浅谈隐函数及其应用

浅谈隐函数及其应用
分类号：
学校代码：11460
学号：11201910
南京晓庄学院本科生毕业论文
浅谈隐函数及其应用
On the implicit function and its application
所属院(部)：信息工程学院
学生姓名：王林林
指导教师：马圣容
研究起止日期：二○一四年十一月至二○一五年五月
【摘要】本文从隐函数定理的内容、隐函数的概念、证明方法，以及隐函数定理的应用几个方面进
行了简单的介绍。

首先从隐函数定理出发，介绍并证明隐函数组定理和反函数组定理。

通过这些推论，我们知道了隐函数定理的在很多方面都有着广泛的用途。

最后讨论了隐函数定理在计算偏导数和导数、几何应用这几个方面的应用并做了具体的论述.
【关键词】隐函数定理；应用；导数；证明
【Abstract】 In this paper, the contents of the implicit function theorem, the concept of
implicit function, the proof method, and the application of the implicit function theorem are briefly introduced.. From the implicit function theorem, we introduce and prove the implicit function theorem and inverse function group theorem.. Through these inferences, we know that the implicit function theorem is widely used in many aspects.. At last, the application of the implicit function theorem in the calculation of partial derivative and derivative, and its application in geometrical application are discussed.
【Key words】implicit function theorem; Application; Optimization theory; proof
目录
摘要 (I)
Abstract (II)
绪论 (1)
第1章隐函数 (2)
1. 1 隐函数 (2)
1. 2 隐函数组的概念 (2)
1. 3 反函数组的概念 (3)
第2章隐函数定理 (4)
2. 1 隐函数定理 (4)
2. 2 隐函数组定理 (6)
2. 3 反函数组定理 (7)
第3章隐函数定理的应用 (9)
3. 1 计算导数和偏导数 (9)
3. 1. 1 隐函数的导数 (9)
3. 1. 2 隐函数组的导数 (9)
3. 1. 3 对数求导法 (10)
3. 1. 4 由参数方程所确定的函数的导数 (10)
3. 2 几何应用 (11)
3. 2. 1 空间曲线的切线与法平面 (11)
3. 2. 2 空间曲面的切平面与法线 (13)
结论 (18)
参考文献 (19)
致谢 (20)
绪论
我们平时所遇到的大多是显函数，但是在实际问题中，有些问题显函数是无法解决的。

隐函数的产生为现实生活中的很多问题带来了便捷。

本论文就隐函数的定理做了一些研究，并列举了一些实例，对此进行了有效的验证。

通过对隐函数的几个方面的研究，使我对加深了对隐函数的认识。

文章主要介绍了隐函数定理等相关推论，并给出了隐函数定理在计算偏导数和导数、几何应用这两个方面上的应用.
第一章 隐函数
1.1 隐函数
函数)(x f （对应关系）大多是用自变量的数
学表达式来表示的，通常称这样的函数为显函数. 例如2)(+=x x f ，)(x f =x cos .
定义1.1 如果方程f (x ,y )=0能确定y 是
x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数
例如，01=-+y xy 能确定一个定义在（-∞，
-1）∪（-1，+∞）上的隐函数y=f(x),如果从方程中把y 解出，这个函数也可以用表示为隐函数形式x
y +=11 不是所有的隐函数都能写成)(x f y =的形式，
如122=+y x ，所以隐函数不一定是函数，而是方程. 换句话说，方程不一定是函数，但函数都是方程。

