变化率与导数(公开课用)
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《3.1变化率与导数》课件-优质公开课-人教A版选修1-1精品
(2)求函数 f(x)= 1������在区间[1,1+Δx]上的平均变化率.
思路分析:先求函数值的变化量 Δy=f(x2)-f(x1),再代入ΔΔ������������求出平均变化率.
解:Δy=f(1+Δx)-f(1)
=
1+1Δ������-1=1- 11++ΔΔ������������=(1+
②求点
x0
附近的平均变化率,可用������(������0
+������)-������( ������
������0)的形式求解.
重点:1.求函数在某点附近的平均变化率; 2.会求导函数,利用导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程. 难点:1.会利用定义求函数在某点处的导数; 2.通过函数的图象理解导数的几何意义.
3.1 变化率与导数
目标导航 预习导引
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
[t1,t2]上的平均速度,即������
=
������(������2)-s(������1 ������2-������1
).
3.1 变化率与导数
目标导航 预习导引
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
预习交流 1
(1)若函数 f(x)在[x1,x2]内的平均变化率为 0,能否说明函数 f(x)没有 变化?
预习交流 2
(1)“函数 f(x)在点 x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间有什么区别与 联系?
提示:①函数在一点处的导数,就是在该点的函数改变量与自变量的改
2022-2023学年人教A版选择性必修第二册 5-1-1 变化率问题与导数的概念 课件(31张)
3．在 f′(x0)＝lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0中，Δx 不可能为(
C
)
A．大于 0 B．小于 0
C．等于 0 D．大于 0 或小于 0
强研习·重点难点要突破
研习 1 函数的平均变化率
[典例 1] (1)函数 y＝1x从 x＝1 到 x＝2 的平均变化率为( B )
A．－1
B．－12
C．－2
D．2
(2)已知函数 y＝3x－x2 在 x0＝2 处的增量为 Δx＝0.1，则ΔΔxy的值为( B )
A．－0.11
B．－1.1
C．3.89
D．0.29
(1) [解析] 平均变化率为ΔΔxy＝122－ －11＝－12. (2) [解析] ∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11， ∴ΔΔyx＝－00.1.11＝－1.1.
研习 2 求瞬时速度 [典例 2] 一个做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度．
[解] (1)当 t＝0 时的速度为初速度． 在 0 时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]， ∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2， ΔΔst＝3Δt－ΔtΔt2＝3－Δt， Δlit→m0ΔΔst＝Δlit→m0(3－Δt)＝3. ∴物体的初速度为 3.
时速度，即瞬时速度 v＝lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→ m0
st0＋ΔΔtt－st0.
知识点 2 函数的平均变化率 对于函数 y＝f(x)，设自变量 x 从 x0 变化到 x0＋Δx，相应地，函数值 y 就从 f(x0)变化到 f(x0＋Δx)．这时，x 的变化量为 Δx，y 的变化量为 Δy＝___f_(x_0_＋__Δ_x_)_－__f(_x_0_) __.我们把比值ΔΔyx， 即ΔΔyx＝f__x0_＋__Δ_Δx_x_－__f_x_0__叫做函数 y＝f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率．
人教A版高中数学选修22变化率与导数PPT课件
问题二：高台跳水
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
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探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
高中数学第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率课件北师大版选修220831288
1.函数的平均(píngjūn)变化率
函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均(píngjūn)变化率
(1)条件:已知函数y=f(x),自变量x从x1变为x2,函数值从f(x1)变为f(x2).
记Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1).
( )-(1 )
(2)结论:商 2 -
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
瞬时变化率
【例2】 已知s(t)= gt1 2,其中g=10 m/s2.
2
(1)求t从3 s到3.1 s的平均速度;
(2)求t从3 s到3.01 s的平均速度;
(3)求t在t=3 s时的瞬时速度.
分析:函数的平均变化率和瞬时变化率即为平均速度和瞬时速度.
