第四节有理函数的积分

第四节 有理数函数的积分
本节我们还要介绍一些比较简单的特殊类型函数的不定积分,包括有理函数的积分以及可化为有理函数的积分,如三角函数有理式、简单无理函数的积分等.
分布图示
★ 有理函数的积分 ★ 例1 ★ 例2
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 有理函数的原函数
★ 三角函数有理式的积分
★ 例 11 ★ 例 12 ★ 例 13 ★ 例 14
★ 简单无理函数的积分
★ 例 15 ★ 例 16 ★ 例 17 ★ 例 18
★ 例 19 ★ 例 20 ★ 例 21 ★ 例 22
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题4-4
★ 返回
内容要点
一、有理函数的积分
1．最简分式的积分
下列四类分式称为最简分式,其中n 为大于等于2的正整数.,A 、M 、N 、a 、p 、q 均为常数,且042<-q p . (1) a x A -； (2) n
a x A )(-； (3) q
px x N Mx +++2； (4) n q px x N Mx )(2+++. 2．有理分式化为最简分式的和
二、可化为有理函数的积分
1．三角函数有理式的积分: 由x sin 、x cos 和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角有理函数,记为).cos ,(sin x x R
2．简单无理函数的积分
求简单无理函数的积分,其基本思想是利用适当的变换将其有理化,转化为有理函数的积分. 下面我们通过例子来说明.
三、总结
本章我们介绍了不定积分的概念及计算方法. 必须指出的是：初等函数在它有定义的区间上的不定积分一定存在,但不定积分存在与不定积分能否用初等函数表示出来不是一回事. 事实上,有很多初等函数,它的不定积分是存在的,但它们的不定积分却无法用初等函数表示
出来,如
dx e x ⎰-2,⎰dx x x sin ,⎰+31x dx
.
同时我们还应了解,求函数的不定积分与求函数的导数的区别,求一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做,而求一个函数的不定积分并无统一的规则可循,需要具体问题具体分析,灵活应用各类积分方法和技巧.
例题选讲
有理式的分解
例1(E01) 分解有理分式
6
532+-+x x x . 解 ,)3)(2(36532--+=+-+x x x x x x ∴设,3
26532-+-=+-+x B x A x x x ),2()3(3-+-=+x B x A x )23()(3B A x B A x +-+=+∴⇒⎩⎨⎧=+-=+3)23(1B A B A ⇒⎩
⎨⎧=-=,65B A .36256
532-+--=+-+∴
x x x x x 例2 分解有理式 .24
24x x +
解 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++++=+=+24)2(424222224x D Cx x B x A x x x x 两边同乘以2x 得:
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅++++=+2222424x x D Cx B Ax x 令,0=x 得.2/1=B 再将上式两边求导:
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⋅+=+-2224)2(822222x D Cx x x D Cx x A x x 令,0=x 得.0=A
同理，两边同乘以,22+x 令,2C x =得,0=C ,2/1-=D 所以
)2(4242224+=+x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=)2(2121422x x .22222+-=x x
例3 分解有理分式 2
)1(1-x x .
解 设1
)1()1(122-+-+=-x C x B x A x x ⇒),1()1(12-++-=x Cx Bx x A (*) 代入特殊值来确定系数,,,C B A 取0=x ⇒;1=A 取1=x ⇒;1=B
取,2=x 并将B A ,值代入(*)⇒;1-=C
.11)
1(11)1(122---+=-∴x x x x x
例4 分解有理分式 )
1)(21(12x x ++. 解 设22121)1)(21(1x
C Bx x A x x ++++=++⇒),21)(()1(12x C Bx x A ++++= 整理得 ,)2()2(12A C x C B x B A +++++=即1,02,02=+=+=+C A C B B A ⇒,5
1,52,54=-==
C B A .1515
22154)1)(21(122x x x x x ++-++=++∴
例5 将 )
1)(1(1222+---+x x x x x 分解为部分分式. 解 设1
1)1)(1(12222+-++-=+---+x x C Bx x A x x x x x 去分母，得)1)(()1(1222-+++-=-+x C Bx x x A x x
令,1=x 得;2=A 令,0=x 得,1C A -=-所以;3=C
令,2=x 得,237C B A ++=所以.1-=B
因此 .1
312)1)(1(12222+----=+---+x x x x x x x x x
有理式的积分
例6 (E02) 求不定积分⎰-dx x x 2
)1(1. 解 根据例3的结果
,1
1)1(11)1(122---+=-x x x x x ∴原式dx x x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=11)1(112dx x dx x dx x ⎰
⎰⎰---+=11)1(112 .|1|ln 1
1||ln C x x x +----
= 例7 (E03) 求不定积分⎰++dx x x )
1)(21(12.
