【解析版】天津市耀华中学2013年高考数学一模试卷(理科)

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【解析版】天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题

【解析版】天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时l20分钟。

第I 卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上。

1、i 是虚数单位，复数3+22-3i i等于A 、iB 、-iC 、12-13iD 、12+13i 【答案】A【解析】3+223ii -(3+2)(23)13=23(23)13i i i i i i +==-+（），选A.2、下列命题中是假命题的是 A 、(0,),>2x x sin x π∀∈ B 、000,+=2x R sin x cos x ∃∈C 、 ,3>0x x R ∀∈D 、00,=0x R lg x ∃∈ 【答案】B【解析】因为000+=224sin x cos x sin x π+≤（），所以B 错误，选B.3、在下列区间中，函数()=+43xf x e x -的零点所在的区间为 A 、（1-4，0） B 、（0，14） C 、（14，12） D 、（12，34）【答案】C 【解析】1114441()=2=1604f e e --<，121()=1=102f e e -->，所以函数的零点在11(,)42，选C. 4、设a ，b ∈R ，那么“>1a b”是“>>0a b ”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【解析】由>1a b 得，10a ab bb--=>，即()0b a b ->，得0b a b >⎧⎨>⎩或0b a b <⎧⎨<⎩，即0a b >>或0a b <<，所以“>1ab”是“>>0a b ”的必要不充分条件，选B.5、把函数=()y sin x x R ∈的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是A 、=(2-),R 3y sin x x π∈ B 、=(+),R 26x y sin x π∈ C 、=(2+),R 3y sin x x π∈ D 、 2=(2+),R 3y sin x x π∈【答案】C【解析】把函数=()y sin x x R ∈的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度,得到函数sin()3y x π=+，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数sin(2)3y x π=+，所以选C.6、已知函数2()=f x x cos x -，则(0.6),(0),(-0.5)f f f 的大小关系是 A 、(0)<(0.6)<(-0.5)f f f B 、(0)<(-0.5)<(0.6)f f f C 、(0.6)<(-0.5)<(0)f f f D 、(-0.5)<(0)<(0.6)f f f 【答案】B 【解析】因为函数2()=f x x cos x-为偶函数，所以(0.5)(0.5)f f -=，()=2f 'x x sin x +，当02x π<<时，()=20f 'x xs i n x +>，所以函数在02x π<<递增，所以有(0)<(0.5)<f f f ，即(0)<(0.5)<(0.6)f f f -，选B. 7、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a=3，b=2，且1+2cos(B+C)=0，则BC 边上的高等于A 、3-1B 、3+1C 、 3-12D 、3+12【解析】由12cos()0B C ++=，得112cos 0,cos 2A A -==，所以3A π=。

2013年高考真题——理科数学(天津卷)解析版(1) PDF版含答案(2013高考)

绝密★ 启用前2013 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟。

第Ⅰ卷 1 至2 页，第Ⅱ卷3 至 5 页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2 本卷共8 小题，每小题5 分，共40 分。

参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么·如果事件A ，B 相互独立，那么P( A B) P( A) P(B) P( A B) P( A)P(B) .·棱柱的体积公式V Sh . ·球的体积公式V4 R3. 3其中S 表示棱柱的底面面积，其中R 表示球的半径.h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合A x R|x|2，B x R x1，则A B （）（A）, 2（B）1, 2（C）2, 2（D）2,1【命题立意】本题考查含绝对值不等式的解法与集合交集的运算。

【思路分析】解出集合A 后利用数轴求交集。

【解析】选D解|x|2得2x2，所以A B 2,1。

【方法技巧】利用| x | a （a 0 ）解出集合A 。

求交集时利用数轴。

54 3x+y-6=03 2 1 y-3=0 x-y-2=0–1–1–21 2 3 4 5 6x3x y 6（2）设变量x ，y满足约束条件x y 2y 3 0，则目标函数z y 2x 的最小值为（（A）－7 （B）－4 （C ）1 （D）2 y 【命题立意】本题考查目标函数的最值。

【思路分析】作出可行域后利用目标函数的几何意义解。

天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题 Word版.pdf

耀华中学2013届高三年级第一次月考理科数学试卷本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时l20分钟。

