理论力学-拉格朗日方程

F1* m1a1 ,
F2* m2 a2
给系统以虚位移δs1和δs2 ，由动力学普遍 方程，得
F1*
m1g
(m2 g m2 a2 )s2 (m1 g m1a1 )s1 0
第七章
拉格朗日方程
§7-1 动力学普遍方程
例题 7-2
(m2 g m2 a2 )s2 (m1 g m1a1 )s1 0
代入上式可得
( Fi Fi* ) ri 0
i 1
第七章
拉格朗日方程
§7-1 动力学普遍方程
( Fi Fi* ) ri 0
i 1 n
(i 1, 2, , n )
式 Fi* mi ai 称为惯性力。
上式表明：在理想约束下，质点系在任一瞬时，作用的主动力和假想的惯 性力在任何虚位移上所做的虚功之和等于零。
第七章
拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
质点的速度
vi
ri t
,
ri q j
ri r qj i j 1 q t j
k
（1）
仅是广义坐标和时间的函数， q j 无关。 与
将式（1）二端对广义速度 q j求偏导，注意到 q j与 q j 是彼此独立的，
则有拉格朗日第一变换式
2 2
（3）
式（3）右边与式（2）右边比较可得关系式
所以有拉格朗日第二变换式
vi d ri ( ) q j dt q j
vi d ri ( ) qh dt qh
第七章
拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
对矢径 r r ( q1 , q2 ,...qk ; t ) 求变分，得 i i
xB (d l sin ), xB l cos
C m2g
yB l cos ,
yB l sin
yC 2l cos ,
yC 2l sin
y
第七章
拉格朗日方程
§7-1 动力学普遍方程
例题 7-1
(a)
* FA x A FB* xB m1 g y A m1 g yB m2 g yC 0
（2）
k vi 2 ri 2 ri qj j 1 q q qh qh t h j
ri ri ( q1 , q2 ,...qk ; t ) 对任 q h求偏导，再对时间t求导得
k k ri ri d ri ri 2 ri qj ( ) ( )q j j 1 q q tqh dt qh tqh j 1 q j qh j h
对质点系全部质点的上述表达式求和，得
n n n
(i 1, 2, , n )
( Fi ri ) ( FN i ri ) ( Fi* ri ) 0
i 1 i 1 i 1
设该质点系所受的约束为理想约束，则
n
(F
i 1
n
Ni
ri ) 0
mi ai Fi FN i
令
(i 1, 2, , n )
Fi* mi ai 称为惯性力，则有
Fi FN i mi ai Fi FN i Fi* 0
(i 1, 2, , n )
上面式子表示一组平衡关系，即在每一瞬时，作用在质点系内每一质点上的 主动力 Fi ，约束力为 FNi ，以及假想的惯性力 F*i 在形式上构成平衡力系。
n
r
i j 1
k
ri q j q j
代入动力学普遍方程
n k *
( Fi Fi* ) ri 0 有
i 1
k n n ri r ri ) ( Fi* i )]q j 0 [( Fi Fi ) q j ] [ ( Fi q j q j j 1 i 1 i 1 i 1 j 1 q j
第七章
拉格朗日方程
§7-1 动力学普遍方程
Fi FN i mi ai Fi FN i Fi* 0
移 δri（i=1，2, …, n），则有
(i 1, 2, , n )
将虚位移原理应用于这组平衡力系，为此，取质点系的任一组虚位
( Fi FN i Fi* ) ri 0
这是一个自由度系统，所以δs1和δs2中只有一 个独立的。由定滑轮和动滑轮的传动关系，
F2*
δs2 a2 m2g δs1 a1
有
s1
代入前式，有
s 2
2
,
a2 a1 2
F1*
m1g
a 2 s 2 ( m2 g m2 a 2 )s2 ( m1 g m1 ) 0 2 2 消去δs2 ，得
动 力 学
拉格朗日方程
西北工业大学 支希哲 朱西平 侯美丽
第七章 拉格朗日方程
动
第 七 章
力
学
§7– 1 动力学普遍方程
拉 格 郎 日 方 程
§7–2 拉格郎日方程
§7–3 拉格郎日方程的第一积分
第七章
拉格朗日方程
目录
§7-1 动力学普遍方程
第七章
拉格朗日方程
§7-1 动力学普遍方程 动力学普遍方程和拉格朗日方程是分析动力
vi ri q j q j
将式（1）对任 一广义坐标 qh 求偏导，有
k vi 2 ri 2 ri qj j 1 q q qh qh t h j
（2）
第七章
拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
拉格朗日第一变换式
vi ri q j q j
a2
4m2 2m1 g 4m2 m1
第七章
拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日（Lagrange)方程
拉格朗日方程
保守系统的拉格朗日方程
第七章
拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
一、概述 应用动力学普遍方程，求解较复杂的非自由质点系的 动力学问题常不很方便，这是因为由于系统存在约束，所 以这种方程中各质点的虚位移可能不全是独立的，这样解 题时还需寻找虚位移之间的关系。
利用前面的二个拉格朗日变换式 有
Q [
* j i 1 n
vi r i q j q j
但是，如果改用广义坐标，来描述系统的运动，将动 力学普遍方程表达成广义坐标的形式，就可得到与广义坐
