工程力学—力系的平衡条件和平衡方程课件
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“平衡”不仅是本章的重要概念，而且也工程力学课程的重要概念。对于一个系统， 如果整体是平衡的，则组成这一系统的每一个构件也平衡的。对于单个构件，如果是 平衡的，则构件的每一个局部也是平衡的。这就是整体平衡与局部平衡的概念。
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2
第3章 力系的平衡条件与平衡方程
1 平面汇交力系的平衡条件与平衡方程 2 平面力偶系的平衡条件与平衡方程 3 平面任意力系的平衡条件与平衡方程 4 简单的刚体系统平衡问题 5 考虑摩擦时的平衡问题 6 结论与讨论
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12
3.4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3. 2 平衡方程
由于 F R ( F x)2 ( F y)2,M O M O (F i)
所以
F xi 0 F yi 0
M
O
(Fi)
0
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各
力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分
别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。
上式称为平面任意力系的平衡方程。
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13
例1 例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
a A
F x0:F A xqb0
Fy0:FAyP0
MA(F)0: MAPa12qb2 0
解之得：
FAx qb
MA
FAx
A
FAy
FAy P MAPa12q2 b
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b
P q
P q
14
例2 例2 求图示梁的支座反力。
解：以梁为研究对象，受力如图。
F x 0 :F A x P c o s 0
P
A
m B C
a
b
F y 0 :F A y F B P sin 0
M A ( F ) 0 : F B a P s i n ( a b ) m 0
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3
1 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 该力系的合力等于零。用矢量式表示为：
uur Fi 0
在平衡的情形下，力多边形中最后一力的 终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称 为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡 的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行 封闭，这是平衡的几何条件。
解: 各力偶的合力偶矩为
Mm1m2m3m4 4(15)60Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
根据平面力偶系平衡方程有: N B 0 .2 m 1 m 2 m 3 m 4 0
NB06.20300N
NANB30N 0
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10
[例4] 图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束反力。
第三 章
力系的平衡条 件和平衡方程
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1
第3章 力系的平衡条件与平衡方程
受力分析的最终的任务是确定作用在构件上的所有未知力，作为对工程构件进行 强度设计、刚度设计与稳定性设计的基础。
本章将在平面力系简化的基础上，建立平衡力系的平衡条件和平衡方程。并应用 平衡条件和平衡方程求解单个构件以及由几个构件所组成的系统的平衡问题，确定 作用在构件上的全部未知力。此外本章的最后还将简单介绍考虑摩擦时的平衡问题。
Y0 P R A si n S Cs D4 i0 n 5 0
4. 解方程
由EB=BC=0.4m，
解得： tgEB0.41
AB1.2 3
SCD si4n05cPo40 s5tg 4.2k 4N ； RASCDccoo4ss503.16kN
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2 平面力偶系的平衡条件
所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此，
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4
[例1] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用 的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
解： ①选碾子为研究对象 ②取分离体画受力图
∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时拉力F和自 重及支反力NB构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形 封闭，故
Fxi 0
Fyi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在 作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。
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[例2] 已知 P=2kN 求SCD , RA
解:
1. 取AB杆为研究对象 2. 画AB的受力图
3. 列平衡方程
X0 R Aco sSCD co 40 s5 0
解之得：
P
FAx Pcos
FAx
A
m B
C
mPbsin
FAy
a
FAy
FB
FB
mPsin(ab)
a
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例题3
悬臂式吊车结构中AB为吊车大梁，BC为钢索， A、处为固定铰链支座，B处为铰链约束。已知起重 电动电动机E与重物的总重力为FP(因为两滑轮之间 的距离很小，FP可视为集中力作用在大梁上)，梁的 重力为FQ。已知角度θ=30º。
M A C R C d 0 .2R 5 C (N 5 .m )
Mi 0 MACM0 RC 313N7
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3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3.1 平衡条件
平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系 的主矢和对任一点的主矩都等于零。即
F M
R
O
0 0
FR (Fx)2 (Fy)2 MO MO(Fi)
求：1. 电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和 支座A处的约束力；
2. 分析电动机处于什么位置时，钢索受力最大， 并确定其数值。
解： 1．分析受力
建立Oxy坐标系。 A处约束力分量为FAx和FAy ；钢 索的拉力为FTB。
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零，即 n
Mi0
i1
思考：从力偶理论知道，一力 不能与力偶平衡。图示轮子
上的力P为什么能与M平衡
呢？
M
O
R
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P
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[例3] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m 1 m 2 m 3 m 4 1N 5 m ,求工件的 总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
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5
FPtg
NBcoPs
又由几何关系：
tg
r2(rh)2 0.577
rh
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