(2)由时间改变量Δt确定位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
(3)求平均速度 =
Δ
;
Δ
(4)运用逼近思想求瞬时速度:当 Δt 趋于 0
第十三页，共23页。
Δ
时, 趋于
Δ
v(常数).
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
变式训练2以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体,t秒时的高度为s(t)=v0t1
解:(1)Δt=3.1-3=0.1 (s),Δt指时间改变量,
1
1
2
Δs=s(3.1)-s(3)=2·g·(3.1) -2·g·32=3.05(m),Δs
Δ
3.05
1 = =
=30.5(m/s).
Δ
说课：变化率与导数 公开课获奖课件
曹杨二中高三(14)班学生
班级职务：学习委员
高考志愿：北京 大学中文系
高考成绩：语文121分数学146分
英语146分历史134分
综合28分总分
575分
(另有附加分10
分)
上海高考文科状元--常方舟
“我对竞赛题一样发怵”
总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。 早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡 眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
社人民教育出版社学高中数学选修1131变化率与导数第一课时河源市和平县福和高级中学卢敏芳教材分析教学目标学生现状分析教法分析教学过程教学反思教材分析函数是高中数学的主干内容导数作为选修内容深而进入新课程为研究函数提供了有力的工具对函数的单调性极值最值等问题都得到了有效而彻底的解决
人民教育出版社 高中数学 选修1-1
小结
让学生再次巩固变化率的概念，并发 现生活中和变化率有关的例子
教学反思
这节课主要是让学生体会平均变 化率，让学生感受数学。高中正是学 生人生观形成的重要时期，我觉得不 仅要引导学生对数学的学习兴趣，让 他们主动的学习数学，学会学习数学， 如果还能在吸收知识的过程中教会他 们学习做人 ，那真的是一箭双雕、一 石二鸟的教学模式
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率-1公开课PPT课件
【答案】
fx0＋Δx－fx0 Δx
函数在一点处变化的快慢
函数 f(x)＝x2 在 x＝1 处的瞬时变化率为__________． 【解析】 ΔΔyx＝1＋ΔΔxx2－12＝2Δx＋ΔxΔx2＝Δx＋2，当 Δx 趋于 0 时，ΔΔxy趋 于 2.
【答案】 2
【自主解答】 Δx＝x0＋Δx－x0＝Δx. Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝3(x0＋Δx)2＋2－(3x20＋2) ＝6x0·Δx＋3(Δx)2. ∴ΔΔyx＝6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx. 即函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 6x0＋3Δx. 当 x0＝2，Δx＝0.1 时， 6x0＋3Δx＝6×2＋3×0.1＝12.3. 即函数 y＝3x2＋2 在[2,2.1]上的平均变化率为 12.3.
)
A．4 B．4x
C．4＋2Δ
D．4＋2Δx2
【解析】 Δy＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝2(Δx)2＋4Δx. ∴ΔΔyx＝2ΔxΔ2＋x 4Δx＝2Δx＋4. 【答案】 C
教材整理 2 瞬时变化率
阅读教材 P55“练习 1”以下至 P58“练习 2”以上部分，完成下列问题． 对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程中，若设 Δx＝x1－ x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是ΔΔyx＝fxx11－－xf0x0＝________________. 当 Δx 趋于 0 时，平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画 的是__________________________．
探究 2 在上述问题中，请求出 t＝3 秒时的瞬时速度． 【提示】 在 t＝3 附近取一个小时间段 Δt， 即 3≤t≤3＋Δt(Δt>0)， ∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝5×(3＋Δt)2－5×32＝5·Δt·(6＋Δt)， ∴ΔΔst＝5Δt6Δ＋t Δt＝30＋5Δt. 当 Δt 趋于 0 时，ΔΔst趋于 30. ∴在 t＝3 时的瞬时速度为 30 m/s.
-变化率与导数-公开课课件MPUAqn
x 0
x
f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) .
计算x=2和x=6时的导数.
