【解析版】天津市耀华中学2013年高考数学一模试卷(理科)

2013年天津市耀华中学高考数学一模试卷

（理科）

一、本卷共8题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．

1．（5分）（2009?宁夏）复数﹣=（）

解：﹣﹣=﹣=i+i=2i

，则m+n=

n=

3．（5分）（2007?海南）如果执行程序框图，那么输出的S=（）

×

4．（5分）（2010?辽宁）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，

B

）个单位后为

=，

所以有=2k，即

≥，

6．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，由F向其渐近线上引垂线，垂中为P，若

B．

y=

的斜率为﹣，设，x=

，））

把中点坐标代入双曲线方程=

7．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为矩形内一点，且，若（λ，μ∈R），

B．

=

）进行坐标变换得出

））

，得=

∵即（

y=，∴

=，

的最大值为．

8．（5分）高三年级有文科、理科共9个备课组，每个备课组的人数不少于4个，现从这9个备课组中抽

二、填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在后面的答题卡上；

9．（5分）（2011?山东）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为16．

每个个体被抽到的概率是=

×

10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是30+6．

=5

AB==2BD==AD==

ADB==ADB=

×××

×=

30+6

11．（5分）如图所示，直线PA切⊙O于点A，直线PO分别与⊙O相交子点B、C，已知，则线段AB长4．

，

，

4

12．（5分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为，

设圆C与直线l交于点A、B，则弦AB长为．

（=0

的方程为ρ+

，的圆．

d==

．

13．（5分）已知实数x，y∈（0，），且tanx=3tany，则x﹣y的最大值是．

）

=，

∵≥，当且仅当

≤）的最大值为

，﹣，则最大值为，

故答案为：．

14．（5分）函数f（x）=，若直线y=kx﹣1与函数y=f（x）有3个公共点，则实数k的取值范围是（0，1）．

三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）已知函数f（x）=tan（2x+）

（I）求该函数的定义域，周期及单调区间；

（II）若f（θ）=，求的值．

”

T=

≠（）得，

）得，

综上得，函数的周期是{x|

单调增区间是（

）式子==①

，∴），

）﹣]=

得，，

得，=

代入上式①得，=2

16．（13分）某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门课程课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：

（I）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；

（II）设3名学生选择A选修课的人数为ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．

（

=，，=，=×+1×+2×+3×=（

17．（13分）已知三棱柱A1B1C1﹣ABC中，三个侧面均为矩形，底面ABC为等腰直角三角形，C1C=CA=CB=2，点D为棱CC1的中点，点E在棱B1C1上运动．

（I）求证A1C⊥AE；

（II）当点E到达某一位置时，恰使二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值为，求；（III）在（II）的条件下，在平面ABC上确定点F，使得EF⊥平面A1DB？并求出EF的长度．

可证⊥，只需证明=0

的一个法向量，由两法向量夹角余弦值的绝对值等于

，可知与平面

||

=，

因为

所以⊥，即

=

=

，即，取=

=，设=

，即，取=

，得||=

所以；

，且

=，且，所以

所以||=

的长度为，此时点

18．（13分）已知数列{a n}满足：

（I）求a2，a3；

（II）设，求证：数列{b n}是等比数列，并求其通项公式；

（Ⅲ）求数列{a n}前20项中所有奇数项的和．

）利用等比数列的定义证出

=+1=﹣

，且==，

﹣

++

90+（（18+﹣=﹣

19．（14分）已知点D（0，﹣2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图

（Ⅰ）求切点A的纵坐标；

（Ⅱ）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记

切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求椭圆方程．

，且的斜率为，得的方程为，再）由得，由，所以椭圆方程为

，由此能求出椭圆方程．

，且

的斜率为的方程为，又点

∴，即点

，切线斜率

，由

所以椭圆方程为，且过

，∴

，

椭圆方程为．

20．（14分）（2013?济南二模）设，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直

线2x+y+1=0垂直．

（1）求a的值；

（2）若?x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范围．

（3）求证：．

先将原来的恒成立问题转化为

时，时，成立．不妨令，得由题设

∴

）

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣时，

时，方程﹣，

综上所述，．

时，时，

不妨令

所以，

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

累加可得