第卷(选择题共40分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题要求的， 1、i是虚数单位，复数等于A、iB、-iC、1213iD、12+13i 2、下列命题中是假命题的是 A、 B、、 D、 3、在下区中，函数的零点所在的区间为A、，0）B、）C、，）D、，） 4、设，R，”是“”的 A、充分不必要条件、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件 5、把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位度，再把所得图象上所有点的坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是 B、、D、 6、已知函数，的大小关系是 A、 B、、D、 7、ABC中，，b，c分别是角A，B，C的对边，a=，b，且12cos(B+C)=0，则BC边上的高等于 A、B、、 D、 8、定义域为R的函数满足，当[，2)时，时，恒成立，则实数A、[2，)(0，l)、[-2，) [l，+∞)、[2，lD、(，2] (0，l第卷(非选择题共分) 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

请将答案填写在答题纸上． 9、计算=10、设集合(0，+∞)上的增函数，，则=； 11、函数为常数，>0, >0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是、1，若函数有最大值，则不筹式为13、A，B，C的对边，若，则 14、若关于的不等式对任意在恒成立，则实常数的取值范围是；耀华中学2013届高三年级第一次月考理科数学答题纸二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9、12、三、解答题；本大题共6小题，共8分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

满分， (1)求函数的最正周期； (2)求使函数取得最大值的x集合；若且，求的值。

2013年天津高考数学理试题（含答案）

2013年(天津卷)理科数学第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么那么)()()(B P A P A P B È=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R p = 其中R 表示球的半径. 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B Ç=(A) (,2]-¥ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ³--£+-ì-£ïíïî则目标函数z = y －2x 的最小值为的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 (3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等②若两组数据的平均数相等, , , 则它们的标准差也相等则它们的标准差也相等则它们的标准差也相等; ;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③①②③ (B) ①②①②(C) ②③②③ (D) ②③②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p = 2,p 1010310515-13,0-1513+-51ö- = . x 的二项展开式中的常数项为的二项展开式中的常数项为 . | = . 的长为的长为 . 的长为的长为 . = 时2sin23 2243。

