带通采样定理和低通采样定理

带通采样定理和低通采样定理

模拟信号经过采样转换成数字信号，时域分析为模拟信号与采样的周期冲击串相乘，根据傅里叶变换的时频对应关系可知，频域以采样周期为周期的频谱搬移过程，低通采样定理要求采样频率大于信号最高上限频率的2倍，频谱搬移的过程不会导致频谱混叠，带通采样频率小于这一条件，当满足一定的条件后频谱也不会混叠，但是此时频带发生传动，信号的重构和低通信号有很大差别。

一、低通采样周期性频谱搬移

低通采样的原理分析见数字信号处理（西电版）。

首先，低通采样实现的原理是进行周期性的频谱搬移，实际FFT 变换的结果只有(0:fs或者-fs/2:fs/2)，周期频谱搬移就是每个周期的信号频谱相同，只是索引值不同带来的结果不同，可以保持一个周期频谱不变，改变对应的真实频率范围获得搬移的效果。

@------fftshift()函数对应的真实频谱范围：fs*(-N/2:N/2-1)/N

@------fft()函数对应的真实频谱范围：fs*(0:N-1)/N

保持原始信号的频谱不变，转换频谱搬移周期，刚好达到两倍采样频率，谱结构如下：

结论：

（1）低通采样定理的周期性频谱搬移以采样频率为周期，采样频率必须大于信号最高上限的二倍，否则就会导致频谱混叠。 （2）低通采样后的信号重构只需要经过低通滤波器即可。

二、带通采样定理原理和重构分析 1、带通采样定理原理

带通采样定理：

一个频带限制在(),L H f f 内的连续时间信号()x t ，信号带宽

H L B f f =-，令N 为不大于

H

f B 的最大正整数，当采样频率

s f 满足一

下条件

22011H L

s f f

f m N m m

≤≤≤≤-+

则可以由采样后的序列无失真的重构原始信号()x t 。 原理分析：

f

f

L

f H

f H f -L

f -L

f H

f H f -L

f -

采样后的信号在频域变现为周期性的频谱搬移，为了能够重构原始信号，选择合适的采样频率，使(),H L f f --和(),L H f f 的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样通过升采样后经过带通滤波器即可恢复原始信号，分析正频率附近无混叠的条件： 保证延拓的频谱分量

(),H s L s f mf f mf -+-+和()(1),(1)H s L s f m f f m f -++-++与无拓展频率分量不

会混叠，即满足以下关系：

L s L f mf f -+≤

()1H s H f m f f -++≥

整理可得，

221H L s f f

f m m

≤≤+ 当0m =时，2s H f f ≥，此时为低通采样定理（奈奎斯特采样定理） 延拓周期还要保证2s f B ≥，

2L L H s f f f B

m f B B

-≤

≤= 01m N ≤≤- 带通采样定理由此而来。

2、重构分析

低通采样后的信号经过低通滤波器后即可恢复原始信号，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。通常，当带通信号的带宽B 大于信号的最低频率L f 时，把信号当作低通信号处理，使用低通抽样定理，而在不满足上述条件时则使用带通抽样定理，此外，还要在抽样信号的频谱之间便可形成一定间隔的保护带，既防止频谱的混叠，又放松了对低通滤波器的要求。这种以适当高于奈奎斯特频率进行抽样的方法在实际应用中是很常见的。

带通采样后的信号直接做傅里叶变换是无法获得未延拓的频谱分量，获得的是延拓后在采样频率界定的范围内的信号，信号的重构问题需要采用升采样的方法，获得更宽的频带范围，然后经过对应的带通滤波器，恢复精度还需要分析。

3、仿真分析

仿真条件：

原始信号()()()sinc 100cos 1000x t t t π=，信号参数100Hz B =，

450Hz L f =，550Hz H f =，依据带通采样定理有[

]5H

f N B

==，m 的取值范围[]01234，对应的采样频率范围为

021100Hz s H m f f =≥=——低通采样 1

2550Hz 900Hz

H s L

s m f f f f =≤≤≤≤，

2

2367Hz 450Hz 3H s L s m f f f f =≤≤≤≤ 123

275Hz 300Hz 23

H s L s m f f f f =≤≤≤≤

214

220Hz 225Hz 52

H s L s m f f f f =≤≤≤≤

信号长度1s T =，分别给出五种条件下的时域信号波形和频谱图，仿真结果如下所示： （1）0,1m m ==

（2）0,2

m m

==

（3）0,3

m m

==

（4）0,4

m m

==

总结：

带通采样后的信号经过傅里叶变换得到的频谱是延拓分量的截取，幅度信息可以保存，但是相位信息可能存在缺失，在信号升采样的过程中，可以看到真实的信号频带信息，但是此时引入更多的相位误差，经过带通滤波器后信号频带信息保存，但是相位信息已经受到损失！！！