函数的间断点

函数的间断点

一、复习回顾

函数()f x 在点0x 处连续的定义：()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，且()()00lim x x f x f x →= 即：极限值等于函数值。

二、出示反例，揭示课题

是不是所有的函数都是连续的呢？观察以下几个函数的图象：

①()2

x x f x x += ②()1,0,0,01,0.x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩ ③()1,0,1,0.x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩ ④()1f x x = 不难发现，这些函数的图象在0x =这点处不连续，我们把不连续的点称为函数的间断点。 虽然都是间断点，这些间断点有什么区别吗？这节课我们就一起来研究函数的间断点。

三、比较差异，学会分类

刚才我们说0x =是函数的间断点，说明函数在0x =处不满足连续的定义，那么究竟哪里不满足连续的定义呢？下面我们逐一对这四个函数进行分析。

①左边()()00

lim lim 11x x f x x →→=+= 右边()0f 不存在，所以在0x =处不连续，也就是间断 ②左边()0lim 1x f x →=，右边()00f = ，但是()()0

lim 0x f x f →≠，所以在0x =处间断 ①和②，当0x →时，函数的极限值存在，但函数在0x =处的函数值不存在或者虽然存在，但函数值与极限值不相等，像这样的间断点叫做可去间断点。

所以一般地，如果()0lim x x f x →存在，但()0f x 不存在或()()0

0lim x x f x f x →≠，则这种间断点称为可去间断点。

按照刚才的分析过程，请大家分别考察一下③和④中0x →时的极限值

③()0lim 1x f x -→=-，()0

lim 1x f x +→=，左极限和右极限都存在但不相等。像这样的间断点叫做跳跃间断点。

一般地，如果()()00

lim lim x x x x f x f x -+→→≠，则这种间断点称为跳跃间断点。 根据定义，我们知道函数在可去间断点、跳跃间断点处的左、右极限都存在，所以我们把可去间断点、跳跃间断点统称为第一类间断点。

④()0lim x f x -→，()0

lim x f x +→不存在 像④，如果()f x 在点0x 处的左极限或右极限不存在，称点0x 为第二类间断点。 思考：第一类断点和第二类间断点有什么不同？

四、例题讲解，课堂练习

例 求函数()21,0,,0.

x x f x x x -<⎧=⎨

≥⎩的间断点，并说明类型。 本节课，我们从函数极限的角度对函数间断点进行了分类，了解了不同间断点之间的区别，了解了这些能帮助我们更深刻地理解函数的连续和间断。