1.2 隐函数组的概念
定义1.2
设有方程组⎩
⎨⎧==. 0),,,(, 0),,,(v u y x G v u y x F 其中),,,(),,,,(v u y x G v u y x F 为定义在4R V ⊂上的4元函数，若存在平面区域
D ，2R
E ⊂，对于D 中每一点（x,y)，有唯一的E v u ∈),(,使得V v u y x ∈),,,(，且满足方程组，则称由方程组确定了隐函数组
,),(,),(),,(),,(E v u D y x y x g v y x f u ∈∈⎩
⎨⎧== 并在D 上成立恒等式
.),(,
0)),(),,(,,(,0)),(),,(,,(D y x y x g y x f y x G y x g y x f y x F ∈⎩⎨⎧==
第二章 隐函数定理
2.1隐函数定理
定理2.1 定理2. 1 若函数),(y x F 满足下列条件
(1)F 在),(0
00y x P 以内点的某一区域2
R D ⊂上连续，
(2)0),(0
0=y x F (通常成为初始条件）
(3)F 在内存在连续的偏导数),(y x F y
(4)0),(0
0≠y x F y 则有下列结论成立：
①)(x f y =在区间),(00ρρ+-x x
内连续； ②存在点0P 的某领域 ,)(0
D P U ⊂ 在 )(0P U . 上方程0),(=y x F 唯一地决定了一个定义在某区间
),(0αα+-x x 上的（隐）函数 )(x f y = 使得当
)
,(00αα+-∈x x x 时， )())(,(0P U x f x ∈且00)(,0))(,(y x f x f x F == 证 先证明隐函数f 的存在性与惟一性. ∵0),(00≠y x F y ，∴),(y x F y
是连续的， ∵我们知道),(y x F y
的连续性与局部保号性， 且闭矩形域
=D )(],[],[0'0'0'0'0p U y y x x ⊂+-⨯+-ρρρρ
有
0),(>y x F y )),((D y x ∈∀
∴，对任意的],['0'0ρρ+-∈x x
x ，),(y x F 在],['0'0ρρ+-y y 上严格单调增加. ∵0),(0
0=y x F ，∴可得
),(,0),('00'00>+<-ρρy x F y x F
又由于)
,(),,('0'0
ρρ+-y x F y
x F 在]
,['0'0
ρρ+-x x
上是连续的，∴存在)(0'
ρρρ<>，使得
))
,((0),(,0),(00'0'0ρρρρ+-∈>+<-x x x y x F y x F
∴对每一个固定的)
,(00
ρρ+-∈x x
x ，),(y x F 在]
,['0'0
ρρ+-y y
上都是单调递增的连续函数，
),(,0),('0'0>+<-ρρy x F y x F
∵零点存在定理，存在惟一的]
,['0'0
ρρ+-∈y y
y ，使得
),(=y x F . 因此由y 与x 的对应关系就确定了一个
函数)(x f y =，其定义域为)
,(00
ρρ+-x x
，值域包含于]
,['0'0ρρ+-y y ，记为：
)
,(),()('0'0000ρρρρ+-⨯+-=y y x x P V
从而结论①得以证明.
再证明)(x f 的连续性. 对于 )
,(00
αα+-x x
上的任意点 )(,_
__x f y x =,则由上
述结论可知 .
0_
βεβ+--y y y
＜＜ 任给 0＞β且ε 足够小，使得β
εεβ+≤+-≤-0_
_
_
y y y y y
＜＜
由0),(_
_
=y x F 及 ),(y x F 关于y 严格递增，可得
),0),(_
_
_
_
＞（，＜εε+-y x F y x F ，根据保号性，知存在_
x 的某
领域 )
,(),(00
_
_ααδδ+-⊂+-x x
x x ，使得当 ),(_
_δδ+-∈x x x 时同
样有，＞，＜0),(0),(_
_
εε+-y x F y x F
因为存在唯一的y ，使得 0),(=y x F , 即ε＜_
),(y y x f y -=这就证明了当δ＜_x x - 时,ε＜_)()(x f x f - ，即)(x f 在_
x 连续，由 _
x 得任意性，可得 )(x f 在 )
,(00
αα+-x x 上
连续
最后证明隐函数)(x f y =的可微性. 任取x 和x x ∆+都属于)
,(00
ρρ+-x x
，它们相对应的隐函
数值为)(x f y =和)(x x f y y ∆+=∆+，那么
),(,0),(=∆+∆+=y y x x F y x F
由多元函数微分中值定理，可得
y
y y x x F x y y x x F y x F y y x x F y x ∆∆+∆++∆∆+∆+=-∆+∆+=),(),(),(),(0θθθθ
在这里， 10<<θ. 因此，当y x ∆∆,充分小时
)
,(),(y y x x F y y x x F x y
y x ∆+∆+∆+∆+-=∆∆θθθθ.
因为),(y x F x
和),(y x F y
是连续的，取极限0→∆x 可得
)
,(),()('y x F y x F dx dy
x f y x -==
且)
('
x f
在)
,(00
ρρ+-x x
内连续.
相应的，我们能够得出由方程0),,,,(2
1
=y x x x F n
所确定的n 元隐函数的存在定理：
定理2.2如果f(x)满足下列几个条件 (1)0
),,,,(000201
=y x x x
F n ；
(2)在点),,,,(0
002
1
y x x x P n
的一个邻域⊂)(0
P U 1
+n R 内,函数
)
,,,,(21y x x x F n 连续；
(3) 0
),,,(002
01
≠y x
x x F n n
y
，
那么则有以下结论成立：
①),,,(2
1
n
x x x f y =在邻域n
R R U ⊂)(0
内连续；
②),,,(2
1
n
x x x f y =在邻域n
R R U ⊂)(0
内具有连续的偏导
数，满足
n i y x x x F y x x x F x y
n y n x i i ,,2,1,)
,,,,(),,,,(2121 =-=∂∂.
例 2. 1 验证方程0
),(=+=x y
e xe
y x F 在原点)
0,0(的某邻域内确定唯一的连续函数)(x f y =.
证明 由于),(y x F 与x
y
y
e xe
F +='都在2R 上连续，当
然在点)0,0(的邻域内连续，且01)0,0(,0)0,0(≠='=y
F F
由此可知方程0),(=y x F 在点)0,0(的某邻域内确
定唯一连续的隐函数)(x f y =.
例2.2
2.2隐函数组定理
定理 2.3
设),,,(),,,,(v u y x G v u y x F 以及它们的一阶偏导数在以点),,,(0
v u y x P 为内点的某区域⊂V 4
R 内
连续，且满足
(1)0),,,(,0),,,(0
==v u y x G v u y x F
(2)0
)
,(),(0
≠=
∂∂=P v
u
v
u G G F F
v u G F J
则⎩
⎨
⎧==0
),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ，在0
P 的某邻域)(0
P U 内唯一确定两个隐函数),(y x f u =，),(y x g v =，结论如下： ①)
,(),,(000000
y x g v y x f u
==，则有
⎩⎨
⎧≡≡0
)),(),,(,,(0),(),,(,,(y x g y x f y x G y x g y x f y x F
②),(),,(y x g v y x f u ==在邻域2
)(R R U ⊂内具有连续的一阶
偏导数，且
),(),(1,),(),(1x u G F J x v v x G F J x u ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂
)
,(),(1,),(),(1y u G F J y v v y G F J y u ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂
例 2. 2
验证方程组⎩
⎨
⎧=+--=++-4
28
22
222
v
u y x
v u y x 在点)
1,2,1,3(-的邻域内确定隐函数组，并求x u ∂∂，x
v
∂∂. 解 令
8
2),,,(-++-=v u y x v u y x F ，
42),,,(2
222-+--=v u y x v u y x G
则：
)1,2,1,3(,0)1,2,1,3(=-=-F G
F
与G 以及它们的一阶偏导数都连续
且)
(22211)
,()
,(v u v
u v u G F +=-=
∂∂，0
6)
,()
,()
1,2,1,3(≠=∂∂-v u G F
所以由隐函数组定理可知题设方程组确定隐函数组
⎩⎨
⎧==)
,(),(y x v v y x u u
在方程两端同时对x 求导得
⎪⎩
⎪⎨⎧
=∂∂⋅+∂∂⋅-=∂∂+∂∂+0
22201x v v x u u x x v x u
解得v u u x x u +-=∂∂，v
u u
x x v ++-
=∂∂
2.3反函数组定理
定理2. 4若函数组),(),,(y x v v y x u u ==满足如下条件：
(1)),(),,(y x v v y x u u ==均具有连续的偏导数
(2)0)
,()
,(≠∂∂=y x v u J 则函数组),(),,(y x v v y x u u ==可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组
)
,(),,(v u y y v u x x ==
且有
y
v
J u x ∂∂=
∂∂1，y u J v x ∂∂-=∂∂1，x v J u y ∂∂-=∂∂1，x
u J v y ∂∂=∂∂1 及
)
,()
,(1
),(),(y x v u v u y x ∂∂=
∂∂或
1)
,()
,(),(),(=∂∂⋅∂∂v u y x y x v u
定理2. 5 若函数组
⎪⎩⎪
⎨
⎧==)
,,(),,(212111n n n
n x x x y y x x x y y 满足如
下条件： (1)n
y y
y ,
21
,均具有连续的偏导数
(2)0)
,,()
,,(2
1
2
1≠∂∂n
n x x x y y y 则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组
⎪⎩⎪
⎨
⎧==)
,,(),,(212111n n n
n y y y x x y y y x x
且
有
1
)
,,()
,,(),,(),,(21212121=∂∂⋅∂∂n n n n x x x y y y y y y x x x
例：设平面上点P 的直角坐标),(y x 与极坐标),(θr 之间的坐标变换公式为 θθsin ,cos r y r x ==求反函数组
解：由于
θ
θ
θθ
θcos sin sin cos ),(),(r r r y x -=
∂∂r =
∴反函数组是22y x r +=，
⎪⎩
⎪⎨⎧
+0
,arctan 0,arctan ＜＞x x y
x x y πθ
第三章 隐函数定理的应用
3.1计算导数和偏导数 3.1.1隐函数的导数 例 求由方程0cos 23
=+-+y xy e x
x 所确
定的函数)(x f y =的导数y
.
解 将方程两端对x 求导数，
由于方程中的y cos 是y 的函数，从而y cos 是x 的复合函数。

