变化率与导数(公开课用)

第
气球的平均膨胀率为
二 次
r(2) r(1) 0.16(dm / L) 2 1
思考
当气球的空气容量从V1增加到V2时， 气球的平均膨胀率是多少？
r(V2) r(V1) V2 V1
问题二:高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
如何求ｔ＝2时的瞬时速度？
o
计算区间2 t, 2和区间2, 2 t
内平均速度v, 可以得到如下表格.
△ｔ＜0时 2＋△ｔ
2
t
△ｔ＞0时 2＋△ｔ
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
导数的定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim y＝lim fx０＋x－fx０
x0 x x0
x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
f (x0) 或 y |xx0,
即：f
x0
＝lim x0
y x
＝lim x0
2 1
探究
计算运动员在 0 t 65这段时间里的平均速度,
并思考下面的问题:
49
h(65) h(0) 10 49
v h 0 t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
平均速度不能准确反映该段段时间里运动状态.
平均变化率的定义
式子
f
(x2 ) x2

f (x1) x1
称为函数
f
(x)从x1到
x2的平均变化率.
若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
这里Δx看作是相对于x1的一 个“增量”可用x1+Δx代替x2
同理 Δy=f(x2)-f(x1)
Δy Δx
=
f(x2) - f(x1) x2 – x1
在下列区间上 f (x) 的平均变化率：
（1）[1，3]； 4
（2）[1，2]； 3 （3）[1，1.1] 2.1
例2.求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x] 内的平均变化率。
解 △ y=［5(2+ △x)2+6］-(5×22+6) =20△x+5△x2
所以平均变化率为 y 20 5x
⑵lim是什么意思？
在其下面的条件下求右面的极限值。
⑶运动员在某一时刻ｔ0的瞬时速度如何表示?
litm0ｈｔ ０＋ｔｔ －ｈｔ ０
思考
１、函数的平均变化率怎么表示？
ｆｘ０＋ｘ－ｆｘ０
ｘ
２、函数ｆｘ在ｘ＝ｘ０处的瞬时变化率怎么表示？
lixm0ｆｘ０＋ｘｘ－ｆｘ０
……
……
当t 2, t 趋势近于0时,平均速度v 趋近于确 定 值 13.1
称确定值13.1是 h2 t h2当t趋近于0时的极限.
t
瞬时速度 lim h(2 t) h(2) 13.1
t0
t
思考
⑴如何求瞬时速度？
（在局部）先求平均速度，然后取极限。
当△t = –0.0001时, v 13.09951 当△t =0.0001时, v 13.10049
△t = – 0.00001, v 13.099951 △t = 0.00001, v 13.100049
△t = – 0.000001, v 13.0999951 △t =0.000001, v 13.1000049
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v描述其运
动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v h(0.5) h(0) 4.05(m/s);
0.5 0
在1≤ t ≤2这段时间里, v h(2) h(1) 8.2(m/s);
导数及其应用
牛顿
两人同时创立
了微积分
莱布尼兹
3.1.1变化率问题
导数研究的问题 变化率问题 研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度．
问题一:气球膨胀率
0.62dm
第 一 次
0.16dm
3V r(V ) 3
V (r) 4 r3
4
3
气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L) 1 0
x
课堂练习
1. 一质点运动的方程为s=1－2t2，则在一段时间[1，2]
内的平均速度为（ C ）
A．－4
B．－8
C． －6
D．6
2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+△x时，函数
的改变量为（ D ）
A．f(x0+△x) B． f(x0)+△x C．f(x0 ) ·△x D．f(x0+△x) －f(x0)
f
x０＋x－f
x
x０
导数就是瞬时变化率
求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本步骤是:
(1)求函数的增量 y f (x0 x) f (x0);
(2)求平均变化率 y f (x0x) f (x0);
课堂练习
3. 已知f(x)=2x2+1
(1)求: 其从x1到x2的平均变化率；
(2)求: 其从x0到x0+Δ x的平均变化率，
并求x0=1,
Δ x=
1 2
时的平均变化率。
（1）2(x1+x2)
（2）4x0+2Δ x
5
3.1.2 导数的概念
瞬时速度：物体在某一时刻的速度
在高台跳水中，函数关系
h
h=-4.9t2+6.5t+10
=
f(x1+Δ x) – f(x1) Δx
思考?
观察函数f(x)的图象
平均变化率 y f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
表示什么?
直线AB的斜率
y
Y=f(x)
f(x2)
f(x1)
O
B
f(x2)-f(x1)=△y
A
x2-x1=△x
x1 x2
x
例1、已知函数 f (x) x 2，分别计算
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
当△t = 0.0பைடு நூலகம்时, v 13.149
当△t = – 0.001时, v 13.0951 当△t =0.001时, v 13.1049