梁的切应力及强度条件
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F A C 5m FSmax B
FS max FRA F 30kN
查型钢表中，20a号工字钢，有
Iz S
* z max
17.2cm
d=7mm
据此校核梁的切应力强度
F S max S max Izd
* z max
+
24.9MPa [ ]
以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的.
F
q
F
D
a
B
C
E l
208kN 8kN
FRB
210kN
M max 45 103 3 Wz 281 cm 6 [ ] 160 10
查型钢表，选用22a工字钢，其 Wz＝309cm3
41.8 kN· m
45 kN· m
41.8 kN· m
(Stresses in Beams)
（3）校核梁的切应力 查表得
（c）在纵截面上必有沿 x 方向的切向内力dFS′.故在此面上就有 切应力τ. 根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相 等. 各点的切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可 求出.
(Stresses in Beams)
（3）公式推导(Derivation of the formula) 假设m-m，n-n上的弯矩为M和M+dM， z
两截面上距中性轴 y1 处的正应力为1 和2.
FN1 σ1dA
A1
y
x
My1 M dA y1dA FN1 A1 I I z A1 z M 1dA Sz Iz M dM FN 2 σ 2dA Sz A1 Iz
A1
dFS’
A
B1
m’
y
B FN2
m
z A1
z y1 y A1 O B1 A B x
b h 2 y1bdA1 ( y ) y 2 4 2 FS S z FS h ( y2 ) I zb 2Iz 4
h/ 2
2
dy1
m1
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化. y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0 y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
Wz
ymax
120
200
(Stresses in Beams)
（2）校核突变截面处的正应力， FRA
也就是校核未加强段的正应力强度. A 该截面上的最大弯矩为
1.41m
F
D
2.2m 2.5m 5m
FRB
C B
Fab 50.4kN m MD l
从型钢表中查得20a工字钢
3 W z 237cm
Iz
* z max
max
S 210 103 98.6MPa [ ] 100MPa 2 2 21.3 10 1 10
18.9cm , d=1cm
所以应选用型号为25b的工字钢.
(Stresses in Beams)
例题6 对于图中的吊车大梁，现因移动荷载F增加为50kN，故 在 20a号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm10mm而长度
F1
F2
q(x)wenku.baidu.com
（距中性轴等距离处切应力相等）.
(Stresses in Beams) （2）分析方法(Analysis method)
（a）用横截面m-m , n-n从梁中截取 dx一段.两横截面上的弯矩不等. 所 以两截面同一y处的正应力也不等； （b）假想地从梁段上截出体积元素 mB1，在两端面mA1，nB1上两个法向 内力不等.
A1
y
研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为
FS S I zb
* z
b H h z
x
o
假设求应力的点到中性轴的距离为y.
y
(Stresses in Beams)
d — 腹板的厚度 * S z — 距中性轴为y的横线以外部分的横截 面面积A对中性轴的静矩.
FS S I zd
z
z
y
k
O
k'
O'
y
(Stresses in Beams)
最大切应力发生在中性轴上
d
max
πd 2 式中 A 为圆截面的面积. 4
4.圆环形截面梁(Circular pipe beam) 图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为
FS S * 4 FS z I zb 3 A
z
k
O
k'
O'
y
，环的平均半径为r0，由于 « r0 故可假设
FSmax S max [ ] max [ ] Izb 三、需要校核切应力的几种特殊情况
y
δ
（1）梁的跨度较短，M 较小，而FS较大时,要校核切应力； （2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢
的相应比值时，要校核切应力；
（3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差，要校核切应力.
120
200
（1）F位于跨中时跨中截面
z
(Stresses in Beams)
（1）校核F位于跨中截面时的弯曲 FRA 正应力 最大弯矩值为 M max 62.5kN m 查表得20a工字钢 I z 2370cm 4 跨中截面对中性轴的惯性矩为
1.41m
F
D
2.2m 2.5m 5m
FRB
z （a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化； （b）切应力的方向与圆周相切. y δ
(Stresses in Beams)
横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为
max
FS 2 A
式中 A=2r0
max
z
为环形截面的面积
* z max
二、强度条件（Strength condition）
O
max
FS BH 2 h2 ( B b) Izb 8 8
A
*
y
max
τmax z y
（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二 次抛物线规律变化； （b）最大切应力也在中性轴上.这也是 整个横截面上的最大切应力.
o
max min
FS bh
min
(Stresses in Beams) * FS S z max max Izd
C B
A
1.4m
62.5kN· m
I z 2730 10 8 2[10 120(110 5) 1012 ] 5020 108 m 4
略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩.