于是x
x x y xy e x
''23
)0()cos (=+-+ 0
')sin ()21(3'22=⋅-+⋅⋅+⋅-+y y y y x y e x x
得
y
xy y e x y x sin 232
2'
+-+=
3.1.2对数求导法 例3. 3 求函数 3
2a
x x y -=
的导数
解：等号两端绝对值的对数，有 a x x a x x y --=-=ln 3
1
ln 32ln
ln 3
2
由隐函数的求导法则，有
)
(32131132'a x x a
x a x x y y --=
-⋅-⋅=
即32
'
)(32a
x x a x x a x y ---=
3.1.3由参数方程所确定的函数的导数
由参数方程⎩
⎨
⎧==)
()
(t y t x ϕϕ确定了y 是x 的函数，)(x y y =则称这个函数为有参数方程所确定的函数，其中
t
为参数．
参数方程所确定的函数求导法：
设函数)(t x ϕ=的单调连续的反函数为)(x t t =，而
且)(x t t =能与函数)(t y ϕ=复合成复合函数，由此所确定的函数)(x y y =可以当做是)(t y ϕ=与)(x t t =复合而成的函数))(()(x t x y y ϕ==，如果)(t x ϕ=，)(t y ϕ=都是可导函数，且0)(≠'t ϕ，则：
dt
dy dx dy =；dt
dy
dx dt =
；)()(1t t dt
dx ϕϕ''= 即
dt
dx
dt dy
t t dx dy =''=)()(ϕϕ
若)(),(t y t x ϕϕ==都二阶可导，则有：
3
22))(()
()()()()(t t t t t dx dy dx d dx y d ϕϕϕϕϕ''''-'''==
例3.4 已知抛物体的运动轨迹的参数方
程为
⎪⎩
⎪
⎨⎧-==2
2121gt t v y t v x 求抛物体在此时刻t 的运动速度的
大小和方向.
解 水平方向：因为速度的水平分量为
1v dt
dx
=，垂直分量为gt
v
dt
dy -=2
，所以抛物体运动速度
为
222122)()()(
gt v v dt
dy
dt dx v -+=+=
速度方向：轨道的切线方向，设α是切线的倾角，则
12tan v gt
v dt
dx dt dy
dx dy -=
==α
所以抛物体刚射出（即0=t ）时
1
2
00tan v v dx dy
t t ==
==α
当g v t 2
=时
0tan 2
2==
==g
v t g
v t dx dy
α
由此证明，此时运动方向是水平的，抛物体已经达到最高点. 3.2几何应用
3.2.1空间曲线的切线与法平面 1. 设空间曲线C 的参数方程是
(),(),(),x x t y y t z z t t I
===∈（区间）
（1）切线方程是
)
()
()()()()(0'
00'00'0t z t z z t y t y y t x t x x -=-=-
（2）切线法平面的方程是 0
()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=
或 0
()[()]()[()]()[()]0.x t x x t y t y y t z t z z t '''-+-+-=
例1. 求螺旋线0
cos ,sin ,3
x a t y a t z bt π
====
在t
处的切
线方程与法线方程.
解： sin ,
cos ,
.
x a t y a t z b '''=-== 切线方程是
cos sin 333.sin
cos
3
3
x a y a z b
b
a a π
π
π
ππ
---=
=
-
即3
322.3
2a z b
x y a b a
π--
-==
-
法线方程是 330.22223a a a x y a b z b π⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
（2）设空间曲线L 的方程为
⎩⎨
⎧==0
),,(,0),,(z y x G z y x F . 当
()0
,)
,(0
≠∂∂P y x G F
空间曲线
⎩⎨
⎧==0
),,(,0),,(z y x G z y x F L ：点．0
P 附近可表示成参量方程如下：． )(z x ϕ=，．
)(z y φ=，．
z
z =，且．．
.
)
,(),(),()
,(,),(),(),(),(y x G F z x G F dz dy y x G F y z G F dz dx ∂∂∂∂-=∂∂∂∂-=
在0P 处的法平面方程
()
()().00000
0=-+-+
-z z y y dz dy
x x dz dx P P
切线方程为
.10
00
z z dz dy y y dz
dx x
x P P -=-=
-
例2 求球面50
222
=++z y x
与锥面2
22
z y x
=+所截
出的曲线在点(3,4,5)处的切线与法平面方程。

