不等式恒成立、能成立、恰成立问题
含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题-2018届高三数学成功在我之优等生提分精品+Word版含解析
2018届高三数学成功在我专题六不等式问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题一、考情分析纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查,主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题,要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力,才能顺利解答．从实际教学来看,这部分知识能力要求高、难度大,是学生掌握最为薄弱,看到就头疼的题目．分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．二、经验分享(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(3)根据不等式恒成立求参数问题，常用的方法是分类参数，转化为函数求最值．三、知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<B(x∈D)．(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立⇔f(x)min<B(x∈D)．(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；不等式f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.(4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．四、题型分析一、不等式恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体,渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题,其形式逐渐多样化,但都与函数、导数知识密不可分．解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法．下面我就以近几年高考试题为例加以剖析． (一)函数性质法1.一次函数——单调性法给定一次函数()()0y f x ax b a ==+≠,若()y f x =在[],m n 内恒有()0f x >,则根据函数的图像（线段）（如右下图） 可得上述结论等价于（1）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或（2）0,()0.a f n <⎧⎨>⎩可合并定成()()0,0.f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩同理,若在[],m n 内恒有()0f x <,则有()()0,0.f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩【例1】若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立,求x 的范围．【分析】我们可以用改变主元的办法,将m 视为主变元,即将元不等式化为： 0)12()1(2<---x x m 来求解．【点评】有些问题,如果采取反客为主（即改变主元）的策略,可产生意想不到的效果． 2.二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解 主要有以下几种基本类型：类型1：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a ． 类型2：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）当0>a 时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立,222()00()0.b b ba a af f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<>⎩⎩⎩或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立()0,()0.f f αβ<⎧⇔⎨<⎩（2）当0<a 时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立()()0,0.f f αβ>⎧⎪⇔⎨>⎪⎩],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立,222()00()0.b b ba aa f f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<<⎩⎩⎩或或 【例2】【甘肃省天水市第一中学2018届高三上学期第二学段期中】对于任意实数x ，不等式()()222240a x a ----<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞B. (],2-∞C. (]2,2- D. ()2,2- 【答案】C【点评】不等式的恒成立，应和函数的图像联系起来.二次项系数含字母，应对二次项系数是否为0，分情况讨论.当二次项系数不为0时，结合二次函数图像考虑，根据题意图像应恒在x 轴的下方，故抛物线开口向下且和x 轴没交点，即判别式小于0.综合两种情况可得所求范围.【小试牛刀】已知命题p ：函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在R 上有零点．命题q ：x 2＋3(a ＋1)x ＋2≤0在区间⎣⎡⎦⎤12，32内恒成立．若命题“p 且q ”是假命题,求实数a 的取值范围．【解析】p 真时,Δ＝4a 2－4≥0⇒a ≥1或a ≤－1.则p 假时,－1＜a ＜1.q 真时,令g (x )＝x 2＋3(a ＋1)x ＋2,则⎩⎨⎧g ⎝⎛⎭⎫12≤0，g ⎝⎛⎭⎫32≤0，得a ≤－52.则q 假时,a ＞－52.而p 且q 为假,即p 与q 一真一假或同假．当p 真q 假时,－52＜a ≤－1或a ≥1；当p 假q 真时,无解；当p 假q 假时,－1＜a ＜1.综上得a ＞－52.3.其它函数：()0f x >恒成立⇔min ()0f x >（注：若()f x 的最小值不存在,则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界大于0）；()0f x <恒成立⇔max ()0f x <（注：若()f x 的最大值不存在,则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界小于0）． 【例3】已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --,其中a ,b 为常数． （1）试确定a ,b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ,不等式22)(c x f -≥恒成立,求c 的取值范围．【分析】22)(c x f -≥恒成立,即 2min ()2f x c ≥-,要解决此题关键是求min ()f x ,0>x ．【小试牛刀】【云南大理州2017届第一次统测】设函数()()()ln 1ln 1G x x x x x =+--． （1）求()G x 的最小值；（2）记()G x 的最小值为e ,已知函数()()()112210x a f x a e a a x++=+-+>,若对于任意的()0,x ∈+∞,恒有()0f x ≥成立,求实数a 的取值范围.【答案】（1）ln 2-；（2）11a e ≥-. 【解析】（1）由已知得()()01,ln ln 1ln1xx G x x x x'<<=--=-．令()0G x '<,得102x <<；令()0G x '>,得112x <<, 所以()G x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调增区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭． 从而()min 11ln ln 222G x G ⎛⎫===-⎪⎝⎭． （2）由（1）中ln 2c =-得()()121x a f x a e a x+=+-+． 所以()()221x ax e a f x x -+'=．令()()21xg x ax e a =-+,则()()20xg x ax x e '=+>．所以()g x 在()0,+∞上单调递增,因为()()01g a =-+,且当x →+∞时,()0g x >,所以存在()00,x ∈+∞,使()00g x =,且()f x 在()00,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增．