河南省十所名校2019—2020学年高中毕业班阶段性测试(一)——数学(理)

河南省十所名校2019—2020学年高中毕业班阶段性测试（一）

数学（理科）

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．

1．已知集合A ＝{x

｜y ，B ＝{x ｜x 2－7x ＋6＜0}，则（C R A ）∩B ＝

A ．{x ｜1＜x ＜3}

B ．{x ｜1＜x ＜6}

C ．{x ｜1≤x ≤3}

D ．{x ｜1≤x ≤6}

2．已知z 1＝5－l0i ，z 2＝3＋4i ，且复数z 满足12

11z z z ＝＋，则z 的虚部为 A ．225i B ．－225i C ．225 D ．－225

3．某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7 ：

10．为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为

A ．14

B ．20

C ．21

D ．70

4．设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若23a a ＝72a ，5S ＝40，则7a ＝

A ．13

B ．15

C ．20

D ．22

5．已知向量a ，b 满足｜a ｜＝2，｜b ｜＝l ，（a －b ）⊥b ，则向量a 与b 的夹角为

A ．6π

B ．3π

C ．2

π D ．23π 6．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米．跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2．5小时，则他平均每分钟的步数可能为

A ．60

B ．120

C ．180

D ．240

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为

A

B

．6 C

． D

．6＋ 8．已知双曲线E ：2

213

x y －＝，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点（2，0），△PQF

的周长为段PQ 的长为

A ．2 B

． C ．4 D

．9．已知函数f （x ）＝x （e x －e －

x ），若f （2x －1）＜f （x ＋2），则x 的取值范围是 A ．（－

13，3） B ．（－∞，－13

） C ．（3，＋∞） D ．（－∞，－13）∪（3，＋∞） 10．已知椭圆C ：22

221x y a b

＋＝（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为－14

，则椭圆C 的离心率为 A ．14 B ．12

C

D

11．设函数()2

sin f x x ππ＝－在（0，＋∞）上最小的零点为x 0，曲线y ＝f （x ）在点（x 0，0）处的切线上

有一点P ，曲线23

ln 2y x x ＝－上有一点Q ，则｜PQ ｜的最小值为

A

．10 B

．5 C

．10 D

．5

12．已知四棱锥P －ABCD 的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为

814π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为

A ．23

B ．23

C

．3 D ．13

或3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设变量x ，y 满足约束条件70102x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩

＋－≤，－－≤，≥，则目标函数11y z x －＝－的最大值为__________． 14．已知正项等比数列{n a }满足2a ＝4，4a ＋6a ＝80．记n b ＝2log n a ，则数列{n b }的前50项和为__________．

15．在（1－2x ）5（3x ＋1）的展开式中，含x 3项的系数为__________．

16．已知角α满足3tan tan 42παα⎛

⎫ ⎪⎝⎭－＝，则cos （2α－4

π）＝__________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～2l 题为必考题，每个试题考生

都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

已知平面四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝6，且内角B 与D 互补．

（Ⅰ）求cosA 的值；

（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积．

18．（12分）

如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 与CC 1的

中点，G 为△ABN 的重心．

（Ⅰ）求证：MG ⊥平面ABN ；

（Ⅱ）求二面角A 1－AB －N 的正弦值．

19．（12分）

已知动圆M 过点P （2，0）且与直线x ＋2＝0相切．

（Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）斜率为k （k ≠0）的直线l 经过点P （2，0）且与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x

轴于点N ，求AB

NP 的值．

20．（12分）

一间宿舍内住有甲、乙两人，为了保持宿舍内的干净整洁，他们每天通过小游戏的方式选出一人值日打扫卫生．游戏规则如下：第1天由甲值日，随后每天由前一天值日的人抛掷两枚正方体骰子（点数为1～

6），若得到两枚骰子的点数之和小于10，则前一天值日的人继续值日，否则当天换另一人值日．从第2天开始，设“当天值日的人与前一天相同”为事件A ．

（Ⅰ）求P （A ）．

（Ⅱ）设p n （n ∈N *）表示“第n 天甲值日”的概率，则p 1＝l ，p n ＝ap n －1＋b （1－p n －1）

（n ＝2，3，4，…），其中a ＝P （A ），b ＝P （A ）．

（i ）求p n 关于n 的表达式．

（ii ）这种游戏规则公平吗?说明理由．

21．（12分）

设函数，f （x ）＝klnx ＋（k －1）x －12

x 2． （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；

（Ⅱ）设函数f （x ）的图象与直线y ＝m 交于A （x 1，m ），B （x 2，m ）两点，且x 1＜x 2， 求证：1202x x f ⎛⎫'

⎪⎝⎭

＋＜．