解：设.
),,( ,50),,(222222
z y x z y x G z y x
z y x F -+=-++=
在点(3,4,5)处的雅可比行列式和偏导数的值
为： 10,8,6-=∂∂=∂∂=∂∂z G y G x G ，10,8,6=∂∂=∂∂=∂∂z F y F x F ， 且()()()
.0,),(,120,),(,160,),(=∂∂=∂∂-=∂∂y x G F x z G F z y G F ∴切线方程：,0
5
12041603-=-=--z y x 法平面方程：.034=-y x
3.2.2曲面的切平面与法线
1. 设曲面为S ，S 上的任意点0
(,,)((,))M x y z z f x y =的
切平面方程是
(,)()(,)()()0,x
y
f x y x x f x y y y z z ''-+---=
即切平面的法向量是n ()0
(,),(,),1x
y
f x y f x y ''-.于是，法
线方程是
.(,)(,)1
x
y
x
x y y z z
f x y f x y ---==''- 例3. 求曲面2
2223
333
x
y z a
++=上在点0
(,,)P x y z 的切平
面方程与法线方程.
解： 22223
333
(,,).
F x y z x
y z a =++-
1
32,
3
x F x -'=
1
32,
3
y F y -'=
1
32.
3
z F z -'=
于是，曲面在点0
(,,)P x y z 的切平面方程与法线方程分别是 1
113
3
3
000000()()()0
x
x x y y y z z z ---
-+-+-=
与 0
001113
3
3
x x
y y z z x y z ------=
=
或 1113
3
3
00000()()().
x
x x y y y z z z -=-=-
例 4 求椭圆面6
32222
=++z y x
在(1,1,1)处的
切平面方程与法线方程。

