常见力学模型在电场中的应用

常见力学模型在电场中的应用

龚知栋

（ 湖北省麻城市第二中学 438307 ）

带电粒子（带电物体）处在电场中的问题，实质上是力学和电场的综合问题。题目类型往往涉及带电粒子的平衡、直线、曲线或往复振动等常见力学模型的应用。解题时，倘若善于借助力学模型，将力学处理问题的方法迁移至电场，再复杂的问题往往迎刃而解。本文就几个典型力学模型进行详细刨析，供大家参考。

一、共点力平衡模型的应用

【例1】如图1所示，悬挂在O 点的一根不可伸长的绝缘细线下端有一个带电量不变的小球A .在两次实验中，均缓慢移动另一带同种电荷的小球B .当B 到达悬点O 的正下方并与A 在同一水平线上，A 处于受力平衡时，悬线偏离竖直方向的角度为θ（θ分别为30°和45°），若两次实验中B 的电量分别为q 1和q 2，则q 2/q 1为 ( )

A.2

B.3

C.23

D.33 解析：由于A 处于受力平衡，因此小球A 受到的合外力为零。对小球A 进行受力分析，由

库仑定律和平衡条件可得：2tan (sin )Qq K mg l θθ=，020

2020

1tan 45sin 45tan30sin 30q q ==23，因此本题正确的选项为C 。

二、直线运动运动模型

【例2】一个质量为m ，带电量为－q 的小物体，可在倾角为θ的绝缘斜面上运动，斜面底端的高度为h ，整个斜面置于匀强电场中，场强大小为E ，方向水平向右，如图2所示．小物体与斜面的动摩擦因数为μ，且小物体与档板碰撞时不损失机械能．求：

（1）为使小物体能从静止开始沿斜面下滑，θ、q 、E 、μ各量间必须满足的关系．

（2）小物体自斜面顶端从静止开始下滑到停止运动所通过的总路程S ．

解析：（1）小物体受到重力、电场力、斜面的支持力和摩擦力的作用，如图3所示，建立如图所示的坐标．由牛顿运动定律有： 图2

图1

x 方向：ma f qE mg =-+θθcos sin ①

y 方向：0cos sin =-+θθmg qE N ②

N f μ= ③

小物体能从静止开始沿斜面下滑的条件是：小物体沿斜面的加速度a>0，斜面对物体的支

持力Ｎ≥０，则由以上几式可得：

qE

mg tg qE mg qE mg ≤<=-θμμ （2）小物体与挡板数次碰撞反复滑行后，最终将停在档板处，此过程中，重力对小物体做功mgh ，电场力做功qEhctg θ，小物体克服摩擦力所做的功与总路程有关为fS ，由动能定理有：

0=-+fS qEhctg mgh θ ④

由②③两式可得

)sin cos (θθμqE mg f -=

解得小物体通过的总路程

)

sin cos ()(θθμθqE mg h qEctg mg S -+= 三、曲线运动（类平抛、圆周）模型

【例3】如图4所示，水平放置的两块平行金属板长L=5.0cm ，两板间距d=1.0cm ，两板间电压为90v ，且上板为正，一个电子沿水平方向以速度v 0=2.0×107m/s ，

从两板中间射入，如图，求：

（1）电子偏离金属板时的侧位移是多少？

（2）电子飞出电场时的速度是多少？

（3）电子离开电场后，打在屏上的P 点，若S=10cm ，求OP 的长？

解析：电子在匀强电场中受到电场力与重力作用，由于电场力F=

N 1044.1d Uq 15-⨯=，远大于重力（G=mg=9×10-30N ），即重力作用对物体运动的影响可以忽略不计，只考虑电场力。

又由于电场力方向于速度方向垂直，即在水平方向作匀速直线运动，竖直方向作初速度为零的匀加速运动，与平抛运动类似。

图 3 图4

（1）电子在电场中的加速度a=md Uq 侧位移即竖直方向的位移y=02v L t ,md 2Uqt =又因 则：y=cm 49.0mdv 2Uqt 20

2

= （2）电子飞出电场时，水平分速度V x =V 0，竖直分速度v y =at=s /m 104mdv UqL 60

⨯= 则电子飞出电场时的速度V ，由勾股定理可得：V=s /m 1004.2v v 72y 2X ⨯=+

设v 与v 0的夹角为θ，则tg θ=2.0v v x y

=

（3）电子飞出电场后作匀速直线运动，则OP=y+Stg θ=0.025m

【例4】质量为m 、带电荷量为+q 的小滑块，在竖直放置的光滑绝缘圆形轨道内侧运动，轨道半径为r 。现在该区域加一竖直向下的匀强电场，场强为E ，为使滑块在运动中不离开圆形轨道，则滑块在轨道最低点的速度应满足什么条件？

解析：滑块在圆形轨道内侧运动时，它受到的重力G 与电场力F 均是恒

力，这样可将它们的合力当作一个等效的重力，此重力大小为

qE mg 'G +=，方向仍竖直向下。所以滑块在电场中的这种运动就与力

学中滑块在竖直圆形轨道内侧运动的情形就完全相同了。而滑块在运动

中不离开圆形轨道有两种运动可能：

（1）滑块能做完整的圆周运动。如图5所示，由力学中的模型可知，

只要滑块能通过轨道的最高点B ，就能做完整的圆周运动，而滑块刚好能通过B 点时，轨道对滑块的弹力刚好为零，设此情形下滑块在轨道的最高点B 与最低点A 的速度大小分别为A B v v 、，则在B 点，由牛顿第二定律有：

r

v m qE mg 2

B =+ 滑块由A →B ，由动能定理有：

r 2)qE mg (mv 2

1mv 212

A 2

B ⋅+-=- 解得m

r )qE mg (5v A += 图5