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1 平面汇交力系的平衡方程
FR (Fxi)2(Fyi)20
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第3章 力系的平衡条件与平衡方程
1 平面汇交力系的平衡条件与平衡方程 2 平面力偶系的平衡条件与平衡方程 3 平面任意力系的平衡条件与平衡方程 4 简单的刚体系统平衡问题 5 考虑摩擦时的平衡问题 6 结论与讨论
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3.4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3. 2 平衡方程
由于 F R ( F x)2 ( F y)2,M O M O (F i)
所以
F xi 0 F yi 0
M
O
(Fi)
0
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各
力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分
别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。
上式称为平面任意力系的平衡方程。
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例1 例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
a A
F x0:F A xqb0
Fy0:FAyP0
MA(F)0: MAPa12qb2 0
解之得：
FAx qb
MA
FAx
A
FAy
FAy P MAPa12q2 b
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b
P q
P q
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例2 例2 求图示梁的支座反力。
解：以梁为研究对象，受力如图。
F x 0 :F A x P c o s 0
P
A
m B C
a
b
F y 0 :F A y F B P sin 0
M A ( F ) 0 : F B a P s i n ( a b ) m 0
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1 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 该力系的合力等于零。用矢量式表示为：
uur Fi 0
在平衡的情形下，力多边形中最后一力的 终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称 为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡 的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行 封闭，这是平衡的几何条件。
解: 各力偶的合力偶矩为
Mm1m2m3m4 4(15)60Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
根据平面力偶系平衡方程有: N B 0 .2 m 1 m 2 m 3 m 4 0
NB06.20300N
NANB30N 0
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[例4] 图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束反力。
第三 章
力系的平衡条 件和平衡方程
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第3章 力系的平衡条件与平衡方程
受力分析的最终的任务是确定作用在构件上的所有未知力，作为对工程构件进行 强度设计、刚度设计与稳定性设计的基础。
本章将在平面力系简化的基础上，建立平衡力系的平衡条件和平衡方程。并应用 平衡条件和平衡方程求解单个构件以及由几个构件所组成的系统的平衡问题，确定 作用在构件上的全部未知力。此外本章的最后还将简单介绍考虑摩擦时的平衡问题。
Y0 P R A si n S Cs D4 i0 n 5 0
4. 解方程
由EB=BC=0.4m，
解得： tgEB0.41
AB1.2 3
SCD si4n05cPo40 s5tg 4.2k 4N ； RASCDccoo4ss503.16kN
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2 平面力偶系的平衡条件
所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此，
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[例1] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用 的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
解： ①选碾子为研究对象 ②取分离体画受力图
∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时拉力F和自 重及支反力NB构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形 封闭，故
Fxi 0
Fyi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在 作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。
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[例2] 已知 P=2kN 求SCD , RA
解:
1. 取AB杆为研究对象 2. 画AB的受力图
3. 列平衡方程
X0 R Aco sSCD co 40 s5 0
解之得：
P
FAx Pcos
FAx
A
m B
C
mPbsin
FAy
a
FAy
FB
FB
mPsin(ab)
a
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例题3
悬臂式吊车结构中AB为吊车大梁，BC为钢索， A、处为固定铰链支座，B处为铰链约束。已知起重 电动电动机E与重物的总重力为FP(因为两滑轮之间 的距离很小，FP可视为集中力作用在大梁上)，梁的 重力为FQ。已知角度θ=30º。
M A C R C d 0 .2R 5 C (N 5 .m )
Mi 0 MACM0 RC 313N7
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3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3.1 平衡条件
平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系 的主矢和对任一点的主矩都等于零。即
F M
R
O
0 0
FR (Fx)2 (Fy)2 MO MO(Fi)
求：1. 电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和 支座A处的约束力；
2. 分析电动机处于什么位置时，钢索受力最大， 并确定其数值。
解： 1．分析受力
建立Oxy坐标系。 A处约束力分量为FAx和FAy ；钢 索的拉力为FTB。
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零，即 n
Mi0
i1
思考：从力偶理论知道，一力 不能与力偶平衡。图示轮子
上的力P为什么能与M平衡
呢？
M
O
R
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[例3] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m 1 m 2 m 3 m 4 1N 5 m ,求工件的 总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
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FPtg
NBcoPs
又由几何关系：
tg
r2(rh)2 0.577
rh
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
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1 平面汇交力系的平衡方程
FR (Fxi)2(Fyi)20