数学_2013年天津市河北区高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2013年天津市河北区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合A ={(x, y)|x 225+y 216=1}，B ={(x, y)|y =5x }，则A ∩B 的元素个数是（）A 4B 2C 1D 02. 已知i 为虚数单位，复数z 1=a +i ，z 2=2−i ，且|z 1|=|z 2|，则实数a 的值为（）A 2B −2C 2或−2D ±2或03. 下列函数中，既在(0, +∞)单调递增，又是偶函数的是（）A y =|x|+1B y =log 2xC y =−x 2+1D y =3x4. 数列{a n }中，已知a 1=1，a 2=2，a n+1=a n +a n+2(n ∈N ∗)，则a 5的值为（）A −2B −1C 1D 25. 设向量a →、b →满足：|a →|=1，|b →|=2，a →⋅(a →−b →)=0，则a →与b →的夹角是（）A 30∘B 60∘C 90∘D 120∘6. 已知直线l 1:x +ay +6=0和l 2：(a −2)x +3y +2a =0，则l 1 // l 2的充要条件是（）A a =−1B a =3C a =−1或a =3D a =12 7. 一个几何体的三视图如图所示，主视图与俯视图都是一边长为3cm 的矩形，左视图是一个边长为2cm 的等边三角形，则这个几何体的体积为（）A √3B 2√3C 3√3D 68. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)+b 的图象如图，则T =f(0)+f(1)+f(2)+...+f(2013)的值为（）A 504.5B 2013C 2013.5D 2014.5二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 函数y =√6−x−x 2的定义域是________．10. 设a ，b 是实数，命题“若−a =b ，则|a|=|b|”的逆否命题是________．11. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为6，若点P是平面A1BC1上的动点，则三棱锥P−ACD1的体积为________．)10展开式中的第________项是常数项．12. 二项式(x2√x13. 执行如图所示的程序框图，则输出b的结果是________．14. 若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知函数f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx①求函数f(x)的最小正周期；②在△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，若f(C)=2，a+b=4，求△ABC的最大面积．16. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组设定的最宽限值，即PM2.5日均值在25微克/立方米以下空气质量为一级，在35微克/立方米∼75微克/立方米之间空气质量为二级，在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如图所示茎叶图（左侧十位为茎，右侧个位为叶）．（1）从这15天的数据中任取3天的数据，记X表示期中空气质量达到一级的天数，求X的分布列；（2）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按照360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级．17. 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=CC1=2，AB⊥BC，点M，N分别是CC1，B1C的中点，G是棱AB上的动点．（1）求证：B1C⊥平面BNG；（2）若G点是AB的中点，求证：CG // 平面AB1M1；（3）求二面角M−AB1−B的余弦值．18. 在数列{a n}中，a1=2，a n+1=4a n−3n+1，n∈N∗．（1）求证：{a n−n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设数列{a n}的前n项和S n，求S n+1−S n的最大值．19. 已知椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，长轴两端点为A，B，短轴右端点为C．（1）若椭圆的焦距为4√2，点M在椭圆上运动，且△ABM的最大面积为3，求该椭圆方程；（2）对于（1）中的椭圆，作以C为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形CDE，设直线CE的斜率为k(k<0)，求k的值．20. 已知：函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a≠0, b<1)，在区间[2, 3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=g(x)x．（1）求a、b的值及函数f(x)的解析式；（2）若不等式f(2x)−k⋅2x≥0在x∈[−1, 1]时恒成立，求实数k的取值范围；（3）如果关于x的方程f(|2x−1|)+t⋅(4|2x−1|−3)=0有三个相异的实数根，求实数t的取值范围．2013年天津市河北区高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. C3. A4. A5. B6. A7. C8. D9. (−3, 2)10. 若|a|≠|b|，则−a≠b11. 3612. 九13. 214. {a|a <0}15. 解：①由已知f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx=cos2x +1+√3sin2x=2sin(2x +π6)+1 ∴ T =2π2=π …②由①知f(C)=2sin(2C +π6)+1=2，即sin(2C +π6)=12又0<C <π∴ π6<2C +π6<13π6∴ 2C +π6=5π6∴ C =π3 ∴ S =12absinC =√34ab ≤√34(a+b 2)2=√3当且仅当a =b 时，S max =√3 …16. 解：（1）依据条件，X 服从超几何分布，其中N =15，M =5，n =3． X 的可能值为0，1，2，3．其分布列为：P(x =k)=C 153˙(k =0, 1, 2, 3) X012P 2491459120913291．（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P =515=13；一年中空气质量达到一级的天数为Y ，则E(Y)=360×13=120（天）．所以一年中大约有120天的空气质量达到一级．17. （1）证明：∵ 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC =CC 1=BB 1，点N 是B 1C 的中点， ∴ BN ⊥B 1C ，∵ AB ⊥BC ，AB ⊥BB 1，BB 1∩BC =B∴ AB ⊥平面B 1BCC 1，∵ B 1C ⊂平面B 1BCC 1∴ B 1C ⊥AB ，即B 1C ⊥GB ，又∵ BN ∩BG =B ，BN 、BG ⊂平面BNG∴ B 1C ⊥平面BNG ．（2）证明：连接AB 1，取AB 1的中点H ，连接HG 、HM 、GC ，则HG 为△AB 1B 的中位线∴ GH // BB 1，GH =12BB 1， ∵ 由已知条件，B 1BCC 1为正方形∴ CC 1 // BB 1，CC 1=BB 1∵ M 为CC 1的中点，∴ CM =12CC 1，∴ MC // GH ，且MC =GH ， ∴ 四边形HGCM 为平行四边形∴ GC // HM ，又∵ GC ⊈平面AB 1M ，HM ⊂平面AB 1M ，∴ CG // 平面AB 1M ．（3）解：以B 为原点，BB 1为x 轴，BC 为y 轴，BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意知M(1, 2, 0)，A(0, 0, 2)，B 1(2, 0, 0)，B(0, 0, 0)，AB 1→=(2,0,−2)，AM →=(1, 2, −2)，设平面AB 1M 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅AM →=0˙，∴ {2x −2z =0x +2y −2z =0，取x =1，得n →=(1, 12, 1)，又平面AB 1B 的法向量m →=(0, 1, 0)，∴ cos <n →，m →>=12√1+1+14=13．∴ 二面角M −AB 1−B 的余弦值为13．18. （1）证明：由题设得a n+1=4a n −3n +1，则a n+1−(n +1)=4(a n −n)，n ∈N ∗．又a 1−1=1，所以数列{a n −n}是首项为1，且公比为4的等比数列．（2）解：由（1）可知a n −n =4n−1，于是数列{a n }的通项公式为a n =4n−1+n ．（3）解：由（2）得，a n =4n−1+n ，所以数列{a n }的前n 项和S n =1−4n 1−4+n(1+n)2=4n −13+n(1+n)2，则S n+1−S n =4n+1−13+(n+1)(2+n)2−[4n −13+n(1+n)2] =−12(3n 2+n −4)，由n ∈N ∗得，当n =1时，−12(3n 2+n −4)的最大值是0，所以S n+1−S n 的最大值是0．19. 解：（1）由已知c =2√2，12(2a)b =3，又∵ a 2=b 2+c 2，解得，a =3，b =1则椭圆方程为：x 29+y 2=1．（2）设CE 所在的直线方程为y =kx +1(k <0)代入椭圆方程并整理得，(1+9k 2)x 2+18kx =0∴ |CE |=√1+k 2⋅18|k |1+9k 2；同理，|CD |=√1+k 2⋅189+k 2；由三角形CDE 为等腰直角三角形知，k 3+9k 2+9k +1=0，即(k +1)(k 2+8k +1)=0∴ k =−1或k =−4±√15．20. 解：（1）g(x)=ax 2−2ax +1+b ，函数的对称轴为直线x =1，由题意得：①{a >0g(2)=1+b =1g(3)=3a +b +1=4得{a =1b =0 ②{a <0g(2)=1+b =4g(3)=3a +b +1=1得{a =−1b =3>1（舍去） ∴ a =1，b =0…∴ g(x)=x 2−2x +1，f(x)=x +1x −2…（2）不等式f(2x )−k ⋅2x ≥0，即k ≤(12x )2−2⋅(12x )+1…设t =12x ，∴ t ∈[12，2]，∴ k ≤(t −1)2∵ (t −1)min 2=0，∴ k ≤0…（3）f(|2x −1|)+t ⋅(4|2x −1|−3)=0，即|2x −1|+1|2x −1|+4t |2x −1|−3t −2=0．令u =|2x −1|>0，则 u 2−(3t +2)u +(4t +1)=0…（①… 记方程①的根为u 1，u 2，当0<u 1<1<u 2时，原方程有三个相异实根，记φ(u)=u 2−(3t +2)u +(4t +1)，由题可知，{φ(0)=4t +1>0φ(1)=t <0或{φ(0)=4t +1>0φ(1)=t =00<3t+22<1．… ∴ −14<t <0时满足题设．…。

