浅谈隐函数及其应用

浅谈隐函数及其应用

分类号：

学校代码：11460

学号：11201910

南京晓庄学院本科生毕业论文

浅谈隐函数及其应用

On the implicit function and its application

所属院(部)：信息工程学院

学生姓名：王林林

指导教师：马圣容

研究起止日期：二○一四年十一月至二○一五年五月

【摘要】本文从隐函数定理的内容、隐函数的概念、证明方法，以及隐函数定理的应用几个方面进

行了简单的介绍。首先从隐函数定理出发，介绍并证明隐函数组定理和反函数组定理。通过这些推论，我们知道了隐函数定理的在很多方面都有着广泛的用途。最后讨论了隐函数定理在计算偏导数和导数、几何应用这几个方面的应用并做了具体的论述.

【关键词】隐函数定理；应用；导数；证明

【Abstract】 In this paper, the contents of the implicit function theorem, the concept of

implicit function, the proof method, and the application of the implicit function theorem are briefly introduced.. From the implicit function theorem, we introduce and prove the implicit function theorem and inverse function group theorem.. Through these inferences, we know that the implicit function theorem is widely used in many aspects.. At last, the application of the implicit function theorem in the calculation of partial derivative and derivative, and its application in geometrical application are discussed.

【Key words】implicit function theorem; Application; Optimization theory; proof

目录

摘要................................................................... I Abstract .............................................................. II 绪论. (1)

第1章隐函数 (2)

1. 1 隐函数 (2)

1. 2 隐函数组的概念 (2)

1. 3 反函数组的概念 (3)

第2章隐函数定理 (4)

2. 1 隐函数定理 (4)

2. 2 隐函数组定理 (6)

2. 3 反函数组定理 (7)

第3章隐函数定理的应用 (9)

3. 1 计算导数和偏导数 (9)

3. 1. 1 隐函数的导数 (9)

3. 1. 2 隐函数组的导数 (9)

3. 1. 3 对数求导法 (10)

3. 1. 4 由参数方程所确定的函数的导数 (10)

3. 2 几何应用 (11)

3. 2. 1 空间曲线的切线与法平面 (11)

3. 2. 2 空间曲面的切平面与法线 (13)

结论 (18)

参考文献 (19)

致谢 (20)

绪论

我们平时所遇到的大多是显函数，但是在实际问题中，有些问题显函数是无法解决的。隐函数的产生为现实生活中的很多问题带来了便捷。本论文就隐函数的定理做了一些研究，并列举了一些实例，对此进行了有效的验证。通过对隐函数的几个方面的研究，使我对加深了对隐函数的认识。

文章主要介绍了隐函数定理等相关推论，并给出了隐函数定理在计算偏导数和导数、几何应用这两个方面上的应用.

第一章 隐函数

1.1 隐函数

函数)(x f （对应关系）大多是用自变量的数

学表达式来表示的，通常称这样的函数为显函数. 例如2)(+=x x f ，)(x f =x cos .

定义1.1 如果方程f (x ,y )=0能确定y 是

x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数

例如，01=-+y xy 能确定一个定义在（-∞，

-1）∪（-1，+∞）上的隐函数y=f(x),如果从方程中把y 解出，这个函数也可以用表示为隐函数形式x

y +=11 不是所有的隐函数都能写成)(x f y =的形式，

如122=+y x ，所以隐函数不一定是函数，而是方程. 换句话说，方程不一定是函数，但函数都是方程。

1.2 隐函数组的概念

定义1.2

设有方程组⎩

⎨⎧==. 0),,,(, 0),,,(v u y x G v u y x F 其中),,,(),,,,(v u y x G v u y x F 为定义在4R V ⊂上的4元函数，若存在平面区域

D ，2R

E ⊂，对于D 中每一点（x,y)，有唯一的E v u ∈),(,使得V v u y x ∈),,,(，且满足方程组，则称由方程组确定了隐函数组

,),(,),(),,(),,(E v u D y x y x g v y x f u ∈∈⎩

⎨⎧== 并在D 上成立恒等式

.),(,

0)),(),,(,,(,0)),(),,(,,(D y x y x g y x f y x G y x g y x f y x F ∈⎩⎨⎧==

第二章 隐函数定理

2.1隐函数定理

定理2.1 定理2. 1 若函数),(y x F 满足下列条件

(1)F 在),(0

00y x P 以内点的某一区域2

R D ⊂上连续，

(2)0),(0

0=y x F (通常成为初始条件）