因为()()020010xg x ax e a =-+=,所以0201x ax ea =+,即0201x a a e x +=,因为对于任意的()0,x ∈+∞,恒有()0f x ≥成立,所以()()()00min 01210xa f x f x a e a x +==+-+≥． 所以()20011210a a a x x +++-+≥,即2001120x x +-≥,亦即200210x x --≤,所以0112x -≤≤． 因为0201x ax e a =+,所以02011x a x e a+=>, 又00x >,所以001x <≤,从而020x x ee ≤,所以11a e a +<≤,故11a e ≥-． (二)分离参数法——极端化原则若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥（D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围． 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．【例4.】【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测】已知函数()ln f x x x =,2()3g x x ax =-+-. （1）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（2）对一切(0,)x ∈+∞,2()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围； （3）探讨函数12()ln x F x x e ex=-+是否存在零点？若存在,求出函数()F x 的零点；若不存在,请说明理由. 【分析】(1)求函数()f x 的层数可得()ln 1f x x '=+,并由导数的符号判断函数的单调性可得函数在区间(0,)+∞上的最小值为()min 11f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,分别讨论当1[,2]t t e ∈+与1[,2]t t e ∉+时函数在区间[,2]t t +上的单调性与最小值即可；（2）对一切(0,)x ∈+∞,2()()f x g x ≥恒成立32ln a x x x⇔≤++,构造函数()()32ln 0h x x x x x =++>,求函数()h x 的最小值即可；(3) ()0F x =12ln 0x x e ex⇔-+= ()2ln 0x x x x x e e⇔=->,由（Ⅰ）知当且仅当1x e =时,()()ln 0F x x x x =>的最小值是1e -,构造函数()()20x x x x e e ϕ=->,求其导数,研究函数()()20x x x x e e ϕ=->的单调性与最值可知()()min max11()x f x eϕϕ==-≤,且两个函数取得最大值点与最小值点时不相等,所以有()()f x x ϕ>,即两个函数无公共点,即函数()F x 无零点. 【解析】（Ⅰ）()ln 1f x x '=+,由()'0f x <得,10x e <<,由()'0f x >得1x e>,∴函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当10t e <≤时,()min 1112,t f x f e e e ⎛⎫+>∴==- ⎪⎝⎭；当1t e >时,()f x 在[],2t t +上单调递增,()()min ln f x f t t t ==,()min11,0,1ln ,.t e e f x t t t e ⎧-<≤⎪⎪∴=⎨⎪>⎪⎩（Ⅲ）令()0F x =,得12ln 0x x e ex -+=,即()2ln 0xx x x x e e=->, 当（Ⅰ）知当且仅当1x e =时,()()ln 0F x x x x =>的最小值是1e-, 设()()20x x x x e e ϕ=->,则()'1xx x e ϕ-=,易知()x ϕ在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减, ∴当且仅当1x =时,()x ϕ取最大值,且()11eϕ=-, ∴对()0,x ∈+∞都有12ln x x e ex >-,即()12ln 0x F x x e ex=-+>恒成立, 故函数()F x 无零点.【小试牛刀】【贵州遵义市2017届高三第一次联考】已知函数()1xxf x e -=． （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程和函数()f x 的极值：（2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞,都有()()1221f x f x e-≥-成立,求实数a 的最小值． 【答案】（1）切线方程为210x y +-=,函数()f x 在2x =时,取得极小值21e-（2）1【解析】（1）因为()2x x f x e-'=,所以()02f '=-,因为()01f =,所以曲线()f x 在()()0,0f 处的切线方程为210x y +-=． 由()2xx f x -'=解得2x =,则()f x '及()f x 的变化情况如下：所以函数()f x 在2x =时,取得极小值2e -． （2）由题设知：当1x >时,()10x x f x e -=<,当1x <时,()10x xf x e-=>,若1a <,令[)122,,1x x a =∈,则[)12,,x x a ∈+∞,由于()()()()()()2212121002f x f x f x f x f x f e >⇔-<⇔-<==-,显然不符合题设要求．．．9分 若1a ≥,对[)()()1212,,,0,0x x a f x f x ∀∈+∞≤≤,由于()()()()()()2212121002f x f x f x f x f x f e≤⇔-≥⇔-≥≥=-, 显然,当1a ≥,对[)12,,x x a ∀∈+∞,不等式()()1221f x f x e -≥-恒成立, 综上可知,a 的最小值为1． (三)主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主”,即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．【例5】【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知当11a -≤≤时,2(4)420x a x a +-+-> 恒成立,则实数x 的取值范围是____________. 【分析】把不等式左边看作关于a 的函数【解析】设2()(2)(44)f a x a x x =-+-+,则()0f a >对[1,1]a ∀∈-成立等价于(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩,即22560320x x x x ⎧-+>⎪⎨-+>⎪⎩,解之得1x <或3x >,即实数x 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞. 【小试牛刀】已知函数322()9cos 48cos 18sin f x x x x αβα=-++,()()g x f x '=,且对任意的实数 t 均有(1cos )0g t +≥,(3sin )0g t +≤． (Ⅰ) 求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)若对任意的[26,6]m ∈-,恒有2()11f x x mx ≥--,求x 的取值范围．【解析】(Ⅰ) 2()()318cos 48cos g x f x x x αβ'==-+,,01cos 2,t R t ∀∈≤+≤23sin 4t ≤+≤,而(1cos )0g t +≥,(3sin )0g t +≤恒成立．则由二次函数性质得(2)0(4)0g g =⎧⎨≤⎩ ,解得cos 1α=,1cos 2β=,sin 0α= ∴ 32()924f x x x x =-+．(四)数形结合——直观求解法若所给不等式进行合理的变形化为()()f x g x ≥（或()()f x g x ≤）后,能非常容易地画出不等号两边函数的图像,则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．【例6】若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ） (A) 1a <- (B) ||1a ≤ (C) ||1a < （D ）1a ≥【解析】对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则由一次函数性质及图像知11a -≤≤,即||1a ≤．【小试牛刀】若不等式23log 0a x x -<在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立,求实数a 的取值范围．