标数目相同的一组独立的运动微分方程，这就是著名的拉 格朗日方程，用它求解较复杂的非自由质点系的动力学问 题常很方便。
第七章
拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
二、拉格朗日方程的推导
设由 n 个质点组成的质点系，受到 s 个理想、完整约束，因此该系统 具有k= 3m- s个自由度，可用 k 个广义坐标 q1 , q2 , … , qk 来确定该系统的 位形。 在非定常约束下，系统中任一质点的矢径可表示成广义坐标和时间的
广义力 记为Qj
广义惯性力 记为Q*j
* j
这样动力学普遍方程可写为
[Q Q ]q 0
j 1 j j
k
第七章
拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
广义惯性力 Q ( Fi*
* j i 1
n
n
ri ) q j
[( mi ai )
i 1
n
ri ] q j
d O δrB F*B B m1g δrC d α x δrA A m1g F*A
代入式（a）得
2m1 (d l sin ) 2l cos 2m1 gl sin 2m2 gl sin 0
求得
ω
α
C m2g
(m1 m2 ) gtan m1 (d l sin )
n
n
i 1
i
i
i
i
i 1
ix
i
i
i
iy
i
i
i
iz
mi i zi 0 z

第七章
拉格朗日方程
§7-1 动力学普遍方程
例题 7-1
d
O
例题7-1 一瓦特调速器的
α ω d α
结构如图所示。每一飞球质
A
B
量为m1 ，重锤质量为m2 ，各 铰连杆的长度为l，T形杆宽 度为2d。调速器的轴以匀角 速ω转动。求飞球张开的角度
2
y
此式建立了调速器相对平衡位置α与转 速ω的关系，可用来作为选择调速器参数的 依据。
第七章
拉格朗日方程
§7-1 动力学普遍方程
例题 7-2
例题7-2 在图所示滑轮 系统中，动滑轮上悬挂着质
量为m1的重物，绳子绕过定
a2 m2g a1
滑轮后悬挂着质量为m2的重 物。设滑轮和绳子的重量以
及轮轴摩擦都不计，求物体
学的内容。分析动力学是把系统作为一个整体来考
察，并利用动能、势能这类标量函数来描述这个系 统。 对于这些函数进行一定的运算，就可了解系 统的运动特性和获得系统的运动方程，所以动力学 普遍方程和拉格朗日方程式求解质点系复杂动力学
问题的普遍而有效的方法。
第七章
拉格朗日方程
§7-1 动力学普遍方程
一、概述 动力学普遍方程是将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合而得到的， 可以看成是达朗贝尔原理的解析表达形式。 二、动力学普遍方程的推导 设一质点系由 n 个质点组成，作用在第 i 个质点上的主动力为 Fi ， 约束力为 FNi ，则根据牛顿第二定理 F= ma 有
取固定直角坐标系，将上式投影得：
* * * [( Fix Fix )xi ( Fiy Fiy )yi ( Fiz Fiz )zi ] 0 i 1 n
以上二式称为动力学普遍方程 或 达朗伯——拉格朗日方程。
F m a r 0 x y F m x F m y F
n * j
所以
(mi
代入上式有 Q [
i 1
r d d ri (mi vi i ) mi vi ( )] dt q j dt q j
第七章
拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
广义惯性力
Q [
* j i 1 n
r d d r (mi vi i ) mi vi ( i )] dt q j dt q j
§7-1 动力学普遍方程
例题 7-1
各质点的虚位移可用广义坐标的
d O δrB F*B B m1g δrC d α x δrA A m1g F*A
变分 表示
xA (d l sin ),
x A l cos
y A l sin
ω
α
y A l cos
函数，即
ri ri ( q1 , q2 ,...qk ; t )
k
(i 1, 2, , n )
对上式求导，得该质点的速度 上式中的 q j ，称为广义速度。 由以上可知
ri ri vi qj j 1 q t j
ri t
,
ri q j
仅是广义坐标和时间的函数。
dvi ri [( mi ) ] dt q j i 1
因为
r dvi r d d ri (mi vi i ) (mi ) i mi vi ( ) dt q j dt q j dt q j
dvi r r d d ri ) i (mi vi i ) mi vi ( ) dt q j dt q j dt q j
* * FA FB m1 (d l sin ) 2
ω
α
由动力学普遍方程得
* * FA x A FB xB m1 g y A m1 g yB
(a)
C m2g
m2 g yC 0
此为一个自由度质点系，选角α为 广义坐标。
y
第七章
拉格朗日方程
下降的加速度。
m1g
第七章
拉格朗日方程
例题7-2
§7-1 动力学普遍方程
例题 7-2
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第七章
拉格朗日方程
§7-1 动力学普遍方程
例题 7-2
解： 取整个滑轮系统为研究对象，系统具有
理想约束。系统所受的主力为重力m1g和m2g， 假想加入系统的惯性力 ， F1*。 F2*
F2*
δs2 a2 m2g δs1 a1
C
α。
第七章
拉格朗日方程
例题7-1
§7-1 动力学普遍方程
例题 7-1
第七章
拉格朗日方程
§7-1 动力学普遍方程
例题 7-1
解： 球简化为质点，除主动力外，图上画出
d O δrB F*B B m1g δrC d α x δrA A m1g F*A
了飞球的惯性力F*A 和F*B ，两力大小相等， 方向相反。