解 根据例4的结果
,151522154)1)(21(12
2x x x x x ++-++=++ ∴原式⎰⎰++-++=dx x x dx x 2151522154⎰⎰
+++-+=dx x dx x x x 2211511251|21|ln 52 .arctan 5
1)1ln(51|21|ln 522C x x x +++-+=
例8 求不定积分.)
1)(1(1222dx x x x x x ⎰+---+ 解 根据例5的结果，有
dx x x x x dx x x x x x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+----=+---+1312)1)(1(12222⎰
⎰+----=dx x x x x dx 13122 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--+----=⎰⎰
4341511221|1|ln 222x x dx dx x x x x ⎰⎰
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+---=432121251)1(21|1|ln 2222x x d x x x x d x |1|ln 21|1|ln 22+---=x x x C x +-⋅+2
/32/1arctan 3225 .31
2arctan 351)1(ln 22
C x x x x +-++--=
例9 (E04) 求不定积分⎰+++++4
555222423x x x x x . 解法1
⎰⎰+++++++=dx x x x dx x x x x I 45524552242243⎰⎰
++++++++++=dx x x x x x x x x d )4)(1(4145)45(212222424 ⎰⎰
++++++=14|45|ln 212224x dx x dx x x .2
arctan 21arctan |45|ln 2124C x x x x +++++= 解法2
4
1)4)(1(5522222223+++++=+++++x D Cx x B Ax x x x x x
)4)((5522223++=+++x B Ax x x x )1)((2+++x D Cx
比较x 同次幂的系数得54,54,2,2=+=+=+=+D B C A D B C A
解得.1,1,1,1====D C B A 故⎰
⎰+++++=dx x x dx x x I 411122 |4|ln 21|1|ln 2122+++=x x C x x +++2
arctan arctan .2
arctan 21arctan |45|ln 2124C x x x x +++++= 解法3 由)1(5)1(25522223+++=+++x x x x x x )52)(1(2++=x x ，则有
)4)(1()52)(1()4)(1(55222222223++++=+++++x x x x x x x x x )4)(1()41)(1(2222++++++=x x x x x .4
11122+++++=x x x x 所以
.2
arctan 21arctan |45|ln 2124C x x x x I +++++=
例10 求不定积分
.116/3/2/dx e e e x x x ⎰+++ 解 令6x
e t =⇒,6,ln 6dt t dx t x ==
原式dt t t t dt t t t t ⎰⎰++=⋅+++=)1)(1(6611223dt t t t t ⎰
⎪⎭⎫ ⎝++-+-=213313 ⎰⎰
+-++-+-=dt t
t t d t t 2221131)1(23)1ln(3ln 6 C t t t t +-+-+-=arctan 3)1ln(23)1ln(3ln 62 .arctan 3)1ln(23)1ln(3636C e e e x x
x x
+-+-+-=
例11 (E05) 求不定积分.cos sin 1sin dx x
x x ⎰
++ 解 由万能置换公式,12,11cos ,12sin 2222du u dx u u x u u x +=+-=+= 原式⎰
⎰++--++=++=du u u u u u du u u u )1)(1(112)1)(1(222
22 ⎰⎰
⎰+-++=+++-+=du u du u u du u u u u 1111)1)(1()1()1(2222
C u u u ++-++=|1|ln )1ln(2
1arctan 2 ↓2
tan x
u =
.2tan 1ln 2sec ln 2C x x x ++-=
例12 (E06) 求不定积分⎰dx x
4sin 1. 解一 利用万能置换公式
,12,11cos ,12sin 2
222du u dx u u x u u x +=+-=+= 原式⎰
+++=du u u u u 46
428331C u u u u +⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=333318133 .2tan 2412tan 832tan 832tan 2413
3C x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-= 解二 修改万能置换公式 ,令x u tan =
,11,11cos ,1sin 222du u dx u x u u
x +=+=+= 原式du u u du u u u ⎰
⎰+=+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=422211111C u u +--=1313.cot cot 313C x x +--= 解三 不用万能置换公式
原式dx x x )cot 1(csc 22+=⎰dx x x xdx ⎰⎰+=222csc cot csc .cot cot 3
13C x x +--= 结论：比较以上三种解法，便知万能置换不一定是最佳方法，故三角有理式的计算中先考虑其他手段，不得已才用万能置换.