抗弯截面系数 W z I z 456 10 6 m3
z 10
cmax M max 137MPa [ ]
(Stresses in Beams)
例题5 简支梁AB如图所示. l＝2m，a＝0.2m. 梁上的载荷为q为 10kN/m，F＝200kN.材料的许用应力为[]=160MPa，[]＝ 100MPa，试选择工字钢型号. FRA （2）根据最大弯矩选择工字钢型号 解：（1）计算支反力做内力图.
A a
1dA
m’
y
Fx 0
化简后得
FN 2 FN1 dFS 0
'
m
n
dM S dx I z b
z
dM FS dx
FS S Izb
z
(Stresses in Beams)
FS S z I zb
Iz
b
整个横截面对中性轴的惯性矩. 矩型截面的宽度. 距中性轴为y的横线以外部分横 截面面积对中性轴的静矩.
y
F1
F2 m
n
q(x)
x
m
n dx
m’
z
m
y
n x
B
z x
A1 A B1 B y
h
O
A1 B1 A
FN1
ḿ
FN2
m’
y
m
n
b m
n
dx
(Stresses in Beams)
z y A1 x z B1 B
m’
m
y A1
n x
B
h
O
B1
FN1
dFS’ ḿ
y
A
FN2
τ’
A
m’ τ
m
n
y
b m
n
dx
y
A
*
z
S
z
（4）切应力沿截面高度的变化规律 ( The shear- stress distribution on the rectangular cross section )
沿截面高度的变化由静矩 S 与y之间的关系确定. z
(Stresses in Beams)
S y1dA
Iz S
* z max
18.9cm ,
腹板厚度 d=0.75cm，由剪力图知最大剪力为210kN
max
3 FS max S z 210 10 max I zb 18.9 10 2 0.75 10 2
148MPa [ ] 100MPa
τmax超过[]很多，应重新选择更大的截面.现已25b工字钢进 行试算 查表得
5m 37.5 kN· m
M max 37.5kN m
所以梁的最大正应力为
（a）正应力强度校核 由型钢表查得20a工字钢的 W z 237cm
σ max
M max 158MPa [σ ] Wz
+
3
(Stresses in Beams)
（b）切应力强度校核 在计算最大切应力时，应取荷载F在紧靠任一支座例如支 座A处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应 力也就最大.
y
m
n
τmax z
max
FS h
2
max
8I z 3FS 2A
FS h 3 bh 8
2
12
3 FS 2 bh
式中，A=bh为矩形截面的面积.
(Stresses in Beams)
截面静矩的计算方法
S z A ydA Ay
A为截面面积
z
y为截面的形心坐标
2.工字形截面梁（工-section beam)
式中:
*
max
max
z
O
S z max —中性轴任一边的半个横截面面积对
中性轴的静矩.
3.圆截面梁(Beam of circular cross section)
y d
min
在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切. 假设： （a）沿宽度k-k'上各点处的切应力 z 均汇交于O'点；
（b）各点处切应力沿y方向的分量沿 宽度相等.
(Stresses in Beams)
例题4 一简易起重设备如图所示.起 重量(包含电葫芦自重)F = 30 kN. 跨
长l = 5 m. 吊车大梁AB由20a工字钢
制成.其许用弯曲正应力[]=170MPa, 许用弯曲切应力[]= 100MPa ，试校
A 2.5m
F F C B
核梁的强度. 解：此吊车梁可简化为简支梁，力 F 在 梁中间位置时有最大正应力 .
1.4m
50.4 kN· m
σ D max
MD 213MPa [σ ] Wz
梁不能满足正应力强度条件. 为此应将加强板适当延长.
（3）校核阶梯梁的切应力 请同学们自行完成计算.
F 靠近任一支座时，支座截面为不利荷载位置
FSmax F
2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示.已知许用弯曲
正应力[]=152MPa，许用切应力 []=95MPa.试校核此梁的强度. 解：加强后的梁是阶梯状
10
变截面梁. 所以要校核
2.2m
上的弯曲正应力； （2）F靠近支座时支座截面上的切应力； （3）F移至未加强的梁段在截面变化处的正应力.
n
式中： A1为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积.
Sz y1dA 为面积A1对中性轴的静矩. A
1
(Stresses in Beams) M FN1 Sz Iz M dM FN 2 Sz Iz
z
y
A1
x
dFs bdx
由平衡方程
FN2
dFS’
A
B1
B FN1
(Stresses in Beams)
§5-4 梁的切应力及强度条件(Shear stresses in beams and strength condition)
一、梁横截面上的切应力（Shear stresses in beams）
1.矩形截面梁(Beam of rectangular cross section) （1）两个假设(Two assumptions) （a）切应力与剪力平行； （b）切应力沿截面宽度均匀分布
FS max FRA F 30kN
查型钢表中，20a号工字钢，有
Iz S
* z max
17.2cm
d=7mm
据此校核梁的切应力强度
F S max S max Izd
* z max
+
24.9MPa [ ]
以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的.
