《理论力学》第三章力系的平衡条件及其应用

26
§3–2 平面力系的平衡条件及其应用
例 4 、塔式起重机如图所示。机架 重 G1=700kN ，作用线通过塔架的 中心。最大起重量 G2=200kN ，最 大悬臂长为 12m ，轨道 AB 的间距 为 4m 。平衡荷重 G3 到机身中心线 距离为6m。试问： (1) 保证起重机在满载和空载时都 不翻倒，求平衡荷重G3应为多少? (2) 当 平 衡 荷 重 G3=180kN 时 ， 求 满载时轨道 A ， B 给起重机轮子的 约束力？ 27
12
§3–1 空间力系的平衡条件及其应用
z
解：1、取整体系统为研究对象：
FBz
B
FAz
A D
Fr
E
Ft Fa
y
2、受力分析如图 3、列平衡方程
F
x
FAx
FAy
FBx
FD
F
ix
0
F FAx FBx Ft 0
F
iy
0
FAy Fa 0
FD FAz FBz Fr 0
C F1 l
α F2 b
B
18
§3–2 平面力系的平衡条件及其应用
解：
1、取伸臂AB为研究对象
F
2、受力分析如图
y A FB α
E
c
C F1
α F2 b
B
FAy FAx
A D
C
B
x
a l
F1
G
F2
19
§3–2 平面力系的平衡条件及其应用
y
3、列平衡方程
FAy FAx
A D
FB
C
α
E
Fix 0
例 3 、自重为 G=100kN 的
60
l
l D
F
B
T字形刚架ABD，置于铅
M
垂面内，载荷如图所示， 其 中 M=20kN· m ， F=400kN ， q=20kN/m ，
3l
G
A
l=1m。试求固定端A的约
q
束力。
24
§3–2 平面力系的平衡条件及其应用
解：1、取T 字形刚架为研究对象 2、受力分析
G3
6m
G1
12 m
G2
A B
FA
F 2m 2m B
§3–2 平面力系的平衡条件及其应用
解：
取塔式起重机为研究对象，受力分析如图所示。 1、起重机不翻倒。 满载时不绕B点翻倒，临界情况下FA=0，可得 G3
6m
G1
G3min 6 m 2 m G1 2 m G2 12 m 2 m 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
动铰支 D 和固定铰支 A 的
约束力。
21
§3–2 平面力系的平衡条件及其应用
解： 1.取梁AB为研究对象。 2、受力分析如图。
FAy
A
q A D
M
B 1m
F
D
M
B
2m
FAx
C
FD
其中F=q×AB =300 N；作用在AB 的中点C。
22
§3–2 平面力系的平衡条件及其应用
3、选如图坐标系，列平衡方程
ix
iy
iz
x
y
4、联立求解 FAx 750 N ,
M Ax 375 N m ,
M Az Fx 0.075 Fy 0.2 0
FAz 5000 N
FAy 1500 N ,
M Ay 1000 N m , M Az 243.8 N m 11
§3–1 空间力系的平衡条件及其应用
例 2 、某种汽车后桥半轴可看成支承 在各桥壳上的简支梁。 A 处是径向止 推轴承， B处是径向轴承。已知汽车 匀速直线行驶时地面的法向约束力 FD=20kN，锥齿轮上受到有切向力Ft , 径向力Fr ，轴向力Fa的作用。已知： Ft=117kN， Fr=36kN， Fa=22.5kN， 锥齿轮的节圆平均直径 d=98cm，车轮 半 径 r=440cm ， l1=300cm ， l2=900cm ， l3=80cm。如果不计重量，试求地面的 摩擦力和A，B两处轴承中约束力的大 小。
10
§3–1 空间力系的平衡条件及其应用
z
3、列平衡方程
MAy
y
MAz FAz
A
FAy FAx MAx
B
Fz Fy
x
Fx
F 0 FAx Fx 0 F 0 FAy Fy 0 F 0 FAz Fz 0 M 0 M Ax Fz 0.075 0 M 0 M Ay Fz 0.2 0 Mz 0
A
F1 MA
G FAy
A FAx
M A M F1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0 l
