【解析版】天津市耀华中学2013年高考数学一模试卷(理科)

2013年天津市耀华中学高考数学一模试卷
（理科）
一、本卷共8题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．
1．（5分）（2009•宁夏）复数﹣=（）
解：﹣﹣=﹣=i+i=2i
，则m+n=
n=
3．（5分）（2007•海南）如果执行程序框图，那么输出的S=（）
×
4．（5分）（2010•辽宁）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，
B
）个单位后为
=，
所以有=2k，即
≥，
6．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，由F向其渐近线上引垂线，垂中为P，若
B．
y=
的斜率为﹣，设，x=
，））
把中点坐标代入双曲线方程=
7．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为矩形内一点，且，若（λ，μ∈R），
B．
=
）进行坐标变换得出
））
，得=
∵即（
y=，∴
=，
的最大值为．
8．（5分）高三年级有文科、理科共9个备课组，每个备课组的人数不少于4个，现从这9个备课组中抽
二、填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在后面的答题卡上；
9．（5分）（2011•山东）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为16．
每个个体被抽到的概率是=
×
10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是30+6．
=5
AB==2BD==AD==
ADB==ADB=
×××
×=
30+6
11．（5分）如图所示，直线PA切⊙O于点A，直线PO分别与⊙O相交子点B、C，已知，则线段AB长4．
，
，
4
12．（5分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为，
设圆C与直线l交于点A、B，则弦AB长为．
（=0
的方程为ρ+
，的圆．
d==
．
13．（5分）已知实数x，y∈（0，），且tanx=3tany，则x﹣y的最大值是．
）
=，
∵≥，当且仅当
≤）的最大值为
，﹣，则最大值为，
故答案为：．
14．（5分）函数f（x）=，若直线y=kx﹣1与函数y=f（x）有3个公共点，则实数k的取值范围是（0，1）．
三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数f（x）=tan（2x+）
（I）求该函数的定义域，周期及单调区间；
（II）若f（θ）=，求的值．
”
T=
≠（）得，
）得，
综上得，函数的周期是{x|
单调增区间是（
）式子==①
，∴），
）﹣]=
得，，
得，=
代入上式①得，=2
16．（13分）某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门课程课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：
（I）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（II）设3名学生选择A选修课的人数为ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．
（
=，，=，=×+1×+2×+3×=（
17．（13分）已知三棱柱A1B1C1﹣ABC中，三个侧面均为矩形，底面ABC为等腰直角三角形，C1C=CA=CB=2，点D为棱CC1的中点，点E在棱B1C1上运动．
（I）求证A1C⊥AE；
（II）当点E到达某一位置时，恰使二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值为，求；（III）在（II）的条件下，在平面ABC上确定点F，使得EF⊥平面A1DB？并求出EF的长度．
可证⊥，只需证明=0
的一个法向量，由两法向量夹角余弦值的绝对值等于
，可知与平面
||
=，
因为
所以⊥，即
=
=
，即，取=
=，设=
，即，取=
，得||=
所以；
，且
=，且，所以
所以||=
的长度为，此时点
18．（13分）已知数列{a n}满足：
（I）求a2，a3；
（II）设，求证：数列{b n}是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅲ）求数列{a n}前20项中所有奇数项的和．
）利用等比数列的定义证出
=+1=﹣
，且==，
﹣
++
90+（（18+﹣=﹣
19．（14分）已知点D（0，﹣2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图
（Ⅰ）求切点A的纵坐标；
（Ⅱ）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记
切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求椭圆方程．
，且的斜率为，得的方程为，再）由得，由，所以椭圆方程为
，由此能求出椭圆方程．
，且
的斜率为的方程为，又点
∴，即点
，切线斜率
，由
所以椭圆方程为，且过
，∴
，
椭圆方程为．
20．（14分）（2013•济南二模）设，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直
线2x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范围．
（3）求证：．
先将原来的恒成立问题转化为
时，时，成立．不妨令，得由题设
∴
）
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣时，
时，方程﹣，
综上所述，．
时，时，
不妨令
所以，
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
累加可得。