【解析】由题意知：23log a x x <在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立,在同一坐标系内,分别作出函数23y x =和log a y x =的图像,观察两函数图像,当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,若1a >函数log a y x =的图像显然在函数23y x =图像的下方,∴不成立；当01a <<时,由图可知,log a y x =的图像必须过点11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或在这个点的上方,则11log 33a≥, 127a ∴≥,1127a ∴>≥． 综上得：1127a >≥．(五)消元转化法【例7】已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时,若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立,求实数t 的取值范围．【点评】对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决．上述例子剖析了近几年数学高考中恒成立问题的题型及解法,值得一提的是,各种类型各种方法并不是完全孤立的,虽然方法表现的不同,但其实质却都与求函数的最值是等价的,这也正体现了数学中的“统一美”． 二、不等式能成立问题的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k >成立,则等价于在区间D 上()maxf x k >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k <成立,则等价于在区间D 上的()min f x k <．注意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区别．从集合观点看,含参不等式()f x k <()()f x k >在区间D 上恒成立(){}()maxD x f x k f x k ⇔⊆<⇔<(){}()()min D x f x k f x k ⇔⊆>⇔>,而含参不等式()f x k<()()f x k >在区间D 上能成立⇔至少存在一个实数x 使不等式()f x k <()()f x k >成立(){}()minDx f x k f x k ⇔<≠∅⇔<(){}()()maxDx f x k f x k ⇔<≠∅⇔>．【例8】已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且f (x )＋g (x )＝(12)x 错误！未找到引用源。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
１不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用庆阳二中 曹久贤恒成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内总是成立的,例如:x²≥0，在实数范围即x∈R 内恒成立能成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内存在值使这个代数式成立,使代数式成立的值有可能是一个,两个或是无穷多个,即个数是不定的,而在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值,也可以不存在这样的值,例如:x+1>0在x>-2上能成立.恰成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说这个代数式只有在这个范围内成立,在这个范围外的值都不能使这个代数式成立,而这个代数式里面的值均能使这个代数式成立.例如:(x-1)²=0，在x=1时恰成立.可以说恰成立是恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件中还有可能符合代数式的在给定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值,但是恰成立包含了满足这个代数的值,并且给定的范围也全都满足这个代数式. 例如:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1<x<9上是恒成立但不是恰成立.常见关键词列表如下：多参数恒成立问题举例：例1: 已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围.二、不等式能成立问题的处理方法:图像法、最值法若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.例2、已知不等式ax x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______例3、若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．２例4、已知函数()21ln 22f x x ax x=--（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围________.三、不等式恰好成立问题的处理方法：韦达定理法、代入法、最值法例5、不等式2ax bx 10++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则a b ⋅=___________ 例6、已知(),22x ax x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.例7、已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ，g(x)=2x 3+5x 2+4x ，其中k 为实数。
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题1.恒成立问题：恒成立问题的基本类型类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ， 令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 例2：若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 12m >- 类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，R x ∈（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用问题引入：例1 ：已知不等式0122>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，其中0>a ．求实数a 的取值范围． 分析：思路1、通过化归最值，直接求函数12)(2+-=ax x x f 的最小值解决，即0)(min >x f 。
思路 2、通过分离变量，转化到)1(21212x x x x a +=+<解决，即min 2)21(xx a +<。
思路3、通过数形结合，化归到ax x 212>+作图解决，即12+=x y 图像在ax y 2=的上方．小结：不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：⑴若不等式()A f x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()min A f x f x <⇔的下界大于A⑵若不等式()B f x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()max B f x f x >⇔的上界小于B 。
2、分离参数法（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； （3） 解不等式()()maxg f x λ≥ (或()()ming f x λ≤) ，得λ的取值范围。