4、联立求解
FAx F sin 60 F1 316.4 kN FAy P F cos 60 100 kN
x
M A M F1 l Fl cos 60 3Fl sin 60 789.2 kN m
又 F ( Fix )2 ( Fiy )2 ( Fiz )2
M O ( M x ( F ))2 ( M y ( F ))2 ( M z ( F )) 2
所以空间一般力系的平衡方程为：
F F F
ix iy iz
0, M x ( Fi ) 0 0, M z ( Fi ) 0
FAx FB cos 0
B
x
a
F1
F
G l
F2 b
iy
0
FAy F1 G F2 FB sin 0
M F 0,
A
l F1 a G F2 l b FB cos c FB sin l 0 2
设各力线都 // z 轴。
F 0 M (F ) 0 M (F ) 0
iz x i y i
M 因为 F F
z
( Fi ) 0 0 0
4
ix iy
均为恒等式
§3–1 空间力系的平衡条件及其应用
二、空间约束
观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转 动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有 阻碍就有约束反力。
( Fi ) 0
M A (Fi ) 0
B
三矩式
M M
A
( Fi ) 0
B
( Fi ) 0
条件：A,B,C不在同一直线上
16
M
C
( Fi ) 0
§3–2 平面力系的平衡条件及其应用
平面汇交力系的平衡方程为：
平面平行力系的平衡方程为：
F F
ix iy
0 0
(设各力作用线平行y轴）
iy
解方程得
FB 870 kN FA 210 kN
29
§3–2 平面力系的平衡条件及其应用
例 5 、外伸梁的尺寸及载荷如图所示， F1=2 kN ， F2=1.5kN ， M=1.2kN· m ， l1=1.5m ， l2=2.5m，试求铰支座A及支座B的约束力。
ll
A
F1
M
B
F2
60
l2
还有四矩式，五矩式和六矩式， 0, M y ( Fi ) 0 同时各有一定限制条件。
3
§3–1 空间力系的平衡条件及其应用
空间汇交力系的平衡方程为：
F F F
ix iy iz
0 0 0
因为各力线都汇交于一点， 各轴都通过该点，故各力矩 方程都成为了恒等式。
空间平行力系的平衡方程为：
1
第三章 力系的平衡条件及其应用
§3–1 空间力系的平衡条件及其应用 §3–2 平面力系的平衡条件及其应用 §3–3 静定和静不定问题的概念 §3–4 刚体系统的平衡 §3–5 平面静定桁架的内力分析
习题课
2
§3–1 空间力系的平衡条件及其应用
一、空间任意力系的平衡充要条件
F 0 F i 0 M O M O ( Fi ) 0
4.联立求解。 FB = 12456 N FAx = 11290 N FAy = 4936 N
20
§3–2 平面力系的平衡条件及其应用
例2、梁AB上受到一个均
q A D
M
布载荷和一个力偶作用
，已知载荷集度（即梁
B 的每单位长度上所受的
力） q=100N/m ，力偶矩
1m
2m
大 小 M=500N·m 。 长 度 AB=3m ， DB=1m 。 求 活
60

y
l
l
F
B
F
D
60

l
l D M
M
B
3l
G
A
F1
l MA
G FAy
A FAx
q
x
25
§3–2 平面力系的平衡条件及其应用
3、按图示坐标，列写平衡方程
y
F F
x
0 0
F
60

l
l
FAx F1 F sin 60 0
y
B
D
M
FAy P F cos 60 0
M F 0
l1
30
§3–2 平面力系的平衡条件及其应用
ll
A
F1
M
B
解：1、取梁为研究对象
F2
60
l2
l1 F2
60
x
FBy
2、受力分析 3、列平衡方程 Fix 0 FAx F2 cos 60 0
M
A
0
FBy l2 M Fl 1 1 F2 (l1 l2 )sin 60 0
12 m
M
B
0
G2