F
q
F
D
a
B
C
E l
208kN 8kN
FRB
210kN
M max 45 103 3 Wz 281 cm 6 [ ] 160 10
查型钢表，选用22a工字钢，其 Wz＝309cm3
41.8 kN· m
45 kN· m
41.8 kN· m
(Stresses in Beams)
（3）校核梁的切应力 查表得
（c）在纵截面上必有沿 x 方向的切向内力dFS′.故在此面上就有 切应力τ. 根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相 等. 各点的切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可 求出.
(Stresses in Beams)
（3）公式推导(Derivation of the formula) 假设m-m，n-n上的弯矩为M和M+dM， z
两截面上距中性轴 y1 处的正应力为1 和2.
FN1 σ1dA
A1
y
x
My1 M dA y1dA FN1 A1 I I z A1 z M 1dA Sz Iz M dM FN 2 σ 2dA Sz A1 Iz
A1
dFS’
A
B1
m’
y
B FN2
m
z A1
z y1 y A1 O B1 A B x
b h 2 y1bdA1 ( y ) y 2 4 2 FS S z FS h ( y2 ) I zb 2Iz 4
h/ 2
2
dy1
m1
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化. y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0 y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
Wz
ymax
120
200
(Stresses in Beams)
（2）校核突变截面处的正应力， FRA
也就是校核未加强段的正应力强度. A 该截面上的最大弯矩为
1.41m
F
D
2.2m 2.5m 5m
FRB
C B
Fab 50.4kN m MD l
从型钢表中查得20a工字钢
3 W z 237cm
Iz
* z max
max
S 210 103 98.6MPa [ ] 100MPa 2 2 21.3 10 1 10
18.9cm , d=1cm
所以应选用型号为25b的工字钢.
(Stresses in Beams)
例题6 对于图中的吊车大梁，现因移动荷载F增加为50kN，故 在 20a号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm10mm而长度
F1
F2
q(x)wenku.baidu.com
（距中性轴等距离处切应力相等）.
(Stresses in Beams) （2）分析方法(Analysis method)
（a）用横截面m-m , n-n从梁中截取 dx一段.两横截面上的弯矩不等. 所 以两截面同一y处的正应力也不等； （b）假想地从梁段上截出体积元素 mB1，在两端面mA1，nB1上两个法向 内力不等.
A1
y
研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为
FS S I zb
* z
b H h z
x
o
假设求应力的点到中性轴的距离为y.
y
(Stresses in Beams)
d — 腹板的厚度 * S z — 距中性轴为y的横线以外部分的横截 面面积A对中性轴的静矩.
FS S I zd
z
z
y
k
O
k'
O'
y
(Stresses in Beams)
最大切应力发生在中性轴上
d
max
πd 2 式中 A 为圆截面的面积. 4
4.圆环形截面梁(Circular pipe beam) 图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为
FS S * 4 FS z I zb 3 A
z
k
O
k'
O'
y
，环的平均半径为r0，由于 « r0 故可假设
FSmax S max [ ] max [ ] Izb 三、需要校核切应力的几种特殊情况
y
δ
（1）梁的跨度较短，M 较小，而FS较大时,要校核切应力； （2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢
的相应比值时，要校核切应力；
（3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差，要校核切应力.
120
200
（1）F位于跨中时跨中截面
z
(Stresses in Beams)
（1）校核F位于跨中截面时的弯曲 FRA 正应力 最大弯矩值为 M max 62.5kN m 查表得20a工字钢 I z 2370cm 4 跨中截面对中性轴的惯性矩为
1.41m
F
D
2.2m 2.5m 5m
FRB
z （a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化； （b）切应力的方向与圆周相切. y δ
(Stresses in Beams)
横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为
max
FS 2 A
式中 A=2r0
max
z
为环形截面的面积
* z max
二、强度条件（Strength condition）
O
max
FS BH 2 h2 ( B b) Izb 8 8
A
*
y
max
τmax z y
（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二 次抛物线规律变化； （b）最大切应力也在中性轴上.这也是 整个横截面上的最大切应力.
o
max min
FS bh
min
(Stresses in Beams) * FS S z max max Izd
C B
A
1.4m
62.5kN· m
I z 2730 10 8 2[10 120(110 5) 1012 ] 5020 108 m 4
略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩.