3．转换成函数图象问题⑴若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；⑵若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；【变式练习：】 对]2,1[∈x ，0122>+-ax x →0123>+-ax x 012ln >+-→ax x 均恒成立，该如何处理？例2：已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；【分析：】1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x xx x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x x x x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ．例3 设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x x ab +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元，0101)(≤-++⋅=b x a x a ϕ，]2,21[∈a简解：方法1:对b x xab x x g x h ++=++=)()(求导，22))((1)(x a x a x x a x h +-=-='，由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者．⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴a b a b b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ． 练习题1、设()222f x x ax =-+,当x ∈[-1,+∞]时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。
高中数学不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
专题：不等式的“恒成立”、“能成立”、“恰成立”问题不等式恒成立问题若不等式A x f >)(在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上A x f >min )]([ 若不等式B x f <)(在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上B x f <max )]([当)(x f 的最值取不到时，留意表达要精确，如1)(<x f ，则)(x f m >恒成立⇔1≥m 不等式中能成立．．．问题（有解） 若在区间D 上存在实数X 使不等式A x f >)(成立，则等价于在区间D 上A x f >max )]([ 若在区间D 上存在实数X 使不等式B x f <)(成立，则等价于在区间D 上B x f <min )]([ 不等式中恰成立问题若不等式A x f >)(在区间D 上恰成立,则等价于不等式A x f >)(的解集为D 若不等式B x f <)(在区间D 上恰成立,则等价于不等式B x f <)(的解集为D 利用一次函数的性质对于一次函数]),[)(0()(n m x a b ax x f ∈≠+=有：①0)(>x f 恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(n f m f ②0)(<x f 恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(n f m f 结论：若一个不等式中有两个变量，假如已知最高次数是一次变量的范围求另一变量范围的问题构造一次函数例：已知1log 6log )1()(323++⋅--=x a x a x x f ,当]1,0[∈x 时，)(x f 恒为正数，求a 的取值范围。
[3331<<a ]变式：当]4,2[∈x 时，若不等式042)2(2<-+-a a x 恒成立，求实数a 的范围()1,2-∈a变式：已知定义在R 上的奇函数()f x 在()0,+∞上是增函数且(1)(2)f ax f x +≤+对随意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立，则实数a 的取值范围 (]2,∞- 利用二次函数的判别式对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=有①0)(>x f 恒成立⎩⎨⎧<-=∆>⇔0402ac b a②0)(<x f 恒成立⎩⎨⎧<-=∆<⇔0402ac b a 结论：若一个不等式中有两个变量，假如已知高次变量的范围求另一变量范围的问题构造高次函数或分别参数。
恒成立,能成立,恰成立问题
(1)恒成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)min >A ； 若不等式f(x)<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)max <B ； (2)能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)>A 成立，则等价于在区间D 上f(x)max >A ； 若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)<B 成立，则等价于在区间D 上f(x)min <B ； (3)恰成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)>A 的解集为D ； 若不等式f(x)<B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)<B 的解集为D. 二．典型问题例 区分下列问题的类型，并思考如何进行有效转化 组一1.若关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 。
2.若存在实数x 使|x －a|＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________3．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x|1≤x ≤3}，则实数k ＝______4．若关于x 的不等式|x －m|≤|2x ＋1|解集为R ，则实数m 的取值为________5.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)．若不等式(x －a)⊗(x －b)＞0的解集是(2,3)，则a ＋b 的值是A ．1B ．2C ．4D ．86.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2， x ＜0，则不等式f(2－x 2)＞f(x)的解集是________ 7.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2 C ．(0,1) D ．(0,)+∞8.设l 为曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线. (I)求l 的方程； (II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方 组二1.已知函数x x x f ln )(=，(1)求)(x f 的最小值； (2)若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围.2.已知函数32()()f x ax bx b a x =++-（a ，b 是不同时为零的常数），其导函数为()f x '，当13a =时， 若不等式()0f x '<对任意x [3,1]∈--恒成立，求b 的取值范围；3.已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在,0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-， （1）求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
不等式恒建立、能建立、恰建立问题一、不等式恒建立问题的办理方法1、变换求函数的最值：（ 1）若不等式 f x A 在区间D上恒建立,则等价于在区间 D 上 f xmin A ， f ( x) 的下界大于 A（ 2）若不等式 f x B 在区间D上恒建立,则等价于在区间 D 上 f xmax B , f ( x) 的上界小于 A例 1、设 f(x)=x 2-2ax+2, 当 x [-1,+ ] 时，都有 f(x) a 恒建立，求 a 的取值范围。
例 2、已知f x x 2 2x a, 对随意 x 1, , f x 0 恒建立,试务实数 a 的取值范围; x例 3 、 R 上的函数 f x 既是奇函数，又是减函数，且当0,时，有2f cos2 2m sinf 2m 2 0 恒建立，务实数m的取值范围.例 4、已知函数f (x) 4 ln 4 ( 0) 在处获得极值3 c，此中 a 、b为常数.（）试ax x bx c x x 1 1确立 a 、b的值；（ 2）议论函数 f ( x) 的单一区间；（ 3）若对随意x 0 ，不等式 f ( x) 2c 2恒建立，求 c 的取值范围。