A B
2m 2m
G3min 75 kN
空载时，G2 = 0，不绕A点翻倒，临 界情况下FB = 0，可得
G3max 6 m 2 m G1 2 m 0 G3max 350 kN
28
FA
FB
M
A
0
则有
75 kN＜G3＜350 kN
§3–2 平面力系的平衡条件及其应用
3、联立求解
FAx 7 kN ,
Fl1 FBxl2 Ft l2 l3 0
FAy 22.5 kN , FAz 28.6 kN FBx 123 kN , FBz 44.6 kN , F 13 kN
14
§3–2 平面力系的平衡条件及其应用
一、平面力系的平衡充要条件
F 0 F i 0 MO MO (Fi ) 0
又 F ( Fix ) 2 ( Fiy ) 2
平面力系平衡方程的基本形式
F F
ix
0
M
iy
O
0
( Fi ) 0
（一矩式）
15
§3–2 平面力系的平衡条件及其应用
二矩式
F
M
ix
0
条件：x 轴不 AB连线
2、取G3=180 kN，求满载时轨道A ， B给
6m
G3 G1
12 m
起重机轮子的约束力。 G2 列平衡方程
A
B
2m 2m
M F
A
0
FA
FB
G3 6 m 2 m G1 2 m G2 12 m 2 m FB 4 m 0 0 G3 G1 G2 FA FB 0
F
ix
0
FAx 0
FAy F FD 0
FAy
A
F
D
M
B
Fiy 0
M F 0
A i
FAx
C
AB F FD 2 m M 0 2
FD
4.联立求解，可得
FD= 475 N， FAx= 0 ， FAy= －175 N
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§3–2 平面力系的平衡条件及其应用
y =75mm，z =0。如果不计刀杆的重量，试求刀杆根部A的约束力。
9
§3–1 空间力系的平衡条件及其应用
z
解： 1、取镗刀杆为研究对象：
MAy
y
MAz
FAz
A
FAy FAx MAx
2、受力分析
Fz Fy
x
B
Fx
刀杆根部是空间固 定端约束，可有作用在 A 点的三个正交分力和 作用在不同平面内的三 个正交力偶表示约束反 力。
F M
iy
0 ( Fi ) 0
（一矩式）
O
M M
A B
( Fi ) 0 ( Fi ) 0
（二矩式）
平面力偶系的平衡方程为：
M
i
0
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
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§3–2 平面力系的平衡条件及其应用
例 1 、伸臂式起重机如图所示 F ，匀质伸臂AB重 G =2200N， 吊车 D ， E 连同吊起重物各重 c F1=F2=4000N 。有关尺寸为： A l=4.3m，a=1.5 m，b=0.9 m， c=0.15 m，α=25°。试求铰链 a A对臂AB的水平和铅直约束力 ，以及拉索BF 的拉力。
1、球铰链
5
§3–1 空间力系的平衡条件及其应用
2、向心轴承，蝶铰链，滚珠（柱）轴承
6
§3–1 空间力系的平衡条件及其应用
3、导向轴承
4、带有销子的夹板
7
§3–1 空间力系的平衡条件及其应用
5、止推轴承
6、空间固定端
8
§3–1 空间力系的平衡条件及其应用
例1、镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力Fz， 径向力Fy，轴向力Fx的作 用。各力的大小Fz=5000N， Fy=1500N， Fx=750N，而刀尖B 的坐标x =200mm，
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F
iz
0
§3–1 空间力系的平衡条件及其应用
z
M
FBz
B
FAz
A D
Fr
E
Ft Fa
y
F
x
FAx
FAy
FBx
FD
d FDl1 FBxl2 Fr l2 l3 Fa 0 2 M y 0, d Fr Ft 0 2 M z 0,
x
0,