无锡新领航教育特供：【2013备考】高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)1 集合理

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各地解析分类汇编:集合与简易逻辑
1【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】已知:p “,,a b c 成等比数列”，
:q “ac b =”，那么p 成立是q 成立的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又非必要条件【答案】D
【解析】,,a b c 成等比数列,则有2b ac =，
所以b =所以p 成立是q 成立不充分条件.当==0a b c =时，有ac b =
成立，但此时,,a b c 不成等比数列，所以p 成立是q 成立既不充分又非必要条件，选D.
2【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}2,3,4A =,{}2,5B =,则()U B C A =（）
A.{}5
B. {}125，，
C. {}12345，，，，
D.∅
【答案】B
【解析】{1,5}U C A =，所以()={1,5}{2,5}={1,2,5}U B C A ，选B.
【解析】当k =0时，x =1；当k =1时，x =2；当k =5时，x =4；当k =8时，x =5，故选B.
4【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】已知条件2:340p x x --≤；条件22:690q x x m -+-≤ 若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（）
A ．[]1,1-
B ．[]4,4-
C ．(][),44,-∞-+∞
D ．(][),11,-∞-+∞ 【答案】C。

无锡新领航教育特供：【2013备考】高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)11 复数与框图理

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各地解析分类汇编:复数与框图
1【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】若复数2)1(ai +（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a （）
A.1±
B.1-
C.0
D.1
【答案】A
【解析】2222
(1)1212ai ai a i a ai +=++=-+，要使复数是纯虚数，则有210a -=且20a ≠，解得1a =±，选A.
2.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】复数z 1=3+i,z 2=1-i,则复数
2
1z z 的虚部为（）
A.2
B.-2i
C.-2
D.2i
【答案】A 【解析】123(3)(1)24=121(1)(1)2z i i i i i z i i i ++++===+--+，所以虚部为2，选A.
A ．第四象限
B ．第三象限
C ．第二象限
D ．第一象限【答案】A
【解析】1i 22z =-对应的点是112
2⎛⎫- ⎪⎝⎭，，故选A. 4.【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考理】复数
12i i + (i 是虚数单位)的虚部是（） A ．15 B ．25 C ．5i D ．5
i - 【答案】A
【解析】(12)22112(12)(12)555
i i i i i i i i -+===+++-，所以虚部是15，选A.。