2、主参换位法例 5、若不等式ax 1 0对 x 1,2 恒建立，务实数 a 的取值范围例 6、若对于随意 a 1 ，不等式x2(a 4) x 4 2a 0 恒建立，务实数x 的取值范围例 7、已知函数a 3 3 2，此中 a 为实数．若不等式2f ( x) x x (a 1)x 1 f ( x) x x a 1对随意3 2 ＞a(0， ) 都建立，务实数 x 的取值范围．3、分别参数法（ 1）将参数与变量分别，即化为g f x （或 g f x ）恒建立的形式；（ 2）求f x在x D 上的最大（或最小）值；（ 3）解不等式g f ( x) max(或 g f x min)，得的取值范围。
合用题型：（ 1）参数与变量能分别；（2）函数的最值易求出。
5、高频考点：恒成立、能成立、恰成立
高频考点：恒成立、能成立、恰成立 一、不等式恒成立问题的处理方法1、若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，2、若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,二、不等式能成立问题的处理方法1、若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>；2、若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上()min f x B<.三、不等式恰成立问题的处理方法1、若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ；2、若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D . 补例：（1）（判别式法）若0122>+-ax x 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（11<<-a ）变式：若0122>+-ax ax 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（10<≤a ） （2）若0122>+-ax x 对]2,1[∈∀x 恒成立，求实数a 的取值范围；（1<a ）（函数最值法） （分离系数法）变式：若0122<+-ax x 对]2,1[∈∀x 恒成立，求实数a 的取值范围；（45>a ）（3）（构造函数法）若]3,1[∈∃a ，使得不等式02)2(2>--+x a ax 成立，求实数x 的取值范围；（21>-<x x 或）（4）（数形结合法）若0122>+-ax x 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（11<<-a ）变式：当21<<x 时，不等式xax log )1(2<-恒成立，求a 的取值范围；（21≤<a ）（5）思辨：已知两个函数2()816f x x x k =+-，32()254g x x x x =++， 其中k 为实数.①对∀[]33，-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围；（45≥k ）②对∀[]3321，、-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值范围；（141≥k ）③对∀)3,3(2-∈x ，总存在)3,3(1-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立，求k 的取值范围；（13≥k ）④对∀1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-，使得)()(10x f x g =成立，求k 的取值范围.（913k ≤≤） 【分析及解】 ① 令k x x x x f x g x F +--=-=1232)()()(23, 问题转化为0)(≥x F 在 []3,3-∈x 上恒成立,即0)(min ≥x F 即可 ∵)2(61266)(22'--=--=x x x x x F , 由0)('=x F , 得2=x 或 1-=x .∵(3)45(3)9(1)7(2)20F k F k F k F k -=-=--=+=-，，，, ∴45)(min -=k x F , 由045≥-k , 解得 45≥k .②由题意可知当[]33，-∈x 时,都有min max )()(x g x f ≤. 由01616)('=+=x x f 得1-=x.∵k f k f --=--=-8)1(24)3(，, k f -=120)3(, ∴120)(max +-=k x f .由04106)(2'=++=x x x g 得321-=-=x x 或,∵21)3(-=-g , 111)3(=g , 1)1(-=-g , 2728)32(-=-g ,∴21)(min -=x g .则21120-≤-k , 解得141≥k .③∀)3,3(2-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立等价于)()(21x g x f ≤min:-21 存在)3,3(1-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立等价于)(1x f min )(2x g ≤ 所以218-≤--k 所以13≥k④若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，等价于()f x 的值域是()g x 的值域的子集，由②可知， 2()816f x x x k =+-在[]3,3-的值域为[]8,120k k ---+， 32()254g x x x x =++在[]3,3-的值域为[]21,111-，于是，[][]8,12021,111k k ---+⊆-，即满足 821,120111.k k --≥-⎧⎨-+≤⎩解得913k ≤≤。
“恒成立(任意型)、能成立(存在型)、恰成立”三大问题求解参数取值范围的解题切入点-高一版 - 上传版
对任意的x1、x2∈A，恒有a>| f(x1)-f(x2)|成立；等价于a>| f(x1)-f(x2)|max成立,而| f(x1)-f(x2)|max=f(x)max-f(x)min
4.单一函数、双“存在”型
存在x1、x2∈A，使得|f(x1)-g(x2)|<a等价于|f(x1)-g(x2)|min<a，而|f(x1)-g(x2)|min要通过 与 的值域来得到。
等价于在区间D上函数 和图象在函数 图象上方
（4）∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)﹤0，F(x)max﹤0
等价于在区间D上函数 和图象在函数 图象下方
（5）∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min>g(x)max
（6）∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1) <g(x2)恒成立，则f(x)max<g(x)min
＝9a－5；
∴g(a)＝
(2)设≤a1<a2≤，则g(a1)－g(a2)
＝(a1－a2)(1－)>0，
∴g(a1)>g(a2)，
∴g(a)在[，]上是减函数．
设<a1<a2≤1，则g(a1)－g(a2)＝(a1－a2)(9－)<0，∴g(a1)<g(a2)，
∴g(a)在(，1]上是增函数．
∴当a＝时，g(a)有最小值.
4.恒成立与存在性的综合性问题
注意恒成立与存在有解的区别与联系
（1）∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x)min>g(x)min
（2）∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1) <g(x2)成立，则f(x)max<g(x)max
高数-不等式的恒成立及有解问题
0
0
零点在区间的右侧三种情况，即
Δ≤0
或
a 2
2
或
a 2
2
.
f (2) 0 f (2) 0
f (2) 0 f (2) 0
f (x) x2 ax 3 a 2 0 ，即 f (x) x2 ax 1 a 0 在2, 2 上成立.
f
2
3 4
a2 a 3 4
1 a 3 .
2
2
【巩固训练】 1.不等式 x a x 3 4 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围.
【难度】★★
【答案】 a 7 或 a 1
【解析】设 f x x a x 3 ，易知函数 f x 的最小值是 a 3 ，由 f x 4 恒成立，
而题要求的反而是变量 x 的范围。这类题型中，由于已知范围的变量是以前我们所接触的参
数，因而题中的函数结构也就发生了改变，此时函数是以参数为自变量的函数。一般来说， 我们在观察这类恒成立问题时，哪个变量的范围是已知的，哪个就是该函数的自变量。
【例 6】对于满足 a 2 的所有实数 a ,求使不等式 x2 ax 1 2a x 恒成立的 x 的取值范
所以原不等式可化为：
a2
a
t 1 t2
，
要使上式在 t
0, 2上恒成立，只须求出
f
t
t 1 t2
在t
0, 2上的最小值即可.