抗弯截面系数 W z I z 456 10 6 m3
z 10
cmax M max 137MPa [ ]
(Stresses in Beams)
例题5 简支梁AB如图所示. l＝2m，a＝0.2m. 梁上的载荷为q为 10kN/m，F＝200kN.材料的许用应力为[]=160MPa，[]＝ 100MPa，试选择工字钢型号. FRA （2）根据最大弯矩选择工字钢型号 解：（1）计算支反力做内力图.
A a
1dA
m’
y
Fx 0
化简后得
FN 2 FN1 dFS 0
'
m
n
dM S dx I z b
z
dM FS dx
FS S Izb
z
(Stresses in Beams)
FS S z I zb
Iz
b
整个横截面对中性轴的惯性矩. 矩型截面的宽度. 距中性轴为y的横线以外部分横 截面面积对中性轴的静矩.
y
F1
F2 m
n
q(x)
x
m
n dx
m’
z
m
y
n x
B
z x
A1 A B1 B y
h
O
A1 B1 A
FN1
ḿ
FN2
m’
y
m
n
b m
n
dx
(Stresses in Beams)
z y A1 x z B1 B
m’
m
y A1
n x
B
h
O
B1
FN1
dFS’ ḿ
y
A
FN2
τ’
A
m’ τ
m
n
y
b m
n
dx
y
A
*
z
S
z
（4）切应力沿截面高度的变化规律 ( The shear- stress distribution on the rectangular cross section )
沿截面高度的变化由静矩 S 与y之间的关系确定. z
(Stresses in Beams)
S y1dA
Iz S
* z max
18.9cm ,
腹板厚度 d=0.75cm，由剪力图知最大剪力为210kN
max
3 FS max S z 210 10 max I zb 18.9 10 2 0.75 10 2
148MPa [ ] 100MPa
τmax超过[]很多，应重新选择更大的截面.现已25b工字钢进 行试算 查表得
5m 37.5 kN· m
M max 37.5kN m
所以梁的最大正应力为
（a）正应力强度校核 由型钢表查得20a工字钢的 W z 237cm
σ max
M max 158MPa [σ ] Wz
+
3
(Stresses in Beams)
（b）切应力强度校核 在计算最大切应力时，应取荷载F在紧靠任一支座例如支 座A处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应 力也就最大.
y
m
n
τmax z
max
FS h
2
max
8I z 3FS 2A
FS h 3 bh 8
2
12
3 FS 2 bh
式中，A=bh为矩形截面的面积.
(Stresses in Beams)
截面静矩的计算方法
S z A ydA Ay
A为截面面积
z
y为截面的形心坐标
2.工字形截面梁（工-section beam)
式中:
*
max
max
z
O
S z max —中性轴任一边的半个横截面面积对
中性轴的静矩.
3.圆截面梁(Beam of circular cross section)
y d
min
在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切. 假设： （a）沿宽度k-k'上各点处的切应力 z 均汇交于O'点；
（b）各点处切应力沿y方向的分量沿 宽度相等.
(Stresses in Beams)
例题4 一简易起重设备如图所示.起 重量(包含电葫芦自重)F = 30 kN. 跨
长l = 5 m. 吊车大梁AB由20a工字钢
制成.其许用弯曲正应力[]=170MPa, 许用弯曲切应力[]= 100MPa ，试校
A 2.5m
F F C B
核梁的强度. 解：此吊车梁可简化为简支梁，力 F 在 梁中间位置时有最大正应力 .
1.4m
50.4 kN· m
σ D max
MD 213MPa [σ ] Wz
梁不能满足正应力强度条件. 为此应将加强板适当延长.
（3）校核阶梯梁的切应力 请同学们自行完成计算.
F 靠近任一支座时，支座截面为不利荷载位置
FSmax F
2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示.已知许用弯曲
正应力[]=152MPa，许用切应力 []=95MPa.试校核此梁的强度. 解：加强后的梁是阶梯状
10
变截面梁. 所以要校核
2.2m
上的弯曲正应力； （2）F靠近支座时支座截面上的切应力； （3）F移至未加强的梁段在截面变化处的正应力.
n
式中： A1为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积.
Sz y1dA 为面积A1对中性轴的静矩. A
1
(Stresses in Beams) M FN1 Sz Iz M dM FN 2 Sz Iz
z
y
A1
x
dFs bdx
由平衡方程
FN2
dFS’
A
B1
B FN1
(Stresses in Beams)
§5-4 梁的切应力及强度条件(Shear stresses in beams and strength condition)
一、梁横截面上的切应力（Shear stresses in beams）
1.矩形截面梁(Beam of rectangular cross section) （1）两个假设(Two assumptions) （a）切应力与剪力平行； （b）切应力沿截面宽度均匀分布