2013年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0] 12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【考点】B3：分层抽样方法．【专题】21：阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选：A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．6【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）=﹣2，m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】16：压轴题；27：图表型．【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．8【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B nC n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，又由题意，b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴b n+1∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos ＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由，能求出C1的极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1的普通方程联立，求出C1与C2交点的直角坐标，由此能求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，。

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2013年天津市耀华中学高考数学一模试卷
（理科）
一、本卷共8题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．
1．（5分）（2009•宁夏）复数﹣=（）
解：﹣﹣=﹣=i+i=2i
，则m+n=
n=
3．（5分）（2007•海南）如果执行程序框图，那么输出的S=（）
×
4．（5分）（2010•辽宁）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，
B
）个单位后为
=，
所以有=2k，即
≥，
6．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，由F向其渐近线上引垂线，垂中为P，若
B．
y=
的斜率为﹣，设，x=
，））
把中点坐标代入双曲线方程=
7．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为矩形内一点，且，若（λ，μ∈R），
B．
=
）进行坐标变换得出
））
，得=
∵即（
y=，∴
=，
的最大值为．
8．（5分）高三年级有文科、理科共9个备课组，每个备课组的人数不少于4个，现从这9个备课组中抽
二、填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在后面的答题卡上；
9．（5分）（2011•山东）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为16．
每个个体被抽到的概率是=
×
10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是30+6．
=5
AB==2BD==AD==
ADB==ADB=
×××
×=
30+6
11．（5分）如图所示，直线PA切⊙O于点A，直线PO分别与⊙O相交子点B、C，已知，则线段AB长4．
，
，
4
12．（5分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为，
设圆C与直线l交于点A、B，则弦AB长为．
（=0
的方程为ρ+
，的圆．
d==
．
13．（5分）已知实数x，y∈（0，），且tanx=3tany，则x﹣y的最大值是．
）
=，
∵≥，当且仅当
≤）的最大值为
，﹣，则最大值为，
故答案为：．
14．（5分）函数f（x）=，若直线y=kx﹣1与函数y=f（x）有3个公共点，则实数k的取值范围是（0，1）．
三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数f（x）=tan（2x+）
（I）求该函数的定义域，周期及单调区间；
（II）若f（θ）=，求的值．
”
T=
≠（）得，
）得，
综上得，函数的周期是{x|
单调增区间是（
）式子==①
，∴），
）﹣]=
得，，
得，=
代入上式①得，=2
16．（13分）某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门课程课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：
（I）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（II）设3名学生选择A选修课的人数为ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．
（
=，，=，=×+1×+2×+3×=（
17．（13分）已知三棱柱A1B1C1﹣ABC中，三个侧面均为矩形，底面ABC为等腰直角三角形，C1C=CA=CB=2，点D为棱CC1的中点，点E在棱B1C1上运动．
（I）求证A1C⊥AE；
（II）当点E到达某一位置时，恰使二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值为，求；（III）在（II）的条件下，在平面ABC上确定点F，使得EF⊥平面A1DB？并求出EF的长度．
可证⊥，只需证明=0
的一个法向量，由两法向量夹角余弦值的绝对值等于
，可知与平面
||
=，
因为
所以⊥，即
=
=
，即，取=
=，设=
，即，取=
，得||=
所以；
，且
=，且，所以
所以||=
的长度为，此时点
18．（13分）已知数列{a n}满足：
（I）求a2，a3；
（II）设，求证：数列{b n}是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅲ）求数列{a n}前20项中所有奇数项的和．
）利用等比数列的定义证出
=+1=﹣
，且==，
﹣
++
90+（（18+﹣=﹣
19．（14分）已知点D（0，﹣2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图
（Ⅰ）求切点A的纵坐标；
（Ⅱ）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记
切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求椭圆方程．
，且的斜率为，得的方程为，再）由得，由，所以椭圆方程为
，由此能求出椭圆方程．
，且
的斜率为的方程为，又点
∴，即点
，切线斜率
，由
所以椭圆方程为，且过
，∴
，
椭圆方程为．
20．（14分）（2013•济南二模）设，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直
线2x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范围．
（3）求证：．
先将原来的恒成立问题转化为
时，时，成立．不妨令，得由题设
∴
）
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣时，
时，方程﹣，
综上所述，．
时，时，
不妨令
所以，
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
累加可得。