解：设
.
632),,(222-++=z y x z y x F 因为
z
F y F x F z y x 6,4,2===在整个空间上处于连续状态.在)
1,1,1(处6
,4,2===z y x
F F F
.
切平面方程为,0)1(6)1(4)1(2=-+-+-z y x 得632=++z y x ，
法线方程为.3
1
2111-=-=-z y x 结 论
文章主要从隐函数的概念、隐函数定理、隐函数在计算导数和偏导数以及几何方面的应用入手，其中着重介绍了隐函数的在计算导数和偏导数，几何方面两大板块。

在撰写论文的时候，也遇到了很多难点，例如如何能够将理论知识具体、深刻、形象的运用到实际问题中。

本文介绍并证明了隐函数连续性定理、可微性定理及存在性定理。

通过这些定理，我们得出了反函数定理。

通过隐函数，导数的计算变的更加快捷简便，本文通过列举了一系列的例子对此进行了有效的验证。

此外隐函数求导数在空间几何等方面也有着一定的用途。

例如计算空间曲线的切线与法平面和空间曲面的切平面与法线
参考文献
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[8] 胡华，隐函数定理的一个推广及应用[J].
广西民族学院学报(自然科学版)，2000，6
(2)，2-5.
致谢
通过半年的努力，终于将毕业论文顺利完成，在此过程中，我衷心的感谢的马圣容老师，感谢您这段时间的悉心指导，没有您的指导，我
不可能顺利完成毕业论文的撰写。

除此之外，我还要感谢跟我共同度过大学四年的老师、同学、朋友，是你们让我从一个什么都不懂的高中生，慢慢的成长起来，对未来充满了憧憬。

感谢你们对我一直以来的帮助与关怀！
最后由衷的感谢各位评委、专家，谢谢您们提成的宝贵意见！。