约束的几何关系，直接 找出各点虚位移之间的关系 解析法：对约束方程进行变分，即可 求得各点虚位移之间的关系 5. 列出动力学方程，并求解
例3
第 3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
已知：离心调速器以匀角速 转动。各杆长 度为l，T型杆宽度为2d，均不计重量。光滑 接触。求：角速度与张角a的关系。
O B

d
x
A

-
C
y
例3
几何法
) r 0 (F m r
i i i i i 1 n
第 3章
O
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
达朗伯-拉格朗日原理—先考虑约束对运动的限 制，在约束允许的可能运动中找出真实运动。
-
达朗伯-拉格朗日原理的证明
第 3章
i 1, 2,, n 牛顿定律 Fi Ni mi r i 0,
) r N r 0 (F m r
i i i i i i i 1 i 1 n n
第4节
达朗伯-拉格朗日原理
2018年4月16日
元功
第 3章

力的元功
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
d Ai Fi d ri Fix d xi Fiy d yi Fiz d zi
d'Ai不是函数Ai的微分！

力系的元功
d A Fi d ri ( Fix d xi Fiy d yi Fiz d zi )
例2
第 3章
建立如图所示单摆的运动微分方程。
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
o

l
x
y
-
解
几何法
o

l
第 3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
a l
(mg man ma ) r =0
x
a
r
mg
an
y
) r =0 (mg sin ml
aA aB (d l sin ) 2
rB
B
aB
C
r A
d mg 1
x
rB rA
rC 2 rA sin
m1 g r

aA
A
m1 g rB sin m1 g rA sin 2m2 g rA sin maB rB cos maA rA cos 0
y
-
解法3
牛顿定律
第 3章
运动分析 a1 a2 受力分析 T T 列写运动微分方程
m1 g T m1a1 m2 g T m2 a2 (m1 m2 )a2 (m2 m1 ) g
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
o
T
y
T'
a1
m1 g
x
a2
m2 g
-
请比较用牛顿定律和达朗贝尔-拉格朗 日原理解题的优缺点。
-
例1
第 3章
建立如图所示系统的运动微分方程。
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
o
m1
y
x
m2
-
解法1
几何法
i i i i
第 3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
) r 0 (F m r
i 1
n
r1 r2
a1 a2
(m1 g m1a1 ) r1 (m2 g m2a2 ) r2 0
i 1 i 1 n n

外力功与内力功
-
d A d A( e ) d A( i )
虚功：力在虚位移上所做的元功。
A Ni δri
i 1
n
理想约束
第 3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
理想约束：约束反力在质系任意虚位移上所 做的虚功恒等于零的约束。
N δr 0
i i i i i i i 1 n i 1 n n
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
) r 0 (F N m r
i i i i i i 1
用约束反力代替约束后，质系就变成了自 由质系，所有虚位移都是相互独立的，故
Fi Ni mi r i 1, 2,, n i 0,
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
对理想约束
N r 0
i i i 1
n
) r 0 (F m r
i i i i i 1
n
-
达朗伯-拉格朗日原理的证明
第 3章
由理想约束的定义和达朗伯-拉格朗日原理：
) r N r 0 (F m r
x1 x2
y2 r
1 )x1 (m2 g m2 2 )x2 0 (m1g m1 x x
2 x2 0 (m2 m1 ) g (m1 m2 ) x
2 (m2 m1 ) g (m1 m2 ) x
m1
o x
m2
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
[( X
i 1
n
i
mi xi ) xi (Yi mi yi ) yi (Zi mi zi ) zi ] 0
x1 x2 l
y1 r
x1 x2
y1 0
y2 0
设质系的质点Pi受主动力Fi的作用，质系的 约束都是理想、双面约束，可能运动ri = ri(t) 是真实运动的充分必要条件是：
) r 0 (F m r
i i i i i 1 n
动力学普遍方程
牛顿定律和达朗伯-拉格朗日原理是等价的， 但它们的思路是不同的。
牛顿定律—将约束用反力来代替，直接给出各质 点真实运动和主动力、约束反力的关系
C
m2 g
y
-
2m1(d l sin ) 2 cos 2(m1 m2 ) g sin rA 0
( m1 m2 ) g tan m( d l sin )
2
第 3章
牛 顿 定