根据导数的定义,
f (2 x) f (2) 4x (x) 2 7x x 3 x x f 所以, f (2) lim lim (x 3) 3. x 0 x x 0
x 0
f f(x2 ) f ( x1 ) f ( x0 x) f ( xx 0 ); x f ( xx x) f ( x 2) 1
0 0
x
;
x
同理可得 f (6) 5.
练习：
小结：
1.函数的平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
3.由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 f f 2. 求平均变化率 x f 3. 求值 f ( x0 ) lim .
3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 f f ( x0 x) f ( x0 ); f ( x0 x) f ( x0 ) f ; 2. 求平均变化率 x x f 3. 求值 f ( x0 ) lim .
变化率与导数
天津市第四十七中学（李春霞）
滨海中学 贾启阳
思考?
当速度从t1时刻的V1增加到t2时刻的 V2时,汽车的加速度是多少?
v2 v1 a t 2 t1
x
f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) .
计算x=2和x=6时的导数.
根据导数的定义,
f (2 x) f (2) 4x (x) 2 7x x 3 x x f 所以, f (2) lim lim (x 3) 3. x 0 x x 0
x 0
f f(x2 ) f ( x1 ) f ( x0 x) f ( xx 0 ); x f ( xx x) f ( x 2) 1
0 0
x
;
x
同理可得 f (6) 5.
练习：
小结：
1.函数的平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
3.由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 f f 2. 求平均变化率 x f 3. 求值 f ( x0 ) lim .
3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 f f ( x0 x) f ( x0 ); f ( x0 x) f ( x0 ) f ; 2. 求平均变化率 x x f 3. 求值 f ( x0 ) lim .
变化率与导数
天津市第四十七中学（李春霞）
滨海中学 贾启阳
思考?
当速度从t1时刻的V1增加到t2时刻的 V2时,汽车的加速度是多少?
v2 v1 a t 2 t1
变化率与导数、导数的运算 课件
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1．曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程是
()
A．x－3y＋3＝0
B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0
D．3x－y＋1＝0
解析：因为 y＝sin x＋ex，
所以 y′＝cos x＋ex，
所以 y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2， 所以曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程为 y－1＝
(x ＞ 0) 恒 成 立 ， 所 以
2ax2 ＋ 1≥0(x ＞ 0) 恒 成 立 ， 即
2a≥－
1 x2
(x＞0)恒成立，所以 a≥0，故实数 a 的取值范围为[0，＋∞)．
答案：D
[题“根”探求]
返回
角度(一)是求曲线的切线方程，其关键是理解导数的几何 意义，并能准确求导； 看 角度(二)是求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后 个 让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点 性 坐标； 角度(三)是求参数的值(范围)，其关键是列出函数的导数 等于切线斜率的方程
返回 )
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5 ． (2017·全 国 卷 Ⅰ ) 曲 线
y
＝
x2
＋
1 x
在
点
(1,2)
处
的
切
线
方
程
为
___________．
解析：因为 y′＝2x－x12，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率
为 y′|x＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为 y－2＝x－1，即 x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
lim
Δx→0
Δy Δx
＝
lim
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第
气球的平均膨胀率为
二 次
r(2) r(1) 0.16(dm / L) 2 1
思考
当气球的空气容量从V1增加到V2时， 气球的平均膨胀率是多少？
r(V2) r(V1) V2 V1
问题二:高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
如何求ｔ＝2时的瞬时速度？
o
计算区间2 t, 2和区间2, 2 t
内平均速度v, 可以得到如下表格.
△ｔ＜0时 2＋△ｔ
2
t
△ｔ＞0时 2＋△ｔ
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
导数的定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim y＝lim fx０＋x－fx０
x0 x x0
x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
f (x0) 或 y |xx0,
即：f
x0
＝lim x0
y x
＝lim x0
2 1
探究
计算运动员在 0 t 65这段时间里的平均速度,
并思考下面的问题:
49
h(65) h(0) 10 49
v h 0 t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
平均速度不能准确反映该段段时间里运动状态.