f
t
t 1 t2
1
2
专题：不等式恒成立、能成立、恰成立问题
专题：不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用恒成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内总是成立的,例如:x ²≥0，在实数范围既x∈R 内恒成立能成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内存在值使这个代数式成立,使代数式成立的值有可能是一个,两个或是无穷多个,即个数是不定的,而在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值,也可以不存在这样的值,例如:x+1>0在x>-2上能成立. 恰成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说这个代数式只有在这个范围内成立,在这个范围外的值都不能使这个代数式成立,而这个代数式里面的值均能使这个代数式成立.例如:(x-1)²=0，在x=1时恰成立.可以说恰成立时恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件中还有可能符合代数式的在给定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值,但是恰成立包含了满足这个代数的值,并且给定的范围也全都满足这个代数式.例如:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1<x<9上是恒成立但不是恰成立.常见关键词列表如下：1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A &（2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A类型一：一次函数类型—用一次函数的性质 对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立类型二：二次函数类型—用二次函数的图像设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
“恒成立”“能成立”“恰成立”问题
“恒成立”“能成立”“恰成立”问题作者：谢道仁来源：《科技创新导报》2011年第22期摘要:“恒成立”，“能成立”，“恰成立”问题在教材中虽然没有专门设计,但这些内容是高中内容的重点、难点,同时也是高考和数学竞赛的热点,又因为它们的解法多样,所以这三类问题考生容易混淆不清,笔者认为分离变量法和函数法具有思路清、操作强、易掌握等特点,所以在解决“恒成立”，“能成立”，“恰成立”问题是很好的方法。
关键词:恒成立能成立恰成立方法中图分类号:G40 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)08(a)-0189-011 “恒成立”问题[例1](2010天津理数)设函数,对任意,≤恒成立,则实数的取值范围是_______。
【解析】(分离变量法)依据题意并分离变量得：≤在上恒成立。
当时函数取得最小值,所以≤,解得≤或≥。
另解(函数法)接上解得:≥0在上恒成立。
令,则∴令≥在上恒成立。
∴≥且≥ ∴得≤或≥【提示1】本题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题的第一种解法是利用分离变量转化为最值的方法求解,即通过分离使其成为≤,然后解这个函数的最小值得≥(或),所以≤,若对原有不等式通过分离变量的方法他离出变量式使其成为,然后解这个函数的最小值得≥或,所以(或≤),其基本步骤:分离变量,构造函数,求最值。
同学们可以类比得出若通过分离变量的方法分离出变量式使其成为≥或的结论。
解决恒成立问题的第二种解法是函数法,即通过构造函数,再利用函数的特性分析解决问题,此例充分体现了分离变量的优越性,显然要比函数法简单且不易出错。
变式引深:若函数在上为增函数,求的取值范围。
解:依题意得:≥在上恒成立,即≤在上恒成立令,∴0,∴在[0,2]可能的最小值为、、∴解得≤【提示2】若此类问题分离变量后(见提示1),的最值难以确定,我们只须分析可能的最值就可以了。
[例2]已知函数,若≥对任意,恒成立,求实数的取值范围。
解:利用导数易得的最小值是∴≤在上恒成立即≤在[-1,1]上恒成立令∴解得【提示3】若分离变量不容易时,应选择函数法求解。
含参数的不等式的成立问题(精)
解含参数的不等式的成立问题在近几年的高考数学试题中，常常出现含参数的不等式成立的问题，这类问题与函数，导数，方程等知识综合在一起，演绎出一道道设问新颖，五光十色的题目，这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措，这些题目从解题目标上看，基本上有三种，即求参数的取值范围，使含参数的不等式 恒成立，能成立或恰成立.1. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题的操作程序用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的: （1）恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值大于A ,若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值小于B .（2）能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,即()A x f >在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值大于A ,若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,即()B x f <在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值小于B .（3）恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D , 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D , 如果从解题模式看,好象问题很简单,但是,由于试题的结构千变万化,试题的设问方式各不相同,就使得题目变得十分灵活,如何对这类题目进行思辨和模式识别,把问题化归到常见的基本的题型,是高考复习的一个课题.例题精析：（1）不等式的恒成立问题【例1】已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (Ⅰ)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(Ⅱ)若对[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围。
(不)等式的恒,能,恰成立问题(必修1专用)
（不）等式的恒成立,能成立,恰成立等问题一．知识点：1.恒成立问题不等式(),f x A x D >∈恒成立⇔()min ,f x A x D >∈不等式(),f x B x D <∈恒成立⇔()max ,f x B x D <∈.2. 能成立问题(),x D f x A ∃∈>使⇔()max ,f x A x D >∈．（即()A x f >在区间D 上能成立） (),x D f x B ∃∈<使⇔,()min ,f x B x D <∈．（即()B x f <在区间D 上能成立） (),x D f x m ∃∈=使⇔m N ∈，N 为函数(),y f x x D =∈的值域．（即()f x m =在区间D 上能成立）3. 恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立⇔不等式()A x f >的解集为D . 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立⇔不等式()B x f <的解集为D ,二．题型（一）．不等式恒成立问题的处理方法1．转换求函数的最值：例1．(2000年,上海卷)已知()[)220,1,x x a f x x x++=≥∈+∞恒成立,试求实数a 的取值范围;【分析及解】本题是一个恒成立问题。
解法一：分类讨论求函数()f x 的最小值。
当0a >时用对勾函数，当0a <时利用函数的单调性。