例13 求不定积分.sin 3sin sin 1dx x
x x ⎰++ 解 ,2
cos 2sin 2sin sin B A B A B A -+=+ 原式⎰⎰+=+=dx x x x dx x x x 2cos sin 4sin 1cos 2sin 2sin 1⎰⎰
+=dx x dx x x 22cos 141cos sin 141 ⎰⎰+=dx x
dx x x x x 2222cos 141cos sin cos sin 41 ⎰⎰⎰++=dx x
dx x dx x x 22cos 141sin 141cos sin 41 ⎰⎰
⎰++-=dx x dx x x d x 22cos 141sin 141)(cos cos 141
.tan 4
12tan ln 41cos 41C x x x +++=
例14 求不定积分.cos 4sin 3⎰
+x
x dx 解一 作代换.2tan x t = 原式⎰⎰-+=+-+++=22222464211412312t t dt t t t t dt t dt t t t t dt ⎰
⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-+=2112251)2)(12( .2tan 212tan
2ln 51212ln 51C x
x C t t +-+=+-+= 解二 原式⎰+=x x dx cos 54sin 5351⎰
++=)sin()(51θθx x d .2tan ln 51C x +⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=θ 其中.5
4sin ,53cos ==θθ
简单无理函数的积分
例15 求不定积分.1
213dx x x x ⎰+++
解 先对分母进行有理化 原式=dx x x x x x x x ⎰+-+++++-+)1213)(1213()1213(⎰
+-+=dx x x )1213( ⎰⎰++-++=)12(1221)13(13(31x d x x d x .)12(31)13(9223
23C x x ++-+=
例16 (E07) 求不定积分⎰+dx x x 1
.
解 令x t =,即作变量代换)0(2>=t t x ,从而tdt dx 2=,所以不定积分
C x C t dt t tdt t t dx x x ++=++=+=⋅+=+⎰⎰⎰)1ln(21ln 21122112.
例17 (E08) 求不定积分 ⎰
+dx x x 313. 解 令,133
+=x t 则,,3123dt t dx t x =-=从而 ⎰
⎰⎰
-=-=+dt t t dt t t t dx x x )(3131134233C t t +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=253125.)13(61)13(1513/23/5C x x ++-+=
例18 (E09) 求不定积分dx x x ⎰+)1(1
3.
方法: 当被积函数含有两种或两种以上的根式,k x …，l x 时,可令n t x =(n 为各根指数的最小公倍数).
解 令6t x =⇒,65dt t dx =
dt t t t dx x x ⎰⎰
+=+)1(6)1(12353⎰⎰+-+=+=dt t t dt t t 2222111616 ⎰
+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=C t t dt t ]arctan [611162.]arctan [666C x x +-= 例19 求不定积分.111
3dx x x ⎰+++
解 令16+=x t ⇒dx dt t =56 原式dt t t t 52361⋅+=⎰dt t t t t ⎰
⎰+-+=+=11161633C t t t t ++++-=|1|ln 663223 63131312+++-+=x x x .)11ln(66C x ++++
例20 求不定积分⎰+dx x
x x 11
. 解 令t x x =+1⇒,)1(2,11,12
222--=-==+t tdt dx t x t x x 原式⎰⎰--=---=12)1(2)1(2222t dt t dt t t t t C t t t dt t ++---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎰
11ln 211122 .11ln 122C x x x x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=
例21 (E10) 求不定积分.1
11dx x x x -+⎰ 解 令,11-+=x x t 则.)1(4,112
222--=-+=t tdt dx t t x 原式dt t t t t t dt t ⎰
⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+=-+-=121111)1)(1(42222C t t t +--+=arctan 211ln 11
1ln 111ln --+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x x .11arctan 2C x x +-+-
例22 求不定积分
⎰+++12x x x dx . 解 令,12t x x x =+++则,2112t
t x +-=且 ,)21()1(222dt t t t dx +++=,211122
t t t x x +++=++ 于是⎰⎰+++=+++dt t t t t x x x dx )2/1(121122⎰
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=dt t t t 2)2/1(232/13421 C t t t +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=)2/1(2321ln 3||ln 421.)
12(23|2/1|ln 2134C t t t ++++= 注: 上式最后一步只需将变量t 回代为变量x 即可.
课堂练习
求下列不定积分
.4
cos 5)2(;)1)(1(1)1(224⎰⎰-+-+x dx dx x x x。