平均变化率的定义
式子
f
(x2 ) x2
f (x1) x1
称为函数
f
(x)从x1到
x2的平均变化率.
若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
这里Δx看作是相对于x1的一 个“增量”可用x1+Δx代替x2
同理 Δy=f(x2)-f(x1)
Δy Δx
=
f(x2) - f(x1) x2 – x1
在下列区间上 f (x) 的平均变化率：
（1）[1，3]； 4
（2）[1，2]； 3 （3）[1，1.1] 2.1
例2.求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x] 内的平均变化率。
解 △ y=［5(2+ △x)2+6］-(5×22+6) =20△x+5△x2
所以平均变化率为 y 20 5x
⑵lim是什么意思？
在其下面的条件下求右面的极限值。
⑶运动员在某一时刻ｔ0的瞬时速度如何表示?
litm0ｈｔ ０＋ｔｔ －ｈｔ ０
思考
１、函数的平均变化率怎么表示？
ｆｘ０＋ｘ－ｆｘ０
ｘ
２、函数ｆｘ在ｘ＝ｘ０处的瞬时变化率怎么表示？
lixm0ｆｘ０＋ｘｘ－ｆｘ０
……
……
当t 2, t 趋势近于0时,平均速度v 趋近于确 定 值 13.1
称确定值13.1是 h2 t h2当t趋近于0时的极限.
t
瞬时速度 lim h(2 t) h(2) 13.1
t0
t
思考
⑴如何求瞬时速度？
（在局部）先求平均速度，然后取极限。
当△t = –0.0001时, v 13.09951 当△t =0.0001时, v 13.10049
△t = – 0.00001, v 13.099951 △t = 0.00001, v 13.100049
△t = – 0.000001, v 13.0999951 △t =0.000001, v 13.1000049
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v描述其运
动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v h(0.5) h(0) 4.05(m/s);
0.5 0
在1≤ t ≤2这段时间里, v h(2) h(1) 8.2(m/s);
导数及其应用
牛顿
两人同时创立
了微积分
莱布尼兹
3.1.1变化率问题
导数研究的问题 变化率问题 研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度．
问题一:气球膨胀率
0.62dm
第 一 次
0.16dm
3V r(V ) 3
V (r) 4 r3
4
3
气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L) 1 0
x
课堂练习
1. 一质点运动的方程为s=1－2t2，则在一段时间[1，2]
内的平均速度为（ C ）
A．－4
B．－8
C． －6
D．6
2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+△x时，函数
的改变量为（ D ）
A．f(x0+△x) B． f(x0)+△x C．f(x0 ) ·△x D．f(x0+△x) －f(x0)
f
x０＋x－f
x
x０
导数就是瞬时变化率
求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本步骤是:
(1)求函数的增量 y f (x0 x) f (x0);
(2)求平均变化率 y f (x0x) f (x0);
课堂练习
3. 已知f(x)=2x2+1
(1)求: 其从x1到x2的平均变化率；
(2)求: 其从x0到x0+Δ x的平均变化率，
并求x0=1,
Δ x=
1 2
时的平均变化率。
（1）2(x1+x2)
（2）4x0+2Δ x
5
3.1.2 导数的概念
瞬时速度：物体在某一时刻的速度
在高台跳水中，函数关系
h
h=-4.9t2+6.5t+10
=
f(x1+Δ x) – f(x1) Δx
思考?
观察函数f(x)的图象
平均变化率 y f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
表示什么?
直线AB的斜率
y
Y=f(x)
f(x2)
f(x1)
O
B
f(x2)-f(x1)=△y
A
x2-x1=△x
x1 x2
x
例1、已知函数 f (x) x 2，分别计算
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
当△t = 0.0பைடு நூலகம்时, v 13.149
当△t = – 0.001时, v 13.0951 当△t =0.001时, v 13.1049