解法二：()022≥++=xa x x x f 对任意[)+∞∈,1x 恒成立 等价于()022≥++=a x x x ϕ对任意[)+∞∈,1x 恒成立,又等价于1≥x 时,()x ϕ的最小值0≥成立.由于()()112-++=a x x ϕ在[)+∞,1上为增函数, 则()()31min +==a x ϕϕ,所以 3,03-≥≥+a a . 2．主参换位法例2．若对于任意1a ≤，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围解析：()(),13,x ∈-∞+∞ 3．分离参数法（1） 将参数与变量分离，即化为()()g t f x ≥（或()()g t f x ≤）恒成立的形式；（2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3） 解不等式()()max g t f x ≥ (或()()min g t f x ≤) ，得t 的取值范围．适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出．例3．当()1,2x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，求m 的取值范围 .解析: 当(1,2)x ∈时，由240x mx ++<得24x m x +<-.令244()x f x x x x +==+，则易知()f x 在(1,2)上是减函数，所以[1,2]x ∈时()(1)5max f x f ==，则2min 4()5x x +->-∴5m ≤-.4．数形结合例4 ．若对任意x R ∈,不等式x ax ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即11a -≤≤．例5．当()1,2x ∈时，不等式()21log a x x -<恒成立，求a 的取值范围． 解：1<a ≤2.二．（不）等式能成立问题的处理方法1．转换求函数的最值：例1 若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解析：是不等式能成立的问题. 设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或2a ≥2．分离参数法求值域例 若关于x 的二次方程()2110x m x +-+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围．解析：解法一：利用根的分布来做．解法二：分离参数法axy x由题意知0x ≠，所以原题等价于()(]2110,0,2x m x x +-+=∈有解，即(]11,0,2m x x x-=+∈有解， 而()(]1,0,2x x x xϕ=+∈的值域是[)2,+∞，所以[)12,m -∈+∞ 解得1m ≤-．三．不等式恰成立问题的处理方法()0f x >在区间[],a b 上恰成立，1. ()21f x ax bx =++恰在区间11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上为正，求,a b解：3,2a b =-=- ．2.已知函数()()()lg ,10x x f x a b a b =->>>，是否存在实数,a b ，使得()f x 恰在()1,+∞上取正值，且()3lg 4?f =若存在，求出,a b 的值，若不存在，说明理由．解：假设存在这样的实数,a b ．∵()f x 恰在()1,+∞上取正值∴()0f x >的解集是()1,+∞又因为()()lg x x f x a b =-在()0,+∞上单调递增，所以()10f =． 由()()103lg 4f f =⎧⎪⎨=⎪⎩可得331410a b a b a b -=⎧⎪-=⎨⎪>>>⎩，解得12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ？※3. (2000年,上海卷) 已知(),22xa x x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.【分析及解】是一个恰成立问题,？这相当于()022≥++=xa x x x f 的解集是[)+∞∈,1x . 当0≥a 时,由于1≥x 时,()3222≥++=++=xa x x a x x x f ,与其值域是[)+∞,0矛盾, 当0<a 时, ()222++=++=xa x x a x x x f 是[)+∞,1上的增函数. 所以,()x f 的最小值为()1f ,令()01=f ,即.3,021-==++a a解析：当0<a 时函数单调才会是恰成立问题． 练一练：1.已知f (x )＝m (x －2m )·(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若∀x ∈R ，f (x )＜0与g (x )＜0二者至少一个成立，则m 的取值范围是__(－4,0)________．解析：易知1x <时()0g x <，故只需1x ≥时()0f x <即可． 显然0m ≥不满足条件；当0m <时，对称轴302m x -=<，故只需(1)0f <，解得40m -<<. 2．(2005年春，北京理) 若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，则实数a 的取值范围是 ；若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．【分析及解】第一个填空是不等式恒成立的问题． 设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞ ()0>⇔x f 在()+∞∞-,上恒成立()0min >⇔x f ,即(),0442min >+-=a a x f 解得04<<-a 第二个填空是不等式能成立的问题. 设()a ax x x f --=2.则 关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集 ()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6-≤x 或2≥x .。
恒成立能成立问题总结详细
恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。
这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。
感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。
在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。
一、函数法（一）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决对于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(;0)(0)(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立 例1 假设不等式m mx x ->-212对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的 围。
解析：将不等式化为：0)12()1(2<---x x m ， 构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g 原命题等价于对满足22≤≤-m 的m ，使0)(<m g 恒成立。
由函数图象是一条线段，知应⎪⎩⎪⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-0)12()1(20)12()1(20)2(0)2(22x x x x g g解得231271+<<+-x ，所以x 的围是)231,271(++-∈x 。
小结：解题的关键是将看来是解关于x 的不等式问题转化为以m 为变量，x 为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。
练习:(1)假设不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，数a 的取值围。
〔2〕对于40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，求x 的取值围。
〔答案：或〕〔二〕构造二次函数 利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
例2、已知(),22xax x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; 例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。
2、主参换位法例5、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围例6、若对于任意1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围例7、已知函数323()(1)132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．3、分离参数法（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。
适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。
例8、当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .例9、已知函数321()33f x ax bx x =+++,其中0a ≠（1）当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?（2）已知0>a ,且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围.4、数形结合例10 、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________例11、当x ∈(1,2)时，不等式2(1)x -<log a x 恒成立，求a 的取值范围。
二、不等式能成立问题的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <. 例12、已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______例13、若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．例14、已知函数()21ln 22f x x ax x =--（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围三、不等式恰好成立问题的处理方法例15、不等式2ax bx 10++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则a b ⋅=___________例16、已知(),22xax x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.例17、已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ，g(x)=2x 3+5x 2+4x ，其中k 为实数。
（1）对任意x ∈[-3，3]，都有f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围； （2）存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；（3）对任意x 1、x 2∈[-3，3]，都有f （x 1)≤g(x 2)，求k 的取值范围。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习（请做在另外作业纸上）1、若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，求实数m 取值范围2、已知不等式22622kx kx x x ++>++对任意的x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围3、设函数329()62f x x x x a =-+-．对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值。
4、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。
5、已知不等式[]22023x x a x -+>∈对任意实数，恒成立。
求实数a 的取值范围。
6、对任意的[]2,2a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值总是正数，求x 的取值范围7、 若不等式2log 0m x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则实数m 的取值范围 。
8、不等式)4(x x ax -≤在]3,0[∈x 内恒成立，求实数a 的取值范围。
9、不等式220kx k +-<有解，求k 的取值范围。
10、对于不等式21x x a -++<，存在实数x ，使此不等式成立的实数a 的集合是M ；对于任意[05]x ∈，，使此不等式恒成立的实数a 的集合为N ，求集合M N ，．11、①对一切实数x,不等式32x x a --+>恒成立，求实数a 的范围。
②若不等式32x x a --+>有解，求实数a 的范围。
③若方程32x x a --+=有解，求实数a 的范围。
12、 ①若x,y 满足方程22(1)1x y +-=，不等式0x y c ++≥恒成立，求实数c 的范围。
②若x,y 满足方程22(1)1x y +-=，0x y c ++=，求实数c 的范围。
13、设函数432()2()f x x ax x b x R =+++∈，其中,a b R ∈．若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围．14、设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a >，若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围。
15、已知向量a =(2x ，x+1)，b = (1-x ，t)。
若函数b a x f ⋅=)(在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值范围。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题 参考答案例1、解：a 的取值范围为[-3，1]例2、解：等价于()022≥++=a x x x ϕ对任意[)+∞∈,1x 恒成立,又等价于1≥x 时,()x ϕ的最小值0≥成立. 由于()()112-++=a x x ϕ在[)+∞,1上为增函数,则()()31min +==a x ϕϕ, 所以 3,03-≥≥+a a例3、解：由()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ得到：()()22sin 2cos 2--->+m f m f θθ因为()x f 为奇函数，故有()()22sin 2cos 2+>+m f m f θθ恒成立，又因为()x f 为R 减函数，从而有22sin 2cos2+<+m m θθ对⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ恒成立设t =θsin ，则01222>++-m mt t 对于()1,0∈t 恒成立，在设函数()1222++-=m mt t t g ,对称轴为m t =.①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ， 即21-≥m ，又0<m ∴021<≤-m (如图1) ②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时,()012442<+-=∆m m m ,即0122<--m m ,∴2121+<<-m ,又[]1,0∈m ,∴10≤≤m (如图2)③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立.∴1>m (如图3)2故由①②③可知：21-≥m .例4、解：（1）（2）略（3）由（2）知，)(x f 在1=x 处取得极小值c f --=3)1(，此极小值也是最小值.要使)0(2)(2>-≥x c x f 恒成立，只需223c c -≥--.即0322≥--c c ，从而0)1)(32(≥+-c c . 解得23≥c 或1-≤c . ∴c 的取值范围为),23[]1,(+∞--∞Y .例8、解析: 当(1,2)x ∈时，由240x mx ++<得24x m x+<-.令244()x f x x x x+==+，则易知()f x 在(1,2)上是减函数， 所以[1,2]x ∈时()(1)5maxf x f ==，则2min 4()5x x+->-∴5m ≤-.例9、解析：（1）2a b >（2）)(x f 在区间(0,1]上单调递增⇔2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立⇔1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立⇔max 1()22ax b x≥--，(0,1]x ∈。
设1()22ax g x x =--，2221()1'()222a x a a g x x x-=-+=-， 令'()0g x =得x =x =舍去)，当1>a 时,101a<<，当x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数；当x ∈时'()0g x <，1()22ax g x x =--单调减函数,∴ max ()g x=g =∴b ≥ 当01a <≤1≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立， 所以1()22ax g x x=--在区间(0,1]上单调递增， ∴max()g x =1(1)2a g +=-，∴12a b +≥-。
综上，当1>a 时, b ≥ 当01a <≤时，12a b +≥-例10、解析：对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立 则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即11a -≤≤。
例11、解：1<a ≤2. 例12、解：1a >例13、第二个填空是不等式能成立的问题. 设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或2a ≥ 例14、解：x ax x x h b 221ln )(,22--==时，则.1221)(2x x ax ax x x h -+-=--=' axy x因为函数()h x 存在单调递减区间，所以()0h x '<有解. 由题设可知,()x h 的定义域是()+∞,0 ,而()0<'x h 在()+∞,0上有解,就等价于()0<'x h 在区间()+∞,0能成立, 即x x a 212->, ()+∞∈,0x 成立, 进而等价于()x u a min>成立,其中()xx x u 212-=. 由()x xx u 212-=1112-⎪⎭⎫⎝⎛-=x 得,()1min -=x u .于是,1->a ,由题设0≠a ,所以a 的取值范围是()()+∞-,00,1Y 例15、解：6例16、解：是一个恰成立问题,这相当于()022≥++=x ax x x f 的解集是[)+∞∈,1x . 当0≥a 时,由于1≥x 时, ()3222≥++=++=x ax x a x x x f ,与其值域是[)+∞,0矛盾, 当0<a 时, ()222++=++=xax x a x x x f 是[)+∞,1上的增函数, 所以,()x f 的最小值为()1f ,令()01=f ,即.3,021-==++a a例17、解析：（1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x 2-3x 2-12x+k ，问题转化为x ∈[-3，3]时，h(x)≥0恒成立，故h min (x)≥0.令h′ (x)=6x 2-6x-12=0，得x= -1或2。